第２３卷第４期 天津职业技术师范大学学报 Ｖｏ１．２３ Ｎｏ．４ Ｄｅｃ． ２０１３ ２０１３年１２月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＴＩＡＮＪＩＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＯＦ ＴＥＣＨＮＯＬ０ＧＹ ＡＮＤ ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ 新型四自由度并联机构工作空间特性分析 李永刚 ，姜子强 （天津职业技术师范大学机械工程学院，天津３００２２２） 摘要：在建立新型四自由度机构２ＲＲＳ一２ＲＵＳ逆运动学模型的基础上，运用单开链法和支链子空间形成的包络面 法求解确立该机构的可达位置工作空间和姿态工作空间，并利用雅克比矩阵的代数特征定义约束条件，导出机构奇 异位形曲面的方程，据此求解出特定参数下该机构的奇异位形的边界曲线，确定系统在特定参数下出现奇异位形的 可能性。 关键词：并联机构；逆运动学；可达工作空间；奇异位形 中图分类号：ＴＨ１１２ 文献标识码：Ａ 文章编号：２０９５—０９２６（２０１３）０４—０００１—０６ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｗｏｒｋｓｐａｃｅ ｆｏｒ ａ ｎｏｖｅｌ ４－ｄｏｆ ｐａｒａｌｌｅｌ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ＬＩ Ｙｏｎｇ—ｇａｎｇ ．ＪＩＡＮＧ Ｚｉ—ｑｉａｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｉａｎｊｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｔｉａｎｊｉｎ ３００２２２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｆｏｕｒ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｆｒｅｅｄｏｍ ２ＲＲＳ一２ＲＵＳ，ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｅｎｖｅｌｏｐｅ ｍｅｔｈｏｄ ｓｉｎｇｌｅ ｏｐｅｎｅｄ ｃｈａｉｎ ａｎｄ ａ ｃｈａｉｎ ｏｆ ｓｐａｃｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｗｏｒｋｓｐａｃｅ ａｎｄ ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ ｗｏｒｋｓｐａｃｅ，ｔｈｅ ｒｅａｃｈａｂｌｅ ｗｏｒｋｓｐａｃｅ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｉｎｇｌｅ－ｏｐｅｎｅｄ ｌｉｍｂ ａｎｄ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｍｂ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｆｅａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｊａｃｏｂｉａｎ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｂａｓｅｄ ｏｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｕｒｅ ｃａｎ ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｐｒｏｖｉｄｅｄ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓ ｃａｎ ａｌｓｏ ｂｅ ｉｄｅｎｔｉｉｆｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｇｉｖｅｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐａｒａｌｌｅｌ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ；ｉｎｖｅｒｓｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ；ｒｅａｃｈａｂｌｅ ｗｏｒｋｓｐａｃｅ；ｓｉｎｇｕｌａｒ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ 并联机构具有刚度大、承载能力强、响应速度快 求解４条支链所形成子工作空间的公共交集来确定系 统的可达工作空间，并分析了各参数对该工作空间的 等优点，但是其工作空间的大小却相对有限，因此工 作空间的特性常常被用于评价系统性能和设计并联 机构参数的重要性能指标之一。并联机构的工作空间 主要是分析并联机构动平台的位姿实现的能力，计算 方法大致分为数值法和解析法ｆｌ－２］。解析法是以运动学 影响。此外，借助雅可比矩阵的代数特征来定义约束 条件，求解出工作空间产生奇异的边界。 １ ２ＲＲＳ一２ＲＵＳ并联机器人的结构 ２ＲＲＳ￣２ＲＵＳ并联机器人的结构如图１所示，该并 联机器人主要由定平台和动平台及连接平台的４条支 链组成。每条支链包括驱动杆和固定杆，一端通过Ｒ副 与定平台连接，一端通过球副Ｓ与动平台相连。支链１、 正解为基础进行确定，求解困难且过程较复杂，但结 果精确。黄田等『３＿曾运用单参数包络面理论求解了 Ｓｔｅｗａｒｔ工作空间边界的封闭解。数值法基于逆运动学 模型通过数值迭代确定工作空间的范围。如刘辛军 等［４１对新型三自由度并联机构的工作空间做的具体分 析。鉴于奇异位形对系统性能的破坏性影响，关于并 ３机构相同，为ＲＲＳ约束支链；２、４相同，为ＲＵＳ无约束 支链。约束支链中的转动副轴线相互平行，无约束支 联机构的非奇异性工作空间的研究吸引了众多研究 者的兴趣 。本文针对一种新型四自由度机构２ＲＲＳ一 ２ＲＵＳ的结构特征，综合运用数值法和几何法，即采用 单开链分析法，将每一条支链看作独立的运动，通过 收稿日期：２０１３—１１－０６ 链中的虎克铰一条轴线与该支链的Ｒ副平行，另一条 轴线与该支链的Ｒ副垂直，通过改变驱动杆的旋转角 度来调整动平台的位姿。 