一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 集合𝑀={𝑎,𝑏}，𝑁={𝑎+1,3}，a，b为实数，若𝑀∩𝑁={2}，则𝑀∪𝑁=( )
A. {0,1，2} B. {0,1，3} C. {0,2，3} D. {1,2，3}
2. 复数z满足：(3−4𝑖)𝑧=1+2𝑖，则𝑧=( )
A. −5+5𝑖
12
B. 5−5𝑖
12
C. −5−5𝑖
12
D. 5+5𝑖
12
3. 下列说法中错误的是( )
A. 总体中的个体数不多时宜用简单随机抽样
B. 系统抽样过程中，在总体均分后的每一部分中抽取一个个体，得到所需样本 C. 百货商场的抓奖活动是抽签法
D. 整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等(有剔除时例外)
4. 在区间[−2,3]上随机选取一个数M，不变执行如图所示的程序框图，
且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则𝑀≤𝑁−2的概率为( )
A. 5 B. 5 C. 5 D. 5
5. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足√2𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵，则角B的
大小为( )
432
1
A. 6
𝜋
B. 4
𝜋
C. 3
𝜋
D. 2
𝜋
6. 已知函数𝑓(𝑥)的定义域为(0,1)，则函数𝑓(2𝑥+1)的定义域为( )
A. (−1,1)
B. (−2,0)
1
C. (−1,0)
D. (2,1)
1
7. 函数𝑦=√𝑥+1+2√𝑥−1的最小值为( )
A. 1 B. √2 C. 2 D. 0
8. 如图，𝐹1、𝐹2是椭圆
𝑥2𝑎2
+
𝑦2𝑏2
=1的两个焦点，O为坐标原点，P是椭
圆上的一点，且满足|𝐹1𝐹2|=2|𝑂𝑃|，若∠𝑃𝐹2𝐹1=5∠𝑃𝐹1𝐹2，则椭圆的离心率为( )
3 A. √26 B. √32 C. √22 D. √3
3
9. 公差不为零的等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，若𝑎3是𝑎2与𝑎6的等比中项，则𝑎=( )
3
𝑆
A. 2
1
B. 2
3
C. 1 D. 2
10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A. 3(𝜋+2)
4
B. 3(𝜋+4)
4
C. 3(𝜋+4)
1
8
D. 3(𝜋+2)
8
11. 设𝑓′(𝑥)是函数𝑓(𝑥)的导函数，且𝑓′(𝑥)>2𝑓(𝑥)(𝑥∈𝑅)，𝑓(2)=𝑒(𝑒为自然对数的底数)，则不等
式𝑓(𝑙𝑛𝑥)<𝑥2的解集为( )
A. (0,2)
𝑒
B. (0,√𝑒)
C. (𝑒,2)
1𝑒
D. (2,√𝑒)
𝑒
12. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，且𝑓(1)=0，𝑓(3)=0，则𝑓(−1)=( )
A. .0 B. 8 C. 7 D. 不确定
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
⃗ =(𝑚,1)，⃗ 13. 设向量𝑎𝑏=(1,2)，且|𝑎⃗ +⃗ 𝑏|2=|𝑎⃗ |2+|⃗ 𝑏|2，则𝑚= ．
14. 已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，且𝑆𝑛=2𝑛2−𝑛，则数列{𝑎𝑛}的通项公式为______． 2𝑥−2≥0
15. 已知实数x，y满足{𝑥−𝑦+4≥0，则𝑥2+𝑦2的最大值为______．
3𝑥−𝑦−3≤0
16. 在平面五边形ABCDE中，∠𝐴=60°，𝐴𝐵=𝐴𝐸=6√3，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，𝐷𝐸⊥𝐶𝐷，且𝐵𝐶=𝐷𝐸=6.
