华南理工大学数值分析试题-14年下-A

《数值分析》试卷A （2015年1月9日）

注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请按要求填写在本试卷上；

3. 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 6. 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一．（12分）解答下列问题

1．欲计算下式：

P(x)13(x1)2(x1)(x2)7(x1)(x2)(x3)6(x1)(x2)(x3)(x4),试给出乘法次数尽可能少的计算形式。

2．设有递推公式 y03

yn6yn11,n1,2,如果取y31.732y**00 作实际计算，问计算到y10时误差为初始误差y0y0的多少

倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？ 二. （14分）解答下列问题

1. 若f(x)6x2+3，则f[1,2,3]和f[1,2,3，4]的值分别是多少？ 2. 已知100=10，121=11，144=12，试利用二次插值方法求115的近似值，并估计误差。

三. (10分) 设f在互易节点xi上的值fifxii0,1,....n。试证明：f在节点xi上的n次最小二乘拟合多项式pnx与f在节点xi上的n次Lagrange插值多项式Lnx一致，即pnx=Lnx。

四. (12分) 按代数精度的定义，构造下列形式的求积公式（即确定参数A,B，）:

11fxdxAfBf

要求公式具有尽可能高的代数精度，并说明所得公式是不是Gauss型求积公式。

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…………………………… _____________ ________ 五. (14分) 已知线性代数方程组Ax=b为：

d100u1000dn1d2u20un1v1x1b1xbv222vn1xn1bn1dnxnbnn1i1其中di,ui,vi,bi已知,di0,dn(uivi/di)0.(1) 用顺序高斯消去法求解方程组Ax=b；

(2) 先由(1)的消元过程直接写出A的LU分解，再利用该LU分解求解方程组Ax=b。

323六. (12分) 对方程组Axb,A,b1，拟用迭代法

12 x(k1)x(k)(Ax(k)b),k0,1,

求解，试确定实数的取值范围，使得该迭代公式收敛。

七. (14分) 欲求方程 xlnx2 (x1) 的根，试 （1）证明 [3, 4] 为方程的一个有根区间；

（2）在区间 [3, 4] 上构造一个收敛的不动点迭代公式； （3）求所构造迭代公式的收敛阶。

八. (12分) 对初值问题

yfxy  yx0y0（1）试利用Taylor展开公式推导下列数值求解公式： yn1h2ynhfxnynfxnynynxnfxnyn 2（2）指出上述公式是几阶公式。

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