基金项目：国家自然基金资助项目（５１００５１６４）；天津市自然基金资助项目（１３ＪＣＱＮＪＣ０４５００）；天津职业技术师范大学预研项目（ＫＪＹ１２－１９） 作者简介：李永刚（１９７５一），男，副教授，博士后，研究方向为机构学． ・２・ 天津职业技术师范大学学报 第２３卷 态矩阵 为： 动平台 Ｒ＝Ｒｏｔ（Ｏ， ）Ｒｏｔ（ ，Ｙ ）Ｒｏｔ（ｄ）， ”）＝ 支链２ ｃＯ ｓ０ｓ６ ｓ０ｃ６ １ ｓ０ｓｌ０ ｃＯｃ＋一ｓ０ｃＯｓ＋一ｃｏｓ＋一ｓ￣，ｃＯｃ４，Ｉ（１） １－ｃ０ｓＯ￣４，ｃ６＋ｃＯｃＯｓ＋－ｓＯｓ＋＋ｃ０ｃＯｃ６ Ｉ 虎克铰 支链１ 式中：ｃ表示ＣＯＳ；ｓ表示ｓｉｎ；０、 、 分别为进动角、章动角 和自旋角。 各支链与定平台和动平台的连接点Ａ 和Ｂ 分别在 图１ ２ＲＲＳ－２ＲＵＳ并联机构结构图 机构坐标系的建立及参数的确定如图２所示。定 平台Ａ Ａ 和动平台 。Ｂ 分别是以尺和ｒ为半径 的圆台，各支链与两平台的连接点分别为Ａ （ １，２，３，４）且均匀分布在圆台的边上。为便于分析，在 定平台的中心Ｏ上建立固定坐标系Ｄ ，’，，ｚ１，礴由沿着 Ａ ４ ，ｚ轴垂直于定平台竖直向上， 轴满足右手定则。 在动平台中心Ｐ上建立动坐标系，Ｗ轴沿着 的方向垂 直于动平台， 沿着ＰＢ 的方向， 轴由右手定则确定。动 平台上各球铰中心在固定坐标系中表示为 一】， ”， 各支链中的驱动杆和固定杆长分别为了ｆ 和ｆ 驱动角 度分别为Ｏｌ （ ＝１，２，３，４）。 图２机构坐标系的建立 如果只考虑２、４支链，动平台可以进行 、ｙ．ｚ轴方 向的移动和绕 、ｙｔｉｌｆｔ方向的转动，但由于１、３３Ｅ链中第 ２个转动副的约束作用，动平台沿Ｙ轴方向的移动受到 限制，最终在４个支链的约束下，该机构具有二维移动 和二维转动，即 、 轴方向的移动与绕 、ｙ轴方向的 转动。 ２机构的位置逆解分析 根据并联机构２ＲＲＳ一２ＲＵＳ的自由度类型可知，该 并联机构的位置逆解分析是已知动平台相对与定平 台的２个位置参数和２个姿态参数，求解４个驱动杆的 转动角度。动平台相对于定平台的位置变换可以用 一 】， 一 型的３个欧拉角（ ， ，西）进行描述，其相应的姿 定坐标系和动坐标系中的位置向量为： Ａｌ＝（Ｒ，０，０） Ｂｌ＝（ｒ，０，０） Ａ２＝（０，一Ｒ，０） Ｂ２＝（０，一ｒ，０） Ａ３＝（一Ｒ，０，０） Ｂ３＝（一ｒ，０，０） Ａ４＝（０，Ｒ，０） Ｂ４＝（０，ｒ，Ｏ） 动平台上的参考点相对于定平台的位置向量ｒｎ为： ＝（ ） （２） 在定坐标系中，动平台上各球铰链中心 的位置 向量，亦可通过旋转矩阵获得： Ｂ ＝ｒ ＋Ｒ・Ｂ （３） 由于该新型四自由度的并联机构的特殊性，即 约束支链中的转动副轴线相互平行所带来的几何 约束为： Ｂ ＝０，Ｂ ＝０ （４） 将式（４）代到式（３），得 ｛【ｓｉ ｎ０＂ｓｉｎ￣ｂ』＿ ，０ ＝０ （ 、５） ＿＝依上分析，可以得到动平台的位置参数有４个独 立变量（ ， ， ， ）。已知４个独立变量，就可以通过并 联机构各支链间的闭环式量方程，求得并联机构的位 置逆解，即求得驱动副的转角（ ， ， 。， ）。 