将五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面ABE与平面BCDE所成的二面角为120°，则沿对角线BE折起后所得几何体的外接球的表面积是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知数列
是各项均不为0的等差数列，公差为d，
为其前n项和，且满足
的前n项和．
，
.数列满足，，为数列
(1)求数列(2)若对任意的
的通项公式
，不等式
和数列的前n项和；
恒成立，求实数的取值范围；
，使得
成等比数列？若存在，求出所有
的值；
(3)是否存在正整数若不存在，请说明理由．
18. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，𝑐𝑜𝑠𝐶=4，2𝑎=𝑏=2．
(Ⅰ)判断△𝐴𝐵𝐶的形状； (Ⅱ)求cos(𝐴−𝐵)的值．
19. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老
年人，结果如右表：
1
性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 女 40 160 30 270 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由。 附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828 20. 如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐷⊥底面ABCD，且底面ABCD为
平行四边形，若∠𝐷𝐴𝐵=60°，𝐴𝐵=2，𝐴𝐷=1． (1)求证：𝑃𝐴⊥𝐵𝐷；
(2)若PC与底面ABCD所成的角为45°，求点D到平面PBC的距离．
⃗⃗⃗⃗⃗ =√2𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ .21. 在直角坐标系xOy中，长为√2+1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动，𝐶𝑃
记点P的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程；
(2)直线l与曲线E交于A，B两点，线段AB的中点为𝑀(2,1)，求直线l方程．
22. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎𝑥(𝑎∈𝑅,e为自然对数的底数)
(1)讨论函数𝑓(𝑥)的单调性；
(2)若𝑎=1，函数𝑔(𝑥)=(𝑥−𝑚)𝑓(𝑥)−𝑒𝑥+𝑥2+𝑥在𝑥∈(2,+∞)上为增函数，求实数m的取值范围．
1
【答案与解析】
1.答案：D
解析：解：集合𝑀={𝑎,𝑏}，𝑁={𝑎+1,3}，𝑀∩𝑁={2}， 所以2∈𝑁，所以𝑎+1=2，𝑎=1， 2∈𝑀，𝑏=2
所以𝑀={1,2}，𝑁={2,3}，𝑀∪𝑁={1,2，3} 故选D
由已知，先求得𝑎=1，再求出𝑏=2，确定M、N再求并集即可． 本题考查了集合的基本运算、集合和元素的关系，属于基础题．
2.答案：A
解析：解：∵(3−4𝑖)𝑧=1+2𝑖，∴(3+4𝑖)(3−4𝑖)𝑧=(3+4𝑖)(1+2𝑖)，∴25𝑧=−5+10𝑖， 则𝑧=−5+5𝑖. 故选：A．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
1
2
3.答案：D
解析：解：对于A，当总体中的个体数不多时宜用简单随机抽样，正确；
对于B，系统抽样过程中，在总体均分后的每一部分中抽取一个个体，得到所需样本，正确； 对于C，百货商场的抓奖活动是抽签法，正确；
对于D，整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等(包括有剔除时)，故“有剔除时例外”的说法错误； 故选：D．
