人教版初中数学三角形经典测试题含答案解析

一、选择题

1．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）

A．4 【答案】B 【解析】

B．5 C．6 D．7

试题解析：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．

此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵DC=1，BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC′=BC'2BD2=3242=5．故选B．

2．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )

A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【答案】D 【解析】 【详解】

A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误； B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误； C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误； D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确． 故选D．

3．如图,已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E,连接BE, CE,如图:在射线AD上取点F连接BF, CF,如图,依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（ ）

A．n 【答案】C 【解析】 【分析】

B．2n-1 C．

n(n1) 2D．3(n+1)

根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对全等三角形；图3中有6对全等三角形，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数． 【详解】

∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD与△ACD中， AB=AC， ∠BAD=∠CAD， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD.

∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中,△ABE≌△ACE， ∴BE=EC， ∵△ABD≌△ACD. ∴BD=CD， 又DE=DE， ∴△BDE≌△CDE，

∴图2中有3对三角形全等； 同理：图3中有6对三角形全等；

由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是故选C. 【点睛】

考查全等三角形的判定，找出数字的变化规律是解题的关键.

nn12.

4．如图，点O是ABC的内心，M、N是AC上的点，且CMCB，ANAB，若

ABC100，则MON（ ）

A．60 【答案】C 【解析】 【分析】

B．70 C．80 D．100

根据题意，连接OA，OB，OC，进而求得BOCMOC，AOBAON，即∠CBO=∠CMO，∠OBA=∠ONA，根据三角形内角和定理即可得到∠MON的度数. 【详解】

如图，连接OA，OB，OC，

∵点O是ABC的内心， ∴BCOMCO， ∵CM=CB，OC=OC， ∴BOCMOC(SAS)， ∴CBOCMO， 同理可得：AOBAON， ∴ABOANO，

∵CBACBOABO100， ∴CMOANO100，

∴MON180(CMOANO)80， 故选：C. 【点睛】

本题主要考查了三角形全等的性质及判定，三角形的内角和定理及角度的转换，熟练掌握相关辅助线的画法及三角形全等的判定是解决本题的关键.

5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交

1MN的长为半径画弧，两弧交于点2P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（）

BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于

A．BP是∠ABC的平分线

【答案】C 【解析】 【分析】

B．AD=BD

D．CD=

C．SVCBD:SVABD1:3

1BD 2A、由作法得BD是∠ABC的平分线，即可判定；

B、先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由BP是∠ABC的平分线得出∠ABD＝30°＝∠A,即可判定；

C，D、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定. 【详解】

解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确； ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝30°＝∠A，

∴AD＝BD，所以B选项的结论正确； ∵∠CBD＝

1∠ABC＝30°， 2∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确； ∴AD＝2CD，

∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误． 故选：C．

【点睛】

此题考查含30°角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形内角和进行计算.

6．如图，在RtABC中，BCA90，CD是高，BE平分∠ABC交CD于点E，EF∥AC

交AB于点F，交BC于点G．在结论：(1) EFDBCD；(2) ADCD；(3)CG=EG；(4) BFBC中，一定成立的有( )

A．1个 【答案】B 【解析】 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个

根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE=∠BCA=90°，然后根据等角的余角相等即可求出∠EFD=∠BCD；只有△ABC是等腰直角三角形时AD=CD，CG=EG；利用“角角边”证明△BCE和△BFE全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BF=BC． 【详解】

∵EF∥AC，∠BCA=90°， ∴∠CGE=∠BCA=90°， ∴∠BCD+∠CEG=90°， 又∵CD是高， ∴∠EFD+∠FED=90°，

∵∠CEG=∠FED（对顶角相等）， ∴∠EFD=∠BCD，故（1）正确；

只有∠A=45°，即△ABC是等腰直角三角形时，AD=CD，CG=EG而立，故（2）（3）不一定成立，错误； ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC=∠EBF， 在△BCE和△BFE中，