动平台中各铰链相对于Ｄ— 坐标系的坐标为： Ｂ ＝Ａ ＋ ｅ ＋ｌｉ２￣ （ｉ＝１，２，３，４） （６） 式中：ｌｉｌ为各支链的固定杆长； 为杆ｆ 的方向向量；Ｐ 为固定连杆ｆＩ１的方向向量ｅ ＝『ｓｉｎｏｔ ０ ＣＯＳＯｔｉ］（ｉ＝１，２， ３，４）；联立方程（３）和方程（６），得到： Ｚ ＝ ＋Ｒ・ —Ａ 一 ｌ・ｅ （ｉ＝ｌ，２，３，４）（７） 将４ 点和Ｂ 点的坐标及式（２）和式（５）代到式（７） 中，解得： ｌ＝ａｔ＂ｃｏｓ（ｐ 一ｒ ＣＯＳ ｓｉｎ ± ｘ／１１２２一（ｐ ＋ｒ ＣＯＳ Ｏ－Ｒ） 一（ｒ ｓｉｎ ｓｉｎ ） ））／１１１） Ｏｔ２＝ａＦ ｃｏｓ（ｐ 一ｒ ｓｉｎ ± ｘ／ｌＺ－￣ｐｘ：一（尺 ｒＩ１０ｓ ）／１： ） Ｏｌ３＝ａｌ＂ｃｏｓ（ｐ。＋ｒ ＣＯＳ ｌｆｒ ｓｉｎ ４－ Ｚ３２２一（ｐ ＋ｒ ｃｏｓ Ｏ－Ｒ） 一（ｒ ｓｉｎ ｓｉｎ ） ））／ｌ３１） 第４期 李永刚，等：新型四自由度并联机构工作空间特性分析 ・ ３ ・ Ｏｔ４＝ａｒ ｃｏｓ（ｐ ＋ｒ ｓｉｎ ．４－ Ｘ／１４２２－（ｐｘ２－（Ｒ—ｒ ｃｏｓ ） ））／ｌ４１） （１）以运动副Ｃ点为圆心，以各支链与球副相连的 杆为半径ｒ做圆。 （２）根据驱动角的范围进行驱动，ＯＬ】！＝ ＋ ｍ上式中每组有２个解，由于机构的对称性，当其中一条 支链角度输入确定时，相对支链中有２个解与其相对 血 —ｌ 应，所以理论上其输入组合共有２×２×２×２＝１６组解。 但在实际应用中，１６组逆解并非都可取，需要考 （ｉ＝０，１，…，ｍ一１） （３）循环ｉ次，其圆心轨迹变化导致运动空间变 化，最终４条单开链的运动空间的交集即为位置工作空 虑到机构运动的连贯性、准确性、机构的尺寸约束，甚 至机构的工作环境。综上所述，实际中只需采用一组 逆解作为驱动的求解参数即可。 ３工作空间分析 根据并联机构的工作空间研究现状【”，可以根据 操作器的姿态特点，将工作空间分为可达工作空间、 灵活工作空间和可控工作空间。 影响工作空间的因素主要有：杆长的限制、转动 副转角的限制以及杆件的尺寸干涉。 ｍａｘ（／ ）≤ ｌ＋ｌ ｍａ （咖１）≤［ １＿ ｔ］ —ｉ：ｌ，，ｚ，２＇ｊ，４ ３＇４） （ｍａｘＬ ８） ｍａｘ（￣ｚ）≤ ２］ 式中：［咖１］、［捌分别为转动副与球副的许用转角。 ３．１可达工作空间 ２ＲＲＳ一２ＲＵＳ机构具有２个平动和２个转动自由度， 其可达工作空间定义为满足约束条件的所有动平台 位姿参数 ， ，０，ｌｆ，的集合。 为研究机构的可达工作空间特性，可以分别求得 机构在特定姿态下的位置工作空间和在特定位置下 的姿态工作空间。在分析位置工作空间时，采用单开 链分析法，即将每一条支链看作独立的运动，４条支链 所形成的工作空间的交集即为位置工作空间，此方法更 为直观，便于观察某个特定姿态下机构的工作空间。 位置工作空间：首先采用几何法对每一条独立支 链（单开链）进行分析，根据机构特点，支链１、３（ＲＲＳ） 单独运动所形成的空间为一平面，而支链２、４（ＲＵＳ）单 独运动形成的空间为一椭球面，如图３所示。 间 图３单开链运动空间 间，如图４所示。 ａ） ：Ｏ。． ＝０。 （ｂ）０＝４０ｏ， ＝０。 ｃ）０：０。， ＝３０。 ，ｍ （ｄ）０＝４０。， ：３０。 图４单开链形成的位置工作空间 ・４・ 天津职业技术师范大学学报 第２３卷 姿态工作空间：利用位置逆解方程，可以得到各 支链子空间边界曲线表达式： （Ｒ—ｒ ＣＯＳ ９） ＋（ —ｒ ｓｉｎ ｓｉｎ ） ＋ （ ＋ｒ ＣＯＳ ０ ｓｉｎ 一 ｌＩ ｓｉｎ Ｏｌ１） ＝１１２２ （９） （只一ｒ ＣＯＳ ０＋Ｒ） ＋ （ 一ｒ ｓｉｎ ０一ｆ２ｌ ｓｉｎ Ｏｌ２） ＝ｆ２２２ （１０） （尺一ｒ ＣＯＳｔ ） ＋（ 一ｒ ｓｉｎ０ ｓｉｎ ） ＋ （ 一ｒ ｃｏｓ ０ ｓｉｎ 一ｆ３１ ｓｉｎ ３）。