江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试卷

扬州中学2017-2018年度上学期高二年级阶段测试

数 学 2017-10-7

一、填空题（每小题5分，共14小题）

1. 空间中，点（2,0,1）位于 平面上（填“xOy”“yOz”或“xOz”）

x2y22. 椭圆1的离心率是 943.已知两点A（0,10），B（a，-5）之间的距离为17，则实数a的值为

4. 过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是 5.圆xyx2y200与圆xy25相交所得的公共弦所在直线方程为

6. 已知点A（1，3）关于直线l的对称点为B(-5,1)，则直线l的方程为

2222x2y21表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 7已知方程

m12m

x2y21上横坐标为2的点到右焦点的距离为 8. 椭圆

167

9. 直线axbyc0(ab0)截圆xy5所得弦长等于4，则以|a|、|b|、|c|为边长的三角形一定是 ．

10. 若直线l：y=kx经过点P(sin

11. 圆心在直线y4x上，且与直线xy10相切于点P(3,2)的圆的标准方程为 ．

1

2222,cos)，则直线l的倾斜角为α = ． 33

12. 已知圆xy4，直线l：ykxb与圆交于点A,B（异于原点O），直线AO、直线l与直线BO的斜率依次成等比数列，则k=

22x2y2F2,点P在椭圆C上，13. 已知椭圆C: 221(ab0)的左右焦点分别为F1，

ab线段PF2与圆： x2y2b2相切于点Q，若Q是线段PF2的中点，e为C的离心

a2e2率，则的最小值是______________

3b

x2y21上任意一点M(x0,y0)作一半径为r的圆M，过原点O向圆M14.过椭圆C:3作两条切线，若两条切线的斜率之积为定值，则半径r

二、解答题（共6大题，分值14分+14分+14分+16分+16分+16分）

15.已知圆C方程为xy2x4ym0。 （1）求m的取值范围；

（2）若直线x2y10与圆C相切，求m的值。

16. 如图，已知等腰直角三角形APB的一条直角边AP在y轴上，A点位于x轴的下方，B点位于y轴的右方，斜边AB的长为32，且A、B

22x2y2两点在椭圆C:221(ab0)上。

ab（1）若点P(0,1)，求椭圆方程；

（2）若P(0,t)(tR)，求A、B两点在椭圆C上时t的取值范围。

2

17. 已知两条直线l1:axby40，l2:(a1)xyb0，求分别满足下列条件的

a,b的值：

（1）直线l1过点（-3，-1），并且直线l1与直线l2垂直； （2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1,l2的距离相等。

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x2y24x0及点A(1,0)，B(1,2)．

（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MNAB，求直线l的方程； （2）在圆C上是否存在点P，使得PA2PB212？若存在，求点P的个数；若不

存在，说明理由．

3

19. 某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条

将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口. （1）若窗口ABCD为正方形，且面积大于的取值范围；

（2）若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值.

20. 已知焦距为2

的椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的右顶点为A，直线y=与椭圆

12m（木条宽度忽略不计），求四根木条总长4C交于P、Q两点（P在Q的左边），Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N．

（i）若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x+3y﹣2=0上一点， 且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值

（ii）若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．

10月月考答案

4

51. xOz 2. 3 3. 8 4. x2y10

5. x2y50 6. 3xy40 7(1,) 8.

325 25229. 直角三角形 10.6 11. x1y48 12. 1

13.

35 14.

23

15. 解：（1）m5 7分

9 7分 5x2y21 7分 16.解：（1）124 （2）m（2）0t3 7分 217. 解：（1）a2,b2 7分 （2）a2,b2或a2,b2 7分 3201，

1(1)18. （1）圆C的标准方程为(x2)2y24，所以圆心C(2,0)，半径为2．

因为l∥AB，A(1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为设直线l的方程为xym0， 则圆心C到直线l的距离为d20m22m2．

因为MNAB222222，

MN2(2m)222而CMd(2， )，所以422解得m0或m4，

故直线l的方程为xy0或xy40． 8分 （2）假设圆C上存在点P，设P(x,y)，则(x2)2y24，

5

PA2PB2(x1)2(y0)2(x1)2(y2)212，

即x2y22y30，即x2(y1)24， 因为|22|(20)2(01)222，

所以圆(x2)2y24与圆x2(y1)24相交， 所以点P的个数为2． 8分

x219. 解（1）设一根木条长为xcm，则正方形的边长为214xm

2因为S四边形ABCD211152，所以4x，即x 4422 又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x所以42x215; 7分

（2）设AB所在木条长为am，CD所在木条长为bm 由条件，2a+2b6，即ab3

因为a,b0,2，所以b3a0,2，从而a,b1,2

b2a2b2a2由于AB21,BD21，S矩形ABCD4114b24a2 44448a2b22因为4b24a2ab82227

4当且仅当ab371,2时，S矩形ABCD 2472m答：窗口ABCD面积的最大值为4 9分

20. 解：（1）由题意可得2c=2

，即c=，

6

直线y=代入椭圆方程可得+=1，

解得x=±a，

可得|AB|=a﹣a，

由四边形ABPQ是平行四边形， 可得|AB|=|PQ|=2a解得b=

，a=

+=2，

=1； 5分 ，

可得椭圆的方程为

（2）（i）由直线y=kx代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2=4， 解得x=±

，

可设M（，），

由△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形， 可设E（m，﹣m），E到直线kx﹣y=0的距离为d=即有OE⊥MN，|OM|=d， 即为由m=

=﹣，

=

，

，

，代入第二式，化简整理可得7k2﹣18k+8=0，

解得k=2或； 5分

7

（ii）证明：由M（﹣2，0），可得直线MN的方程为y=k（x+2）， 代入椭圆方程可得，（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0， 可得﹣2+xN=﹣

，

解得xN=，

yN=k（xN+2）=，即N（，），

设G（t，0），（t≠﹣2），由题意可得D（2，4k），A（2，0）， 以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点， 可得AN⊥DG， 即有kAN•kDG=﹣1， 即为解得t=0．

故点G是定点，即为原点（0，0）． 6分

•=﹣1，

8