EFD＝BCDEBC＝EBF， BE＝BE∴△BCE≌△BFE（AAS）， ∴BF=BC，故（4）正确，

综上所述，正确的有（1）（4）共2个． 故选：B． 【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，综合题，但难度不大，熟记性质是解题的关键．

7．如图，在ABC中，B33，将ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则

12的度数是（ ）

A．33 【答案】D 【解析】 【分析】

B．56 C．65 D．66

由折叠的性质得到∠D=∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】

解：如图，由折叠的性质得：∠D=∠B=33°，

根据外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D， ∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°， ∴∠1-∠2=66°． 故选：D． 【点睛】

此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

8．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若ab8，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为( )

A．1 【答案】C 【解析】 【分析】

B．2 C．3 D．4

由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】

解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为：∴根据4×

11ab＝×8＝4， 221ab＋（a﹣b）2＝52＝25， 2得4×4＋（a﹣b）2＝25， ∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9， ∴a﹣b＝3（舍负）， 故选：C． 【点睛】

本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．

9．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（ ）

A．32 【答案】B 【解析】

B．5 C．4

D．31 【分析】 【详解】

由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°， 若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°． ∴∠AOC=180°－∠ACO－∠CAO=90°． 在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC=32． 同理可求得：AO=OC=3．

在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1－OC=4， 由勾股定理得：AD1=5．故选B．

10．如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（ ）

A．9 【答案】B 【解析】 【分析】

B．310 C．326

D．12

将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可． 【详解】

解：如图，AB=(36)232310 ．

故选：B． 【点睛】

此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．

11．如图，在VABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长(大于

1AB)为半径作2弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知

△CDE的面积比△CDB的面积小4，则VADE的面积为（ ）

A．4 【答案】A 【解析】 【分析】

B．3 C．2 D．1

由作图步骤可知直线MN为线段AB的垂直平分线，根据三角形中线的性质可得S△CDA=S△CDB，根据△CDE的面积比△CDB的面积小4即可得答案． 【详解】

由作图步骤可知直线MN为线段AB的垂直平分线， ∴CD为AB边中线， ∴S△CDA=S△CDB，

∵△CDE的面积比△CDB的面积小4， ∴S△ADE=S△CDA-S△CDE=S△CDB-S△CDE=4． 故选：A． 【点睛】

本题考查尺规作图——垂直平分线的画法及三角形中线的性质，三角形的中线，把三角形分成两个面积相等的三角形；熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．

12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（ ）

A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间

【答案】B 【解析】 【分析】

先根据点A，B的坐标求出OA，OB的长度，再根据勾股定理求出AB的长，即可得出OC的长，再比较无理数的大小确定点C的横坐标介于哪个区间． 【详解】

∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，3）， ∴OA＝2，OB＝3，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝22+3213 ∴AC＝AB＝13 ， ∴OC＝13﹣2，

∴点C的坐标为（13﹣2，0）， ∵3134 ， ∴11322 ，

即点C的横坐标介于1和2之间， 故选：B． 【点睛】

本题考查了弧与x轴的交点问题，掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键．

13．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ） A．三条边的比为2∶3∶4 C．三条边的比为1∶1∶2 【答案】A 【解析】 【分析】

根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】

A、三条边的比为2：3：4，22+32≠42，故不能判断一个三角形是直角三角形； B、三条边满足关系a2=b2-c2，即a2+c2=b2，故能判断一个三角形是直角三角形； C、三条边的比为1：1：2，12+12=（2）2，故能判断一个三角形是直角三角形； D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90°，故能判断一个三角形是直角三角形． 故选：A． 【点睛】

此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于掌握判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．

B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2 D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A

14．如图，ACB90，ACCD，过D作AB的垂线，交AB的延长线于E，若

AB2DE，则BAC的度数为（ ）

A．45° 【答案】C 【解析】 【分析】

B．30° C．22.5° D．15°

连接AD，延长AC、DE交于M，求出∠CAB=∠CDM，根据全等三角形的判定得出△ACB≌△DCM，求出AB=DM，求出AD=AM，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】

