人教版九年级下册数学知识点总结
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反比例函数
一、反比例函数的概念
1． （ ）可以写成 （ ）的形式，注意自变量 x 的指数为 ，在解决有关
自变量指数问题时应特别注意系数 这一限制条件；
2． （ ）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k，从
而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数 的自变量 ，故函数图像与 x 轴、y 轴无交点．
二、反比例函数的图像画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四 象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量
x
0，函数值 y
0，所以它的图像
与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；
②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 三、反比例函数及其图像的性质
1．函数解析式： （ ）
2．自变量的取值范围： 3．图像：
（1）图像的形状：双曲线， 曲度越大。
（2）图像的位置和性质： 当 当
时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内， 时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，
y 随 x 的增大而减小； y 随 x 的增大而增大。
越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直。
越小，图像的
弯
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（3）对称性：图像关于原点对称，即若（ a，b）在双曲线的一支上，则（ 另一支。图像关于直线 在双曲线的另一支上。 ．
4．k 的几何意义
对称，即若（ a，b）在双曲线的一支上，则（
， ）在双曲线的
，
）
， ）和（
如图 1，设点 P（a，b）是双曲线 上任意一点，作 PA⊥x 轴于 A点，PB⊥y 轴于 B点，则矩
形 PBOA的面积是|k| （三角形 PAO和三角形 PBO的面积都是 1/2|k| ）。 如图 2，由双曲线的对称性可知， P关于原点的对称点 Q也在双曲线上， 作 QC⊥PA的延长线于 C， 则有三角形 PQC的面积为 2|k| 。
5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一 概而论。
（2）直线 当
与双曲线 的关系：
时，两图像必有两个交点，且这两个交点关于原点
时，两图像没有交点；当
成中心对称．
四、实际问题与反比例函数
1．求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式。
2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． 五、充分利用数形结合的思想解决问题
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27 相似三角形
一、图形的相似
1．图形的相似：如果两个图形形状相同 , 但大小不一定相等 , 那么这两个图形相似。 （相似的符 号：∽）
性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
2．判定：如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。 3．相似比：相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为 二、相似三角形
1．性质：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角 形相似。
2．判定 . ①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。②如果两个三角 形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。③如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
( ①三边对应成比例②两个三角形的两个角对应相等；③两边对应成比例 , 且夹角相等；④相 似三角形的一切对应线段( 对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半切圆半内、径径等） 的比等于相似比。 ) 3．相似三角形应用
视点：眼睛的位置；仰角：视线与水平线的夹角；盲区：看不到的区域。
4．相似三角形的周长与面积：①相似三角形周长的比等于相似比。②相似多边形周长的比等 于相似比。③相似三角形面积的比等于相似比的平方。④相似多边形面积的比等于相似比的平 方。 三、位似
1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线 交于一点 ，对应边互相 平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做 位似中心 ，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形 的对应点的坐标的比等于 k 或 -k 。 注意
1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图 形不一定是位似图形；
2、两个位似图形的位似中心只有一个；
3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
5．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位 似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意 的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
6．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形 , 这两个图形分布在位似 中心的两侧 , 并且关于位似中心对称。 28
锐角三角函数
1 时，相似的两个图形全等。
一、 锐角三角函数
1．正弦：在 Rt△ABC中，锐角∠ A的对边 a与斜边的比叫做∠ A的正弦，记作 sinA，即sinA=∠A的对边 / 斜边 =a/c ；
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2. 余弦：在 Rt△ABC中，锐角∠ A的邻边 b与斜边的比叫做∠ A的余弦，记作cosA，即 cosA=∠A的邻边 / 斜边 =b/c ；
3. 正切：在 Rt△ABC中，锐角∠ A的对边与邻边的比叫做∠ A的正切，记作tanA，即 tanA=∠A的对边 / ∠A的邻边 =a/b 。
①tanA是一个完整的符号，它表示∠ A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠” ；②tanA没有单位，它 表示一个比值，即直角三角形中∠ A的对边与邻边的比；③tanA不表示“ tan ”乘以“ A”；④tanA的值 越大，梯子越陡，∠ A越大；∠ A越大，梯子越陡， tanA的值越大。
4、余切：定义：在 Rt△ABC中，锐角∠ A的邻边与对边的比叫做∠ A的余切，记作cotA ，即cotA=∠A 的邻边 / ∠A的对边 =b/a ；
5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 （通常我们称 正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于 它的余角的余函数）用等式表达： 若∠ A 为锐角，则① sinA = cos(90 °- ∠A） 等等。 6、记住特殊角的三角函数值表 0°，30°， 45°， 60°， 90°。
7、当角度在 0°～ 90°间变化时，正弦值、 的增大 ( 或减小 ) 而增大 ( 或减小 ) ；余弦 着角度的增大 ( 或减小 ) 而减小 ( 或增大 ) 。0 ≤ cosα≤ 1。
同角的三角函数间的关系： tan α· cot α=1，tan α=sin α/cos α，
2α+cos2α=1 cot α=cosα/sin α，sin
二、解直角三角形
1. 解直角三角形 : 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程。
2．在解直角三角形的过程中用到的关系 :( 在△ABC中，∠ C为直角，∠ A、∠B、∠C所对的边分别为 a、 b、c，)
（1）三边之间的关系： a 2+b2=c2；( 勾股定理 ) （2)两锐角的关系：∠ A＋∠ B=90°；
（3)边与角之间的关系： sinA =a/c ；(a= c sinA) cosA =b/c ；(b= c cosA) tanA=a/b 。
sinA= cosB cosA =sinB sinA= cos(90 °-A)
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正切值随着角 度
值、余切值随 ≤ sin α≤ 1，0
sin α+cos α=1 29
投影与视图
一、投影
1．投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影， 照射光线叫做 投影线 ，投影所在的平面叫做 投影面 。
2．平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。 ( 光源特别远)
3．中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影
4．正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影 面的位置有关。
5． 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。当物体的某
个面顶斜于投影面时， 这个面的正投影变小。 当物体的某个面垂直于投影面时， 这个面的正投影成为 一条直线。
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二、三视图
1．三视图：是观测者从三个不同位置 ( 正面、水平面、侧面 ) 观察同一个空间几何体而画出的图形。 三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整 的表达物体的结构。
2．主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图。 3．俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图。 4．左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图。
5．三个视图的位置关系：①主视图在上、俯视图在下、左视图在右； ②主视、 俯视表示物体的长， 主视、左视表示物体的高， 左视、 俯视表示物体的宽。 ③主视、 俯视 长 对正 ，主视、左视 高平齐，左视、俯视 宽相等 。
6．画法：看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其它部分遮档而看不见的部分的轮廓线画成虚线。
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