利用简单随机抽样、系统抽样的概念对A、B、C、D四个选项逐一分析即可得到答案．
本题考查命题的真假判断与应用，突出考查简单随机抽样、系统抽样的概念及应用，属于基础题．
4.答案：C
解析：解：循环前输入的x的值为1， 第1次循环，𝑥2−4𝑥+3=0≤0，
满足判断框条件，𝑥=2，𝑛=1，𝑥2−4𝑥+3=−1≤0， 满足判断框条件，𝑥=3，𝑛=2，𝑥2−4𝑥+3=0≤0
满足判断框条件，𝑥=4，𝑛=3，𝑥2−4𝑥+3=3>0，不满足判断框条件， 输出n：𝑁=3．
在区间[−2,3]上随机选取一个数M，长度为5，𝑀≤1，长度为3， 所以所求概率为5， 故选：C．
计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果N，再以长度为测度求概率即可．
本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力，考查概率的计算，确定N的值是关键．
3
5.答案：B
解析：
本题主要考查诱导公式、正弦定理的应用，属于基础题． 由条件利用诱导公式、正弦定理，求得cosB的值，可得B的值．
解：在△𝐴𝐵𝐶中，由√2𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵利用正弦定理可得√2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶，
即√2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵=sin(𝐵+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐴， 因为△𝐴𝐵𝐶中，
求得𝑐𝑜𝑠𝐵=√，∴𝐵=4，
2故选：B．
2𝜋
，𝑠𝑖𝑛𝐴≠0，
6.答案：B
解析：
本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数的定义域，属于基础题． 直接由2𝑥+1在函数𝑓(𝑥)的定义域内求解x的取值集合得答案．
解：∵函数𝑓(𝑥)的定义域为(0,1)， 由0<2𝑥+1<1，得−2<𝑥<0． ∴函数𝑓(2𝑥+1)的定义域为(−2,0)． 故选：B．
1
1
7.答案：B
解析：
本题考查函数的最值，考查函数的单调性，属于基础题．
确定函数的定义域为[1,+∞)，函数在定义域上单调递增，即可求出函数𝑦=√𝑥+1+2√𝑥−1的最小值．
解：由题意，函数的定义域为[1,+∞)，
易知函数𝑦=√𝑥+1+2√𝑥−1在[1,+∞)上单调递增， ∴函数𝑦=√𝑥+1+2√𝑥−1的最小值为√2， 故选B．
8.答案：B
解析：解：∵|𝐹1𝐹2|=2|𝑂𝑃|，O是𝐹1𝐹2的中点， ∴∠𝐹1𝑃𝐹2=90° ∵∠𝑃𝐹1𝐹2=5∠𝑃𝐹2𝐹1， ∴∠𝑃𝐹1𝐹2=15°，∠𝑃𝐹2𝐹1=75°
∴|𝑃𝐹1|=|𝐹1𝐹2|sin∠𝑃𝐹2𝐹1=2𝑐⋅𝑠𝑖𝑛75°，∴|𝑃𝐹2|=|𝐹1𝐹2|sin∠𝑃𝐹1𝐹2=2𝑐⋅𝑠𝑖𝑛15°， ∴2𝑎=|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑐⋅𝑠𝑖𝑛75°+2𝑐⋅𝑠𝑖𝑛15°=4𝑐𝑠𝑖𝑛45°𝑐𝑜𝑠30°=√6𝑐 ∴𝑎=
√6𝑐 2𝑐
√6 3
∴𝑒=𝑎=故选B．
根据题意可知∠𝐹1𝑃𝐹2=90°，∠𝑃𝐹1𝐹2=5∠𝑃𝐹2𝐹1，进而求得∠𝑃𝐹1𝐹2和∠𝑃𝐹2𝐹1，在𝑅𝑡△𝑃𝐹1𝐹2分别表示出|𝑃𝐹1|和|𝑃𝐹2|，进而根据椭圆的定义表示出a，进而求得a和c的关系，即椭圆的离心率． 本题主要考查了椭圆的简单性质．涉及了圆的性质，解三角形问题等．考查了学生综合分析问题的
能力．
9.答案：C
解析：解：由题意，∵𝑎3是𝑎2与𝑎6的等比中项， ∴(𝑎1+2𝑑)2=(𝑎1+𝑑)(𝑎1+5𝑑)， ∴2𝑎1𝑑+𝑑2=0， ∵𝑑≠0， ∴𝑑=−2𝑎1，
∵𝑆3=3𝑎1+×3×2𝑑=−3𝑎1，
21
∴𝑎3=𝑎1+2𝑑=−3𝑎1，
3