＝Ｚ３２２ （１１） （ ＋ｒ ｃｏｓ ０一Ｒ） ＋ （ ＋ｒ ｓｉｎ ０一ｆ４１ ｓｉｎ ０［４） ＝ｆ４２２ （１２） 当给定尺寸参数和位置参数 、 时，借助式 （１０）、（１２）可以得到 的取值范围，然后利用（９）、（１１） 可以得到ｌｆ，、ｏＮ条边界包络线，最终在取值范围内由 两条包络线所形成的包络面即为姿态工作空间。 为了更直观地观察到姿态角 、 对位置 的影响， 首先给定 值，然后利用Ｍａｔｌａｂ借助边界搜索法求得。 根据机构的自由度特性，将动平台沌轴的移动方 向分割成 的子空问。 （１）给定 的最小值 ，依次对姿态角 、 进行 搜索。 （２）将 增力Ⅱ ，即 ＝ｚ ＋ 兰蛸 争（ ＝ｌ，２，３，４）， ｍ一１ 循环ｉ次后，重复步骤（２），直到ｚ取到ｚ一 采用类似的方法，同理可以求得对 的影响。 ３．２无奇异工作空间分析 奇异性的影响主要在于：当机构处于奇异位置 时，系统会瞬间获得或失去一个或多个自由度，导致 机构运动失控。当求得的雅克比矩阵行列式为ｏＮ，／，机 构就会出现内部奇异位型，机构的驱动力传递效率极 差或运动状态将会发生不可预测的变化，且此类奇异 位型无法通过参数设计避免。当已知 、 姿态角时，能 得到位置奇异轨迹曲线；当已知只、 时，能得到姿态 奇异轨迹曲线。因此在研究工作空问时，为保证机构 的运动性能需要将奇异位姿的工作空间去掉，得到无 奇异的工作空间，即满足条件： ．八Ｐ ，Ｐ ， ，０）＝ＩＪＩ≠０ （１３） 式中：．，为完整雅克比矩阵。 （ １× １３） （ｂ２ｘｓ２４） Ｔ ２４ ２２ Ｔ Ｔ Ｔ （６３×ｓ３３） Ｊ＝ ］＝ （１４） （易 × ） Ｔ ￥４４ ４２ （６１× ｌ１）Ｔ （ｂ３× ３１） 其中： 为运动子矩阵；Ｊｃ为约束子矩阵；易 为点 的位 置矢量，即 ＝ＲＢ ； 为第ｉ条支链的第 个转动副的单 位方向向量。 通过式（１３）可以得到一组含有 、Ｐｚ、０、 的４个未 知参数的奇异位型曲面方程，在给定固定位置 、 的 情况下，奇异位型曲面方程变为关于０、 的双参数隐 函数方程。其含义为选定了空间某个不变点位，并保 持不动，让欧拉角（ ， ）变化，得到所有能达到该固定 位置的欧拉角。 （１）给定姿态角 ，根据厂（ ， ）求得０，令 ＝ ＋ （ ０，１，…，ｍ一１） ｜ｆＬ—Ｉ 循环ｉ次，再逐次搜索０，最终得到姿态角０随 变化的奇 异位形边界曲线。 （２）给定姿态角 ，根ＮＵ（０， ）求得 ，令 Ｏｉ＝ ＋ （ ０，１，…，ｍ一１） 玎 —ｌ 循环ｉ次，再逐次搜索 ，最终得到姿态角 随０变化的 奇异位型边界曲线。 ３．３数值算例 给定机构结构参数，动定平台外接圆半径分别为 Ｒ：０－３ ｍ，ｒ：０．２ ｍ；杆长分别为Ｚ１１＝ｚｌ３＝０．４ ｍ，Ｚ２１＝１４１＝ ０．３８ ｍ，Ｚ ＝ｆ３，＝０．５ ｍ，ｆ４２＝ｆ４２＝０．５２ ｍ；转动副与球面 副的许用转角分别为 】＝３０。￣１５０。， ２］＝￣４５。。 根据２ＲＲＳ一２ＲＵＳ机构的运动特点，其运动空间为 关于机构坐标系Ｙ轴对称的平面。从图４（ａ）、（ｄ）可以看 到，此时机构的姿态角为０＝０。