圆的综合题
类型一 与全等结合
1. 如图，⊙O的直径AB＝4，C为⊙O上一点，AC＝2.过点C作⊙O︵
的切线DC，P点为优弧CBA上一动点(不与A、C重合)． (1)求∠APC与∠ACD的度数；
︵
(2)当点P移动到劣弧CB的中点时，求证：四边形OBPC是菱形； (3)当PC为⊙O的直径时，求证：△APC与△ABC全等．
第1题图
1
(1)解：∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝2AB＝2，
∴AC＝OA＝OC， ∴△ACO为等边三角形，
∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60°，
1
∴∠APC＝2∠AOC＝30°， 又∵DC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥DC， ∴∠DCO＝90°，
∴∠ACD＝∠DCO－∠ACO＝90°－60°＝30°；
第1题解图
(2)证明：如解图，连接PB，OP，
∵AB为直径，∠AOC＝60°， ∴∠COB＝120°，
︵
当点P移动到CB的中点时，∠COP＝∠POB＝60°， ∴△COP和△BOP都为等边三角形， ∴OC＝CP＝OB＝PB， ∴四边形OBPC为菱形；
(3)证明：∵CP与AB都为⊙O的直径，
∴∠CAP＝∠ACB＝90°， 在Rt△ABC与Rt△CPA中，
AB＝CP
AC＝AC， ∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL)．
2. 如图，AB为⊙O的直径，CA、CD分别切⊙O于点A、D，延长线交⊙O于点M，连接BD、DM. (1)求证：AC＝DC； (2)求证：BD∥CM；
(3)若sinB＝4
5，求cos∠BDM的值．
第2题图
(1)证明：如解图，连接OD，
∵CA、CD分别与⊙O相切于点A、D， ∴OA⊥AC，OD⊥CD， 在Rt△OAC和Rt△ODC中，
CO的
OA＝OD， OC＝OC
∴Rt△OAC≌Rt△ODC(HL)， ∴AC＝DC；
(2)证明：由(1)知， △OAC≌△ODC，
∴∠AOC＝∠DOC， ∴∠AOD＝2∠AOC， ∵∠AOD＝2∠OBD， ∴∠AOC＝∠OBD， ∴BD∥CM； (3)解：∵BD∥CM，
∴∠BDM＝∠M，∠DOC＝∠ODB，∠AOC＝∠B， ∵OD＝OB＝OM，
∴∠ODM＝∠OMD，∠ODB＝∠B＝∠DOC， ∵∠DOC＝2∠DMO， ∴∠DOC＝2∠BDM， ∴∠B＝2∠BDM，
如解图，作OE平分∠AOC，交AC于点E，作EF⊥OC于点F，
第2题解图
∴EF＝AE，
在Rt△EAO和Rt△EFO中，
OE＝OE∵， AE＝EF
∴Rt△EAO≌Rt△EFO(HL)， 1
∴OA＝OF，∠AOE＝2∠AOC， ∴点F在⊙O上，
又∵∠AOC＝∠B＝2∠BDM， ∴∠AOE＝∠BDM， 设AE＝EF＝y， 4
∵sinB＝5，
AC4
∴在Rt△AOC中，sin∠AOC＝OC＝5，
∴设AC＝4x，OC＝5x，则OA＝3x， 在Rt△EFC中，EC2＝EF2＋CF2， ∵EC＝4x－y，CF＝5x－3x＝2x， ∴(4x－y)2＝y2＋(2x)2， 3
解得y＝2x，
∴在Rt△OAE中，OE＝OA2＋AE2 ＝
335
（3x）2＋（2x）2＝2x，
OA3x25
∴cos∠BDM＝cos∠AOE＝OE＝＝5. 352x︵︵
3. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，AB＝BD，BE⊥DC交DC的延长线于点E. (1)求证：∠1＝∠BCE； (2)求证：BE是⊙O的切线； (3)若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA.
第3题图
(1)证明：如解图，过点B作BF⊥AC于点F，
︵︵∵AB＝BD， ∴AB＝BD
在△ABF与△DBE中， ∠BAF＝∠BDE
∠AFB＝∠DEB， AB＝DB
∴△ABF≌△DBE(AAS)， ∴BF＝BE，
∵BE⊥DC，BF⊥AC， ∴∠1＝∠BCE； (2)证明：如解图，连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即∠1＋∠BAC＝90°， ∵∠BCE＋∠EBC＝90°，且∠1＝∠BCE， ∴∠BAC＝∠EBC， ∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA， ∴∠EBC＝∠OBA，
∴∠EBC＋∠CBO＝∠OBA＋∠CBO＝90°， ∴∠EBO＝90°， 又∵OB为⊙O的半径， ∴BE是⊙O的切线；
第3题解图
(3)解：在△EBC与△FBC中，
∠BEC＝∠CFB，
∠ECB＝∠FCB， BC＝BC，
∴△EBC≌△FBC(AAS)， ∴CE＝CF＝1.
