颍州区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

颍州区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为（ ）

（A） 8

（ B ） 4 （C） （D）

8 34 3 +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共

2． 如图F1、F2是椭圆C1：

点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）

A． B． C． D．

3． 若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

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精选高中模拟试卷

4． 已知z113i，z23i，其中i是虚数单位，则A．1 B．

z1的虚部为（ ） z244 C．i D．i 55【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题. 5． 实数a=0.2A．a＜c＜b

取值范围是（ ） A．，b=log

0.2，c=

的大小关系正确的是（ ） C．b＜a＜c

D．b＜c＜a

B．a＜b＜c

6． 设函数fxex2x1axa，其中a1，若存在唯一的整数，使得ft0，则的

333333,1 B．, C．, D．,11111] 2e2e42e42e的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等

7． 设F1，F2是双曲线于（ ） A．

B．

C．24

D．48

8． 甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均环数x 方差ss 8.3 3.5 8.8 3.6 8.8 2.2 8.7 5.4 从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

9． 已知数列an是各项为正数的等比数列，点M(2,log2a2)、N(5,log2a5)都在直线yx1上，则数列

an的前n项和为（ ）

A．22 B．2nn12 C．2n1 D．2n11

10．给出以下四个说法：

①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ②线性回归直线一定经过样本中心点，；

③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=；

④对分类变量X与Y它们的随机变量K2的观测值k越大，则判断“与X与Y有关系”的把握程度越小． 其中正确的说法的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

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11．如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个 圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

A

D

O B

C

A．

1 B．

11111 C． D． 2242

【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度． 12．“1＜m＜3”是“方程A．充分不必要条件 C．充要条件

+

=1表示椭圆”的（ ）

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

二、填空题

13．方程4xkx23有两个不等实根，则的取值范围是 ．

214．= ．

15．曲线y=x+ex在点A（0，1）处的切线方程是 ．

2

数y=ax﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是 ．

16．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函17．如果定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2（fx1），则称函数为“H函数”，给出下列函数

①f（x）=3x+1 ②f（x）=（）x+1 ③f（x）=x2+1 ④f（x）=

其中是“H函数”的有 （填序号）

18．若函数f(x)的定义域为1,2，则函数f(32x)的定义域是 ．

三、解答题

19．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：

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[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；

（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．

20．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C2的参数方程为

（θ为参数）．

（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；

（Ⅱ）试判断曲线C1与C2是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．

21．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|． （Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；

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（Ⅱ）若正实数a，b足+=

，求证： +≥m．

22．已知直线l：x﹣y+9=0，椭圆E： +=1，

（1）过点M（，）且被M点平分的弦所在直线的方程；

（2）P是椭圆E上的一点，F1、F2是椭圆E的两个焦点，当P在何位置时，∠F1PF2最大，并说明理由；

（3）求与椭圆E有公共焦点，与直线l有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．

23．（本小题满分13分）

x2y21的上、下顶点分别为A,B，点P在椭圆上，且异于点A,B，直线AP,BP 如图，已知椭圆C:4与直线l:y2分别交于点M,N，

（1）设直线AP,BP的斜率分别为k1,k2，求证：k1k2为定值； （2）求线段MN的长的最小值；

（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

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【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生运算求解能力，分析问题与解决问题的能力，是中档题.

24．已知函数f(x)（1）求A（2）若B

x317x的定义域为集合A，B{x|2x10}，C{x|ax2a1}

B，(CRA)B；

CB，求实数a的取值范围.

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颍州区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】

1根据三视图可知，该几何体是长方体中挖去一个正四棱锥，故该几何体的体积等于2232238

32． 【答案】 D

【解析】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：∴2a=4，b=1，c=

；

222

，即x+y=（2c）=

+y2=1上的点，

∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF1BF2为矩形， ∴

+

=

=12，②

由①②得：，解得x=2﹣

，2n=2c=2=

．

，y=2+，

，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，

则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2∴双曲线C2的离心率e==故选D．

【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

3． 【答案】A

2

【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x+bx+1，

∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，

2

∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x+bx+1在交点（0，m）处有公切线，

∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b， 即a=1，b=0． ∴a+b=1． 故选：A．

【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．

4． 【答案】B

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【解析】由复数的除法运算法则得，5． 【答案】C

4zz113i(13i)(3i)68i34i，所以1的虚部为.

5z23i(3i)(3i)1055z2【解析】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log

即0＜a＜1，b＜0，c＞1， ∴b＜a＜c． 故选：C．

0.2＜0，0＜0.2

＜1，，

【点评】本题主要考查函数数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键． 6． 【答案】D 【解析】

考

点：函数导数与不等式．1 数gxe范围.

7． 【答案】C

【解析】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10， ∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则由双曲线的性质知∴|PF1|=8，|PF2|=6， ∴∠F1PF2=90°，

，解得x=6．

，

x【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令fx0将函数变为两个函

2x1,hxaxa，将题意中的“存在唯一整数，使得gt在直线hx的下方”，转化为

存在唯一的整数，使得gt在直线hxaxa的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m的取值

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∴△PF1F2的面积=故选C．

．

【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

8． 【答案】C

【解析】解：∵甲、乙、丙、丁四人的平均环数乙和丙均为8.8环，最大， 甲、乙、丙、丁四人的射击环数的方差中丙最小， ∴丙的射击水平最高且成绩最稳定，

∴从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛， 最佳人选是丙． 故选：C．

【点评】本题考查运动会射击项目比赛的最佳人选的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意从平均数和方差两个指标进行综合评价．

