2008年全国高中数学联赛江苏赛区

2008年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛试题参考答案及评分标准

一、选择题（本题满分30分，每小题6分）

1. 如果实数m，n，x，y满足m2n2a，x2y2b，其中a，b为常数，那么mx+ny 的最大值为 答：[B]

abA. B.

2ab C.

a2b2 D. 2a2b2 2 解 由柯西不等式(mxny)2(m2n2)(x2y2)ab；或三角换元即可得到

mxnyab，当mnab，xy时，mxnyab. 选B.

22112. 设yf(x)为指数函数yax. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，N,四点中，函数

24 yf(x)与其反函数yf1(x)的图像的公共点只可能是点 答：[D] A. P B. Q C. M D. N 解 取a11111，把坐标代入检验，，而，∴公共点只可能是 161621641214 点N. 选D.

3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，那么xyz的值为 答：[A] A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的x0.5，

y53，z，则xyz1. 选A. 1616京翰教育http://www.zgjhjy.com/

1 0.5 x 2 1 y z 高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com/

4. 如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别是A2B2C2的三个内角的正弦值，那么

答：[B]

A. A1B1C1与A2B2C2都是锐角三角形

B. A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形 C. A1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形 D. A1B1C1与A2B2C2都是钝角三角形

解 两个三角形的内角不能有直角；A1B1C1的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若A2B2C2是锐角三角形，则不妨设

cosA1=sinA2=cosA1， cosB1=sinB2=cosA2，

22cosC1=sinC2=cosC1.

2则

A12A2，B12B2，C12C2，

即 A1B1C13(A2B2C2)，矛盾. 选B. 25. 设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面

 答： [D] ，

A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对

解 任作a的平面，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作的垂线. b与 垂线确定的平面垂直于. 选D.

二、填空题（本题满分50分，每小题10分）

6. 设集合Axx2x2和Bxx2，其中符号x表示不大于x的最大整数，则 AB1,3.

京翰教育http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com/

解 ∵x2，x的值可取2,1,0,1.

当[x]=2，则x20无解； 当[x]=1，则x21，∴x=1； 当[x]=0，则x22无解； 当[x]=1，则x23，∴x3. 所以x1或3.

7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P 分数）.

91(结果要求写成既约 216915 解 考虑对立事件，P1.

62168. 已知点O在ABC内部，OA2OB2OC0.ABC与OCB的面积之比为5：1. 解 由图，ABC与OCB的底边相同，

高是5：1. 故面积比是5：1.

9. 与圆x2y24x0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为y28x(x0)或 y0(x0).

解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、x2为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为y28x(x0)，或

y0(x0).

3AOBC

a2b210. 在ABC中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 = 3 .

c2解 切割化弦，已知等式即 亦即

sinAsinBsinAsinCsinBsinC，

cosAcosBcosAcosCcosBcosCsinAsinBcosCabcosCsinAsinBsin(AB)1. ，即=1，即22sinCcosCsinCca2b2c2a2b21，故3. 所以，

2c2c2京翰教育http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com/

三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分） 11. 已知函数f(x)2x2bxc在x1时有最大值1，0mn，并且xm,n时，

11f(x)的取值范围为,. 试求m，n的值.

nm 解 由题 f(x)2(x1)21， „„5分 f(x)1，11，即m1，f(x)在m,n上单调减， m f(m)2(m1)2111且f(n)2(n1)21. „„10分 mn1的两个解，方程即 x m，n是方程f(x)2(x1)21(x1)(2x22x1)=0，

解方程，得解为1，

1313，. 2213. „„15分 2 1mn，m1，nx2y21上的两个动点，满足OAOB0。 12. A、B为双曲线49 （Ⅰ）求证：

1OA21OB2为定值；

（Ⅱ）动点P在线段AB上，满足OPAB0，求证：点P在定圆上.

证 （Ⅰ）设点A的坐标为(rcos,rsin)，B的坐标为(rcos,rsin)，则rOA，

rOB，A在双曲线上，则

cos2sin2r491. 2 所以

京翰教育http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com/

1cos2sin2. 249r „„5分 由OAOB0得OAOB，所以cos2sin2，cos2sin2. 同理，

1cos2sin2sin2cos2，

4949r2所以

1|OA|21|OB|211115. 224936rr'„„10分

（Ⅱ）由三角形面积公式，得OPABOAOB，所以

2222 OPABOAOB，即OPOAOBOAOB. 222222211115OPOP 即OP1. 224936OAOB2 于是，OP236. 5 即P在以O为圆心、

65为半径的定圆上. „„15分 513. 如图，平面M、N相交于直线l. A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线

DC在平面N内. 已知BDC，BDA，CDA，且，， 都是 锐角. 求二面角MlN的平面角的余弦值（用，，的三角函数值表示）. 解 在平面M中，过A作DA的垂线，

交射线DB于B点；

在平面N中，过A作DA的垂线，

BNCAD京翰教育http://www.zgjhjy.com/ M高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com/

交射线DC于C点. 设DA=1，则

ABtan，DBACtan，DC1， cos1， „„5分 cos 并且BAC就是二面角MlN平面角. „„10分

在DBC与ABC中，利用余弦定理，可得等式

BC211222costantan2tantancos， 22coscoscoscos所以，

2tantancostan2tan2112cos cos2cos2coscos=

故得到

2(coscoscos)， „„15分

coscoscoscoscoscos. „„20分

sinsin14. 能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.（Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48；

（Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.

解（Ⅰ）不能. „„5分 因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是

2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3112121=219·38不是立方数，故不能. （Ⅱ）可以. 36 2 24 „„15分 如右表

8 6

12 18

72 4 京翰教育http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com/

表中每行、每列及对角线的积都是26·23. „„20分

京翰教育http://www.zgjhjy.com/