由(1)可知：AF＝DE＝1＋3＝4， ∴AC＝CF＋AF＝1＋4＝5，
CD3
∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝CA＝5. 类型二 与相似结合
4. 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F. (1)求∠DAF的度数； (2)求证：AE2＝EF·ED； (3)求证：AD是⊙O的切线．
第4题图
(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝1
2(180°－36°)＝72°， ∴∠AFB＝∠ACB＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝36°， ∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC＝36°，
∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°； (2)证明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D，∠AEF＝∠AED，
∴△EAF∽△EDA， AEEF∴DE＝EA， ∴AE2＝EF·ED；
(3)证明：如解图，过点A作BC的垂线，G为垂足，
∵AB＝AC， ∴AG垂直平分BC， ∴AG过圆心O， ∵AD∥BC ， ∴AD⊥AG ， ∴AD是⊙O的切线．
第4题解图
︵
5. 如图，AB为半圆的直径，O为圆心，OC⊥AB，D为BC的中点，连接DA、DB、DC，过点C作DC的垂线交DA于点E，DA交OC于点F.
(1)求证：∠CED＝45°； (2)求证：AE＝BD； AO
(3)求OF的值．
第5题图
11
(1)证明：∵∠CDA＝2∠COA＝2×90°＝45°，
又∵CE⊥DC，∴∠DCE＝90°， ∴∠CED＝180°－90°－45°＝45°； (2)解：如解图，连接AC，
︵
∵D为BC的中点，
1
∴∠BAD＝∠CAD＝2×45°＝22.5°， 而∠CED＝∠CAE＋∠ACE＝45°，
∴∠CAE＝∠ACE＝22.5°， ∴AE＝CE，
∵∠ECD＝90°，∠CED＝45°， ∴CE＝CD， ︵︵又∵CD＝BD， ∴CD＝BD，
∴AE＝CE＝CD＝BD， ∴AE＝BD；
第5题解图
(3)解：设BD＝CD＝x，∴AE＝CE＝x，
由勾股定理得，DE＝2x，则AD＝x＋2x， 又∵AB是直径，则∠ADB＝90°， ∴△AOF∽△ADB， AOADx＋2x
∴OF＝DB＝x＝1＋2.
6. 如图，AB为⊙O的直径，P点为半径OA上异于点O和点A的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE//AD交BE于E点，连接AE、DE，AE交CD于点F. (1)求证：DE为⊙O的切线；
1
(2)若⊙O的半径为3，sin∠ADP＝3，求AD； (3)请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．
第6题图
(1)证明：如解图，连接OD，
∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵OE∥AD，
∴∠OAD＝∠BOE，∠DOE＝∠ODA， ∴∠BOE＝∠DOE， 在△BOE和△DOE中，
OB＝OD
∠BOE＝∠DOE， OE＝OE
∴△BOE≌△DOE(SAS)， ∴∠ODE＝∠OBE， ∵BE⊥AB， ∴∠OBE＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∵OD为⊙O的半径， ∴DE为⊙O的切线； (2)解：如解图，连接BD，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°， ∵AB⊥CD，
∴∠ADP＋∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠ADP，
AD1
∴sin∠ABD＝AB＝sin∠ADP＝3， ∵⊙O的半径为3， ∴AB=6， 1
∴AD＝3AB＝2；
第6题解图
(3)解：猜想PF＝FD，
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB， ∴CD∥BE， ∴△APF∽△ABE， PFAP∴BE＝AB， AP·BE
∴PF＝AB， 在△APD和△OBE中，
∠APD＝∠OBE， ∠PAD＝∠BOE
∴△APD∽△OBE， PDAP∴BE＝OB， AP·BE
∴PD＝OB， ∵AB＝2OB， 1
∴PF＝2PD， ∴PF＝FD.