则𝑎=1． 3
𝑆
故选：C．
利用𝑎3是𝑎2与𝑎6的等比中项，可得𝑑=−2𝑎1，利用等差数列的通项公式和求和公式计算即可得到． 本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．
10.答案：D
解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥和半圆锥组成的组合体． 如图所示：
所以：𝑉=3×2×4×2×4+2×𝜋×22×4×3=3(𝜋+2)． 故选：D．
首先把三视图转换为几何体，进一步求出组合体的体积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
1
1
1
1
8
11.答案：B
解析：
本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法，属于中档题．
构造函数𝐹(𝑥)=
1
𝑓(𝑥)𝑒2𝑥
，求出导数，判断𝐹(𝑥)在R上递增．原不等式等价为𝐹(𝑙𝑛𝑥)<𝐹(2)，运用单调
1
性，可得𝑙𝑛𝑥<2，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集． 解：可构造函数𝐹(𝑥)=𝐹′(𝑥)=
𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥−2𝑓(𝑥)𝑒2𝑥
(𝑒2𝑥)2
𝑓(𝑥)𝑒2𝑥，
，
=
𝑓′(𝑥)−2𝑓(𝑥)
𝑒2𝑥
由𝑓′(𝑥)>2𝑓(𝑥)，可得𝐹′(𝑥)>0，即有𝐹(𝑥)在R上递增． 不等式𝑓(𝑙𝑛𝑥)<𝑥2即为即有𝐹()=
2
1
𝑓()𝑒
12
𝑓(𝑙𝑛𝑥)𝑥2<1，(𝑥>0)，即
1
𝑓(𝑙𝑛𝑥)𝑒2𝑙𝑛𝑥<1，𝑥>0．
=1，即为𝐹(𝑙𝑛𝑥)<𝐹(2)，
1
由𝐹(𝑥)在R上递增，可得𝑙𝑛𝑥<2，解得0<𝑥<√𝑒． 故不等式的解集为(0,√𝑒)， 故选：B．
12.答案：B
𝑓(1)=1+𝑏+𝑐=0
解析：解：由题意可得，{ 𝑓(3)=9+3𝑏+𝑐=0𝑏=−4解可得，{
𝑐=3∴𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+3， ∴𝑓(−1)=8 故选B
法二：∵𝑓(1)=0，𝑓(3)=0， ∴𝑓(𝑥)=(𝑥−1)(𝑥−3) ∴𝑓(−1)=−2×(−4)=8 故选B
法三：∵𝑓(1)=0，𝑓(3)=0， ∴二次函数的对称轴𝑥=−2=2 ∴𝑏=−4
∴𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+𝑐 ∵𝑓(1)=0，
𝑏
∴𝑐=3
∴𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+3， ∴𝑓(−1)=8 故选B
法一利用待定系数法：直接把已知条件代入可求b，c然后求出函数解析式后，把𝑥=−1代入可求 法二：由𝑓(1)=0，𝑓(3)=0，利用二次函数的两点式可知，𝑓(𝑥)=(𝑥−1)(𝑥−3)，把𝑥=−1代入可求
法三：由𝑓(1)=0，𝑓(3)=0，可知二次函数的对称轴𝑥=−2=2，可求b，然后由𝑓(1)=0，可求c，把𝑥=−1代入函数解析式中即可求解
本题主要考查了二次函数的解析式及函数值的求解，要注意不同解法涉及到的二次函数的解析式的不同形式
𝑏
13.答案：−2
解析：
本题考查向量的数量积的应用，属于基础题．
利用已知条件，通过数量积判断𝑎⃗ ·⃗ 𝑏=0，然后列出方程求解即可．
2解：|𝑎⃗ +⃗ 𝑏|2=𝑎⃗ +2𝑎⃗ ·⃗ 𝑏+⃗ 𝑏=|𝑎⃗ |2+|⃗ 𝑏|2，
2
可得𝑎⃗ ·⃗ 𝑏=0．
⃗ =(𝑚,1)，⃗ 向量𝑎𝑏=(1,2)， 可得𝑚+2=0，解得𝑚=−2． 故答案为−2．
14.答案：𝑎𝑛=4𝑛−3
解析：解：∵𝑆𝑛=2𝑛2−𝑛，
∴当𝑛=1时，𝑎1=1；当𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=2𝑛2−𝑛−[2(𝑛−1)2−(𝑛−1)]=4𝑛−3，当𝑛=1时也成立， ∴𝑎𝑛=4𝑛−3．
