角平分线定理

角平分线定义:从一个角顶点引出一条射线,把这个角分成两个 相等角，这条射线叫做这个角角平分线。

■三角卷角平分线定义：三角形顶点到其内角角平分线交对边点 连一条线段，叫三角形角平分线。

【注】三角形角平分线不是角平分线，是线段。角平分线是射线。

B

■拓展：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边 距离相等！（即内心）。

■定理1:在角平分线上任意一点到这个角两边距离相等。

■逆定理：在一个角内部（包括顶点），且到这个角两边距离相 等点在这个角角平分线上。

■定理2：三角形一个角平分线分对边所成两条线段及这个角两 邻边对应成比例，

如：在 AABC 中，BD 平分ZABC,则 AD： DC二AB： BC

提供四种证明方法：

已知，如图，AM为Z\\ABC角平分线，求证AB / AC=MB / MC

己知和证明1图

证明：方法1:(面积法)

SAABM=(l/2)・ AB ・ AM ・ sinZBAM, SAACM=(l/2)・ AC ・ AM ・ sinZCAM, AS A ABM： SAACM=AB:AC

乂△ ABM和△ ACM是等高三角形，面积比等于底比,

证明2图

即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM

・•・ AB / AC=MB / MC 方法2（相似形）

过C作CN II AB交AM延长线于N 则厶 ABM^ANCM ・•・ AB/NC=BM/CM 又可证明ZCAN=ZANC

/. AC=CN

・•・ AB / AC=MB / MC

证明3图

方法3 （相似形）

过M作MN II AB交AC于N 则厶 ABC^ANMC,

・•・ AB/AC二MN/NC, AN/NC二BM/MC 又可证明ZCAM=ZAMN ・・・AN=MN ・•・ AB/AC=AN/NC ・•・ AB / AC=MB / MC

A

方法4 （正弦定理）

作三角形外接圆，AM交圆于D,

由正弦定理，得,

A

D

证明4图

AB/sinZ BMA=BM/ sinZBAM,

A AC/sinZ CMA 二 CM/ sinZCAM

又ZBAM二ZCAM, ZBMA+ZAMC=180°

sinZBAM^sinZCAM, sinZBMA^sinZAMC, /. AB / AC=MB / MC