7. 如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD∥AC，OD交⊙O于点E，且∠CBD＝∠COD. (1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若点E为线段OD的中点，求证：四边形OACE是菱形． FG
(3)如图②，作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G，求FC的值．
第7题图
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°， ∴∠ABC＋∠BAC＝90°， ∵OD∥AC，∴∠ACO＝∠COD. ∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO， 又∵∠COD＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠BAC， ∴∠ABC＋∠CBD＝90°， ∴∠ABD＝90°， 即OB⊥BD，
又∵OB是⊙O的半径， ∴BD是⊙O的切线； (2)证明：如解图，连接CE、BE，
∵OE＝ED，∠OBD＝90°， ∴BE＝OE＝ED， ∴△OBE为等边三角形，
∴∠BOE＝60°， 又∵AC∥OD， ∴∠OAC＝60°， 又∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形， ∴AC＝OA＝OE， ∴AC∥OE且AC＝OE，
∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE， ∴四边形OACE是菱形；
第7题解图
(3)解：∵CF⊥AB，
∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD， ∴∠CAF＝∠DOB， ∴Rt△AFC∽Rt△OBD，
FCAFBD·AF∴BD＝OB，即FC＝OB， 又∵FG∥BD， ∴△AFG∽△ABD，
FGAFBD·AF∴BD＝AB，即FG＝AB， FCAB
∴FG＝OB＝2， FG1∴FC＝2. 8. 如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB. (1)求证：AC平分∠FAB； (2)求证：BC2＝CE·CP；
CF3︵
(3)当AB＝43且CP＝4时，求劣弧BD的长度．
第8题图
(1)证明：∵PF切⊙O于点C，CD是⊙O的直径，
∴CD⊥PF， 又∵AF⊥PC， ∴AF∥CD， ∴∠OCA＝∠CAF， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠CAF＝∠OAC， ∴AC平分∠FAB； (2)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°， ∵∠DCP＝90°， ∴∠ACB＝∠DCP＝90°， 又∵∠BAC＝∠D， ∴△ACB∽△DCP， ∴∠EBC＝∠P， ∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC＝90°， ∴∠CBP＝90°， ∴∠BEC＝∠CBP， ∴△CBE∽△CPB， ∴BC＝CEPCCB， ∴BC2＝CE·CP；
(3)解：∵AC平分∠FAB，CF⊥AF，∴CF＝CE， ∵CF＝3CP4， ∴CE＝3CP4，
设CE＝3k，则CP＝4k， ∴BC2＝3k·4k＝12k2， ∴BC＝23k，
CE⊥AB，
CE3k3
在Rt△BEC中，∵sin∠EBC＝BC＝＝2，
23k∴∠EBC＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠DOB＝120°， ︵120π·2343π∴BD＝180＝3. 类型三 与全等相似结合
9. 如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F(靠近点C)作CE的平行线交AB于点G，连接CG. (1)求证：AB＝CD； (2)求证：CD2＝BE·BC；
9
(3)当CG＝3，BE＝2，求CD的长．
第9题图
(1)证明：∵AC为直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴BC∥AD， ∴∠BCA＝∠CAD， 又∵AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA(AAS)， ∴AB＝CD；
(2)证明：∵AE为⊙O的切线且O为圆心，
∴OA⊥AE， 即CA⊥AE，
∴∠EAB＋∠BAC＝90°， 而∠BAC＋∠BCA＝90°， ∴∠EAB＝∠BCA， 而∠EBA＝∠ABC， ∴△EBA∽△ABC，
EBBA∴AB＝BC， ∴AB2＝BE·BC， 由(1)知AB＝CD， ∴CD2＝BE·BC； (3)解：由(2)知CD2＝BE·BC，
9
即CD＝2BC①，
2
∵FG∥BC且点F为AC的三等分点， ∴G为AB的三等分点， 即CD＝AB＝3BG，
在Rt△CBG中，CG2＝BG2＋BC2， 1
即3＝(3CD)2＋BC2②， 将①代入②，消去CD得， 1
BC2＋2BC－3＝0， 即2BC2＋BC－6＝0，
3
解得BC＝2或BC＝－2(舍)③，
33
将③代入①得，CD＝2. 10．如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，BC2︵︵
＝CD·CA，ED＝BD，BE交AC于点F. (1)求证：BC为⊙O的切线； (2)判断△BCF的形状并说明理由；
︵(3)已知BC＝15，CD＝9，∠BAC＝36°，求BD的长度(结果保留π).
第10题图
(1)证明：∵BC2＝CD·CA，
BCCD
∴CA＝BC， ∵∠C＝∠C， ∴△CBD∽△CAB， ∴∠CBD＝∠BAC， 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，
即∠BAC＋∠ABD＝90°， ∴∠ABD＋∠CBD＝90°， 即AB⊥BC，
又∵AB为⊙O的直径， ∴BC为⊙O的切线； (2)解：△BCF为等腰三角形．
︵︵证明如下：∵ED＝BD， ∴∠DAE＝∠BAC， 又∵△CBD∽△CAB， ∴∠BAC＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠DAE， ∵∠DAE＝∠DBF， ∴∠DBF＝∠CBD， ∵∠BDF＝90°， ∴∠BDC＝∠BDF＝90°， ∵BD＝BD， ∴△BDF≌△BDC，
∴BF＝BC，
∴△BCF为等腰三角形； (3)解：由(1)知，BC为⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°∵BC2＝CD·CA，
BC2152
∴AC＝CD＝9＝25，由勾股定理得AB＝AC2－BC2＝252－152＝20，
AB
∴⊙O的半径为r＝2＝10，∵∠BAC＝36°， ︵︵72×π×10∴BD所对圆心角为72°.则BD＝180＝4π.
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