故答案为：𝑎𝑛=4𝑛−3．
利用递推关系即可得出．
本题考查了数列的递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.答案：
1372
2𝑥−2≥0
解析：解：由实数x，y满足{𝑥−𝑦+4≥0作可行域如图，
3𝑥−𝑦−3≤0𝑥−𝑦+4=0715
联立{，得𝐴(2,2). 3𝑥−𝑦−3=0
∵𝑥2+𝑦2的几何意义是可行域内的点与原点连线距离． ∴𝑥2+𝑦2的最大值为：故答案为：
1372
1372
．
．
由约束条件作出可行域，通过𝑥2+𝑦2的几何意义，数形结合可得答案．
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
16.答案：252𝜋
解析：解：设△𝐴𝐵𝐸的中心为𝑂1，
∵𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，𝐷𝐸⊥𝐶𝐷，故四边形BCDE为矩形，设矩形BCDE的中心为𝑂2，过𝑂1作垂直于平面ABE的直线𝑙1，过𝑂2作垂直于平面BCDE的直线𝑙2，
则由球的性质可知，直线𝑙1与𝑙2的交点O为几何体ABCDE外接球的球心，取BE的中点F，连接𝑂1 F，𝑂2 F，
∠𝑂1𝐹𝑂2=120°，△𝑂𝐹𝑂1≌△𝑂𝐹𝑂2，由条件得𝑂1𝐹=𝑂2 𝐹=3，连接OF， 从而𝑂𝑂1=3√3，
连接OA，则OA为所得几何体外接球的半径，在直角△𝐴𝑂𝑂1 中，𝐴𝑂1=6，𝑂𝑂1=3√3，
2可得𝑂𝐴2=𝑂𝑂1+𝑂1𝐴2=27+36=63，即外接球的半径为𝑅=𝑂𝐴=3√7，
故所得几何体外接球的表面积为𝑆=4𝜋×63=252𝜋
根据折叠后四棱锥的性质及球的性质定出球心，结合勾股定理求出球的半径，进而可求． 本题主要考查了四棱锥外接球的表面积的求解，解题的关键是定出球心的位置．
17.答案：(1)
(2)(3)存在
. ……9分
解析：解析：试题分析：(1)由
可令𝑛=1，𝑛=2得到关于𝑎1与d的两个方程，从而可解
，所以
显然要采用裂项
出𝑎1和d，得到𝑎𝑛的通项公式.因为求和的方法求出其前n项和．
(2)因为本小题是关于n的不等式恒成立问题，应对n的奇偶进行讨论.分别再对得到的结果求交集． (3)解本小题的关键由若从而得解：(1)在
中，令
成等比数列，则
，即
，
．
，据此得到m的范围，找到m的值，进一步得到n的值．
，
，
得即……1分
解得又
，，时，
满足
……2分
，
，……3分
.……4分
(2)①当为偶数时，要使不等式
恒成立．……5分
恒成立，即需不等式
，等号在
此时需满足
时取得 ……6分
②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式
恒成立．……7分
是随的增大而增大，
此时需满足
.……8分
时取得最小值．
综合①、②可得的取值范围是(3)若即由即
成等比数列，则
． ，可得，
，
.……9分
，……10分
，……12分
.……13分
又
，且
，所以，
，此时时，数列
． 中的
成等比数列．…14分
因此，当且仅当
[另解]因为，故，即，
．
考点：本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力．
点评：(1)由𝑎𝑛与𝑆𝑛的关系求通项要注意根据需要给n赋值，每赋一个值就可得到一个方程． (2)有关n的不等式恒成立问题，要注意题目当中如果有(3)解小题的关键是利用
要注意按n为奇偶进行讨论．
成等比数列，建立n与m的等式关系，下一步难点在于对式子的
变形处理上，要注意体会其方法．
18.答案：解：(Ⅰ)由余弦定理，可得𝑐𝑜𝑠𝐶=
即
5−𝑐24
𝑏2+𝑎2−𝑐2
2𝑎𝑏
=，
4
1
=4，解得𝑐=𝑏=2．
1
所以△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形． (Ⅱ)因为𝑐=𝑏=2，所以𝐵=𝐶．