， ＝ＯＯ和０＝４０。，ｌｆ，＝ ３０。时，机构单开链所包络形成的工作空间沿着 向左 右对称，比较图４（ａ）、（ｂ），机构的ｚ向移动能力随着０角 的增大而减小，比较图４（ｃ）、（ｄ）机构的 向移动能力随 着 的增大而减小。 图５所示为单开链形成的姿态工作空间。比较图５ （ａ）、（ｅ）可以看出，随着机构 向偏移量的增大，姿态角 的转动能力下降。比较图５（ｃ）、（ｄ），机构随着ｚ向位移的 增大， 姿态角的转动能力下降。 图６所示为２ＲＲＳ一２ＲＵＳ机构工作空间。从图６（ｂ） 中发现 正负向的移动能力是关于 姿态角对称的。 图７所示为２ＲＲＳ一２ＲＵＳ姿态工作空间边界与奇异 位形边界。由图７（ａ）和（ｂ）可以看到，在所给的机构参 数范围内和给定的位置参数下，机构的工作空间截面 与奇异位形截面未出现交点，即此时未发生奇异。 图７（ｅ）、（ｄ）中，当２ＲＲＳ一２ＲＵＳ机构在 ＝０．３， ＝ Ｏ．７５时，机构的工作空间截面与奇异位形截面出现 了交点，即在该位置出现了奇异位形，设计时应该 避免。 ・６・ 天津职业技术师范大学学报 第２３卷 一工作空间截面和奇异位形截面 ＝０ ＝０ ３５ ・工作空间截面和奇异位形截面（ ＝０，ｚ＝０ ３５） ・工作空间截面和奇异位形截面 ＝０．１５， ＝０ ５５） 喜 ｆ／ｒａｄ （ｃ）ｏｎｅ，变化时的工作空间边界与奇异位型边界 （ｄ） 随ｐ变化时的工作空间边界与奇异位型边界 图７ ２ＲＲＳ一２ＲＵＳ的姿态工作空间边界与奇异位形边界 ａｌｌｅｌ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｄｅｓｉｇｎ，１９９０， ４结论 １ｊ１１２（３）：３３１—３３６． 曹永刚，张玉茹，马运忠．６－ＲＳＳ型并联机构的工作空间 （１）基于矢量法建立了该机构的逆运动学方程， ＿寸 分析与参数优化［Ｊ］．机械工程学报，２００８，４４（１）：１９—２４． １Ｊ］ｊ］ｊ 给定动平台的４个独立参数，即可求解出各个驱动参数。 （２）利用数值法，通过确定单支链的工作空间和 求解４个支链的交集即可确定机构的可达工作空间， 并可分析各参数对它的影响。 黄田，汪劲松，ＷＨＩＴＥＨＯＵＳＥ Ｄ Ｊ．Ｓｔｅｗａ￣并联机器人位置 空间解析［Ｊ］．中国科学，１９８８，２８（２）：１３６—１４５． 刘辛军，汪劲松，李剑锋．一种新型空间３自由度并联机构 的正反解及工作空间分析［Ｊ］．机械工程学报，２００１，３７（１Ｏ）： ３６—３９． （３）以雅克比矩阵行列式为零定义约束条件，通 过列出奇异位形曲线方程可求得奇异位形的工作空 间的边界，为机构的进一步研究提供了理论支持。 参考文献： ［１］ ＧＯＳＳＥＬＩＮ Ｃ Ｍ．Ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｗｏｒｋｓｐａｃｅ ｏｆ ６ ＤＯＦ ｐａｒ－ 李保坤，曹毅，黄真，等．基于单元四元数的Ｓｔｅｗａｒｔ机构姿 态工作空间研究［Ｊ］．机器人，２００８，３０（７）：３５５—３５８． 鲁开讲，牛禄峰，刘亚茹，等．３－ＲＰＳ并联机构奇异位形及 工作空间研究［Ｊ］．农业机械学报，２００７，３８（５）：１４３—１４６． 胡国胜．并联机器人的工作空间研究现状［Ｊ］．仪器仪表用 户，２００４，１１（６）：１—３．