解：连接AD，延长AC、DE交于M，

∵∠ACB=90°，AC=CD， ∴∠DAC=∠ADC=45°， ∵∠ACB=90°，DE⊥AB， ∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM， ∵∠ABC=∠DBE， ∴∠CAB=∠CDM， 在△ACB和△DCM中

CABCDM ACCDACBDCM∴△ACB≌△DCM（ASA）， ∴AB=DM， ∵AB=2DE， ∴DM=2DE， ∴DE=EM， ∵DE⊥AB， ∴AD=AM，

BACDAE故选：C． 【点睛】

11DAC4522.5 22本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM是解此题的关键．

15．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ）

A．30° 【答案】B 【解析】

B．25° C．20° D．15°

试题分析：∵AC为切线 ∴∠OAC=90° ∵∠C=40° ∴∠AOC=50°

∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50° ∴∠ABD=∠ODB=25°. 考点：圆的基本性质.

16．如图：ADAB，AEAC，ADAB，AEAC，连接BE与DC交于M，则：①DACBAE；②DAC≌BAE；③DCBE；正确的有（ ）个

A．0 【答案】D 【解析】 【分析】

B．1 C．2 D．3

利用垂直的定义得到DABEAC90，则ADCBAE，于是可对①进行判断；利用“SAS”可证明DACBAE，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到

ADCABE，则根据三角形内角和和对顶角相等得到DMBDAB90，于是可

对③进行判断．

【详解】

解：QADAB，AEAC，

DAB90，EAC90，

DABBACEACBAC， 即ADCBAE，所以①正确； 在DAC和BAE中，

DAABDACBAE， ACAEDACBAE(SAS)，所以②正确； ADCABE，

∵∠AFD=∠MFB，

DMBDAB90，

DCBE，所以③正确． 故选：D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．

17．如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（ ） A．1倍 【答案】B 【解析】

设原直角三角形的三边长分别是

，且

，则扩大后的三角形的斜边长为

B．2倍

C．3倍

D．4倍

，即斜边长扩大到原来的2倍，故

选B.

18．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）．

A．0根 【答案】B 【解析】

三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B

B．1根

C．2根

D．3根

19．如图，Rt△ABC中，∠C =90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若AD =5cm，CD =3cm，则点D到AB的距离DE是（ ）

A．5cm 【答案】C 【解析】

B．4cm C．3cm D．2cm

∵点D到AB的距离是DE ， ∴DE⊥AB，

∵BD平分∠ABC，∠C =90°，

∴把Rt△BDC沿BD翻折后，点C在线段AB上的点E处， ∴DE=CD， ∵CD =3cm， ∴DE=3cm. 故选：C.

，CD边上，点F，G20．如图，四边形ABCD和EFGH都是正方形，点E，H在AD在对角线AC上，若AB6，则EFGH的面积是( )

A．6 【答案】B 【解析】 【分析】

B．8 C．9 D．12

根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由四边形EFGH是正方形，推出△AEF与△DFH是等腰直角三角形，于是得到DE＝【详解】

解：∵在正方形ABCD中，∠D＝90°，AD＝CD＝AB， ∴∠DAC＝∠DCA＝45°， ∵四边形EFGH为正方形， ∴EH＝EF，∠AFE＝∠FEH＝90°， ∴∠AEF＝∠DEH＝45°， ∴AF＝EF，DE＝DH，

∵在Rt△AEF中，AF2＋EF2＝AE2， ∴AF＝EF＝222EH＝EF，EF＝AE，即可得到结论． 2222AE， 22EH 2同理可得：DH＝DE＝又∵EH＝EF， ∴DE＝1222EF＝×AE＝AE，

2222∵AD＝AB＝6， ∴DE＝2，AE＝4， ∴EH＝2DE＝22，

∴EFGH的面积为EH2＝（22）2＝8， 故选：B．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．