15
所以𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑐𝑜𝑠𝐶=4，所以𝑠𝑖𝑛𝐵=√．
4
1
又由正弦定理，可得𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑏=2， 所以𝑠𝑖𝑛𝐴=√，
815
𝑠𝑖𝑛𝐴𝑎1
因为𝑎<𝑏，所以𝐴<𝐵，所以𝑐𝑜𝑠𝐴=8．
所以cos(𝐴−𝐵)=𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵=×+√
8
47
1
158
7
×
√1
=
1116
．
解析：(Ⅱ)直接利用余弦定理的应用求出结果．
(Ⅱ)利用三角函数的关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
19.答案：(1)14%
(2)99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关。 (3)采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好
(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，解析：试题分析：因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为
因为9.967》6.635，所以有
(2)的观测值
99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关。
(3)根据(2)的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好
考点：抽样方法和性检验
点评：主要是考查了性检验的思想，以及抽样方法的实际运用，属于基础题。
20.答案：(1)证明：∵𝐴𝐷=1，𝐴𝐵=2，∠𝐷𝐴𝐵=60°，
∴𝐵𝐷2=𝐴𝐵2+𝐴𝐷2−2𝐴𝐵⋅𝐴𝐷⋅𝑐𝑜𝑠60°，得𝐵𝐷=√3． ∴𝐴𝐷2+𝐵𝐷2=𝐴𝐵2，则𝐴𝐷⊥𝐵𝐷． ∵𝑃𝐷⊥平面ABCD，𝐵𝐷⊂平面ABCD， ∴𝑃𝐷⊥𝐵𝐷，
又𝐴𝐷∩𝑃𝐷=𝐷，∴𝐵𝐷⊥平面PAD， ∵𝑃𝐴⊂平面PAD， ∴𝑃𝐴⊥𝐵𝐷；
(2)解：设点D到平面PBC的距离为h，由(1)知，𝐵𝐶⊥𝐵𝐷， ∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐶×𝐵𝐷=
21
√3
． 2
∵𝑃𝐷⊥平面ABCD，∴∠𝑃𝐶𝐷是PC与底面ABCD所成角． ∴∠𝑃𝐶𝐷=45°，得𝑃𝐷=𝑃𝐶=2． ∴𝑉𝑃−𝐵𝐶𝐷=×
31
√3
×2
2=
√3
． 3
∵𝑃𝐶=√2𝐶𝐷=2√2，𝑃𝐵=√𝑃𝐷2+𝐷𝐵2=√22+(√3)2=√7，𝐵𝐶=1． ∴𝑃𝐵2+𝐵𝐶2=𝑃𝐶2，即𝑃𝐵⊥𝐵𝐶． ∴𝑆△𝐵𝐶𝑃=2𝐵𝐶⋅𝑃𝐵=∴𝑉𝐷−𝐵𝐶𝑃=3×
1
√7ℎ21
√7
． 2√7
ℎ． 67ℎ6
=
又𝑉𝑃−𝐵𝐶𝐷=𝑉𝐷−𝐵𝐶𝑃，∴√
=
√3
，解得ℎ32√21
． 7
=
2√21
． 7
即点D到平面PBC的距离为
解析：(1)由已知求解三角形证明𝐴𝐷⊥𝐵𝐷.再由已知可得𝑃𝐷⊥𝐵𝐷，利用直线与平面垂直的判定可得𝐵𝐷⊥平面PAD，从而得到𝑃𝐴⊥𝐵𝐷；
(2)设点D到平面PBC的距离为h，由(1)知，𝐵𝐶⊥𝐵𝐷，求得三角形BCD的面积，进一步求得三棱锥𝑃−𝐵𝐶𝐷的体积，再求出三角形BCP的面积，由𝑉𝑃−𝐵𝐶𝐷=𝑉𝐷−𝐵𝐶𝑃，可得点D到平面PBC的距离h． 本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，
训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．
21.答案：解：(1)设𝐶(𝑚,0)，𝐷(0,𝑛)，𝑃(𝑥,𝑦)．
