人教A版数学选修3期末考试试题

高二数学（理）

说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟. 答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的)

1．线性回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和( )

A．越小 B．越大 C．可能大也可能小 D．以上都不对

2．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8.则系统正常工作的概率为( ) A．0.960 B．0.864 C．0.720

D．0.576

3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.) ( )

A．4.56% B．13.59% C．27.18% 4．在极坐标系中，曲线4sin(A．直线= D．31.74%

3)关于（ ）

3对称 B．直线=5（2，）对称 C．点对称 D．极点对称

635．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，则实数k＋m＝( )

A．－1 B．2 C．0 D．1 6．设(5x1n) 的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN56， x则展开式中常数项为（ ）

A．5 B．10 C．15 D．20

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )． A．3 B．4 C．5 D．6

π

x＋的图象沿x轴向右平移a个单位(a＞0)，所得图象关于y轴对称，则a的8．函数y＝cos24最小值为( )．

3πππ

A．π B． C． D．

424

→→

→→→1→→AB4AC

9．已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，则

t→→

|AB||AC|→→

PB·PC的最大值等于( ) A．13

B．15

C．19

D．21

10．两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点 A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和 的最小值为 A．3(2-3)

B．4(2-3)

C．3(2+3)

D．4(2+3)

第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

11．已知随机变量28，若B(10,0.4)，则E()=__________，D()___________

π

12．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cos θ，曲线C2：θ＝，若曲线C1与C2交于A、B两点，则

4线段AB长度为________.

13．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率11

是，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为，则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次26出现红灯闪烁的概率是________．

14．若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则

a1a2a2 016＋2＋…＋2 016 的值为________. 222

15．只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有________个.

兰州一中2015-2016-2学期期末考试答题卡

高二数学（理）

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

11． 12． 13． 14． 15．

三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图．若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”．

(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？

男 女 总计 非读书迷 读书迷 15 总计 45 (2)将频率视为概率.现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X).

n（ad－bc）2附：K＝，n＝a＋b＋c＋d.

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

2

P(K2≥k0) k0

0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

17．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

年入流量X 发电机最多可运行台数 40120 3 若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

x y w (xix)2i18(wiw)2i18(xx)yy iii18(ww)yy 2iii18 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 18

表中wi＝xi，w＝wi.

8i＝1

(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小

二乘估计分别为：(uu)vviii1n(uu)ii1nvu. ,2

19．已知函数f(x)＝ax＋xln x的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3. (1)求实数a的值；

(2)若k∈Z，且f(x)k(x1)对任意x＞1恒成立，求k的最大值.

兰州一中2015-2016-2学期期末考试试题答案

高二数学（理）

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11． 0; 9.6 12．

题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 B 5 D 6 C 7 C 8 D 9 A 10 A 2 13．

1 314． —1 15． 18 三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 16．解 (1)完成2×2列联表如下：

男 女 总计 非读书迷 40 20 60 读书迷 15 25 40 总计 55 45 100 100×（40×25－15×20）2

K＝≈8.249＞6.635，

60×40×55×45

2

故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.

2

(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P＝.

52233，，P(X＝i)＝Ci3由题意可知X～B555(i＝0，1，2，3). X的分布列为

X P 0 27 1251 54 1252 36 1253 8 125i

3－i

2622181－＝. 均值E(X)＝np＝3×＝.方差D(X)＝np(1－p)＝3××52555510

17． 解 (1)依题意，p1＝P(4050

35

p2＝P(80≤x≤120)＝＝0.7，

505

p3＝P(X>120)＝＝0.1.

50

由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为

413

p＝C04(1－p3)＋C4(1－p3)p3＝

9＋4×9×1＝0.947 7.

10101043

(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元). ①安装1台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000. ②安装2台发电机的情形.

依题意，当40Y P 4 200 0.2 10 000 0.8 所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. ③安装3台发电机的情形.

依题意，当40当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；

当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.因此得Y的分布列如下：

Y P 3 400 0.2 9 200 0.7 15 000 0.1 所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.

18． 解：（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型. （Ⅱ）令8x，先建立y关于的线性回归方程.

ˆ由于 d()(yy)iii1()ii182108.868， 1.6ˆyˆd c 6563686.81，00.ˆ100.668， 所以y关于的线性回归方程为yˆ100.668x. 因此y关于的线性回归方程为y（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x49时，

ˆ100.66849576.6, 年销量y的预报值yˆ576.60.24966.32. 年利润z的预报值z

（ii）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值

ˆ0.2(100.668x)xx13.6x20.12. z所以当x13.6ˆ取得最大值. 6.8，即x46.24时，z2故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.

19．解 (1)因为f(x)＝ax＋xln x，所以f′(x)＝a＋ln x＋1.

因为函数f(x)＝ax＋xln x的图象在点x＝e处的切线斜率为3，所以f′(e)＝3，即a＋ln e＋1＝3，所以a＝1.

(2)由(1)知，f(x)＝x＋xln x，

f（x）x＋xln x又k＜＝对任意x＞1恒成立，

x－1x－1x＋xln xx－ln x－2

令g(x)＝，则g′(x)＝，

x－1（x－1）2令h(x)＝x－ln x－2(x＞1)， 1x－1

则h′(x)＝1－＝＞0，

xx

所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增. 因为h(3)＝1－ln 3＜0，h(4)＝2－2ln 2＞0，

所以方程h(x)＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x0，且满足x0∈(3，4). 当1＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0； 当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，

x＋xln x

所以函数g(x)＝在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，

x－1所以[g(x)]min＝g(x0)＝

x0（1＋ln x0）x0（1＋x0－2）

＝＝x0，

x0－1x0－1

所以k＜[g(x)]min＝x0∈(3，4)，故整数k的最大值是3.