⃗⃗⃗⃗ =√2⃗⃗⃗⃗⃗ 由⃗𝐶𝑃𝑃𝐷，得(𝑥−𝑚,𝑦)=√2(−𝑥,𝑛−𝑦)， 𝑚=(√2+1)𝑥𝑥−𝑚=−√2𝑥∴{，∴{ √2+1𝑦=√2(𝑛−𝑦)𝑛=𝑦√2由|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷|=√2+1，得𝑚2+𝑛2=(√2+1)2， ∴(√2+1)2𝑥2+
(√2+1)22
𝑦2
=(√2+1)2，整理，得曲线E的方程为𝑥2+
1
𝑦22
=1．
(2)设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝑀(2,1)，是线段AB的中点， 则𝑥1+𝑥2=1，𝑦1+𝑦2=2；
依题意，A，B代入方程，相减得：2(𝑥1+𝑥2)(𝑥1−𝑥2)+(𝑦1+𝑦2)(𝑦2−𝑦1)=0， 由题意知，直线l的斜率存在， ∴𝑘𝐴𝐵=−1，
∴直线l的方程为：𝑦−1=−(𝑥−2)， 整理得：2𝑥+2𝑦−3=0． 故直线l的方程为2𝑥+2𝑦−3=0
1
⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2+1，求曲线E的方程； 解析：(1)确定坐标之间的关系，利用|𝐶𝐷
(2)利用“点差法”可求得直线AB的斜率，再利用点斜式即可求得直线l的方程．
本题考查椭圆的方程与直线的点斜式方程，求直线l的斜率是关键，也是难点，着重考查点差法，属于中档题．
22.答案：解：(Ⅰ)函数𝑓(𝑥)的定义域为𝑥∈𝑅，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎
当𝑎≤0时，𝑓′(𝑥)>0，所以𝑓(𝑥)在R上为增函数； 当𝑎>0时，由𝑓′(𝑥)=0得𝑥=𝑙𝑛𝑎
则：当𝑥∈(−∞,𝑙𝑛𝑎)时，𝑓′(𝑥)<0，所以函数𝑓(𝑥)在(−∞,𝑙𝑛𝑎)上为减函数， 当𝑥∈(𝑙𝑛𝑎,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0，
所以函数𝑓(𝑥)在(𝑙𝑛𝑎,+∞)上为增函数．…(6分) (Ⅱ)当𝑎=1时，𝑔(𝑥)=(𝑥−𝑚)(𝑒𝑥−𝑥)−𝑒𝑥+𝑥2+𝑥，
∵𝑔(𝑥)在𝑥∈(0,+∞)上为增函数，∴𝑔′(𝑥)=𝑥𝑒𝑥−𝑚𝑒𝑥+𝑚+1≥0在𝑥∈(2,+∞)恒成立，
即𝑚≤
𝑥𝑒𝑥+1𝑒𝑥−1
在𝑥∈(2,+∞)恒成立， ，𝑥∈(2,+∞)，ℎ′(𝑥)=
(𝑒𝑥)2−𝑥𝑒𝑥−2𝑒𝑥
(𝑒𝑥−1)2令ℎ(𝑥)=
𝑥𝑒𝑥+1𝑒𝑥−1
=
𝑒𝑥(𝑒𝑥−𝑥−2)(𝑒𝑥−1)2，
令𝐿(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥−2，𝐿′(𝑥)=𝑒𝑥−1>0在𝑥∈(2,+∞)恒成立， 即𝐿(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥−2在𝑥∈(2,+∞)单调递增， 即𝐿(𝑥)>𝐿(2)=𝑒2−4>0，∴ℎ′(𝑥)>0 即ℎ(𝑥)=所以𝑚≤
𝑥𝑒𝑥+1𝑒𝑥−12𝑒2+1𝑒2−1
在𝑥∈(2,+∞)单调递增，ℎ(𝑥)>ℎ(2)=
2𝑒2+1𝑒2−1
. …(12分)
解析：(Ⅰ)求出函数𝑓(𝑥)的定义域，函数的导数(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎 通过当𝑎≤0时，当𝑎>0时，分别判断函数的单调性．
(Ⅱ)当𝑎=1时，化简𝑔(𝑥)=(𝑥−𝑚)(𝑒𝑥−𝑥)−𝑒𝑥+𝑥2+𝑥，通过𝑔(𝑥)在𝑥∈(0,+∞)上为增函数，转化𝑔′(𝑥)=𝑥𝑒−𝑚𝑒+𝑚+1≥0在𝑥∈(2,+∞)恒成立，推出𝑚≤过构造新函数利用导数求出函数的最值，推出结果即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的最值，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．
𝑥
𝑥
𝑥𝑒𝑥+1𝑒𝑥−1
在𝑥∈(2,+∞)恒成立，通
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