9． 【答案】C

【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式．log2a21，log2a54，∴a22,a516,∴a11,q2，数列an的前n项和为21，选C．

n10．【答案】B

【解析】解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错； ②线性回归直线一定经过样本中心点（，），故②正确； ③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=，正确；

④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④不正确． 故选：B．

【点评】本题考查统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题．

11．【答案】C

【解析】设圆O的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC中研究问题，过两个半圆的交点分别向OA，OC作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为

1，扇形2OAC的面积为，所求概率为P2111． 2第 9 页，共 16 页

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12．【答案】B

【解析】解：若方程

+

=1表示椭圆，

则满足，即，

即1＜m＜3且m≠2，此时1＜m＜3成立，即必要性成立， 当m=2时，满足1＜m＜3，但此时方程分性不成立 故“1＜m＜3”是“方程故选：B

+

+

=1表示椭圆”的必要不充分条件，

=1等价为

为圆，不是椭圆，不满足条件．即充

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键．

二、填空题

13．【答案】【解析】

如图所示，函数y4x2的图象是一个半圆，4x2和ykx23的图象，

303，当直线直线ykx23的图象恒过定点2,3，结合图象，可知，当过点2,0时，k224k(02)305532，解得k，所以实数的取值范围是,.111] ykx23与圆相切时，即121241k2试题分析：作出函数y53, 124考点：直线与圆的位置关系的应用．

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的

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斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键. 14．【答案】 2 ． 【解析】解：故答案为：2．

=2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，

【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

15．【答案】 2x﹣y+1=0 ．

xx

【解析】解：由题意得，y′=（x+e）′=1+e，

0

∴点A（0，1）处的切线斜率k=1+e=2，

则点A（0，1）处的切线方程是y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0， 故答案为：2x﹣y+1=0． 基础题．

16．【答案】

．

【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于

【解析】解：由题意，函数y=ax﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数满足条件

2．

∵第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，

∴a取1时，b可取2，3，4，5，6；a取2时，b可取4，5，6；a取3时，b可取6，共9种 ∵（a，b）的取值共36种情况 ∴所求概率为故答案为：

．

=

．

17．【答案】 ①④

【解析】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）恒成立， ∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0恒成立， 即函数f（x）是定义在R上的不减函数（即无递减区间）； ①f（x）在R递增，符合题意；

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②f（x）在R递减，不合题意；

③f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，不合题意； ④f（x）在R递增，符合题意； 故答案为：①④．

18．【答案】,2

2【解析】

试题分析：依题意得132x2,x,2.

2考点：抽象函数定义域．

1

1三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018，

前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．

（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人， ∴这2人成绩均不低于90分的概率P=

=．

【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，可得它的直角坐标方程为x+y=1， 根据曲线C2的参数方程为

（Ⅱ）把曲线C1与C2是联立方程组故曲线C1与C2是相交于两个点． 解方程组求得

，或

，可得这2个交点的坐标分别为（0，1）、（，﹣）．

（θ为参数），可得它的普通方程为

2

+y2=1．

，化简可得 5x﹣8x=0，显然△=64＞0，

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【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．

21．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：∵f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|≥|x﹣5+3﹣x|=2，…（2分） 当且仅当x∈[3，5]时取最小值2，…（3分） ∴m=2．…（4分） （Ⅱ）证明：∵（∴（∴

++

）×≥（

+

）[

]≥（

2

）=3，

2），

≥2．…（7分）

【点评】本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．

22．【答案】

【解析】解：（1）设以点M（，）为中点的弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1+x2=1，y1+y2=1，

把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆E：

+

=1，

得，∴kAB=

=﹣=﹣，

∴直线AB的方程为y﹣=﹣（x﹣），即2x+8y﹣5=0． （2）设|PF1|=r1，|PF2|=r1， 则cos∠F1PF2=又r1r2≤（

=

22

）=a（当且仅当r1=r2时取等号）

﹣1=

﹣1=

﹣1，

∴当r1=r2=a，即P（0，（3）∵

=12，

）时，cos∠F1PF2最小，

=9．

又∠F1PF2∈（0，π），∴当P为短轴端点时，∠F1PF2最大．

=3，∴

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则由题意，设所求的椭圆方程为+=1（a2＞9），

22224

将y=x+9代入上述椭圆方程，消去y，得（2a﹣9）x+18ax+90a﹣a=0， 22224

依题意△=（18a）﹣4（2a﹣9）（90a﹣a）≥0， 22

化简得（a﹣45）（a﹣9）≥0， 22

∵a﹣9＞0，∴a≥45，

故所求的椭圆方程为=1．

【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查当P在何位置时，∠F1PF2最大的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用．

23．【答案】

【解析】（1）易知A0,1,B0,1，设Px0,y0，则由题设可知x00 ，

 直线AP的斜率k1y01y1，BP的斜率k20，又点P在椭圆上，所以 x0x0

（4分）

22x0y01y01y011y01，x00，从而有k1k22. 4x0x0x04第 14 页，共 16 页

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24．【答案】（1）AUB2x10，CRAIBx2x3或7x10；（2）a1或2a【解析】

9。 2

x30试题分析：（1）由题可知：，所以3x7，因此集合Ax3x7，画数轴表示出集合A，

7x0集合B，观察图形可求，AUB2x10，观察数轴，可以求出CRAxx3或x7，则

CRAIa2a1，Bx2x3或7x10；CB可得：CB，（2）由BU分类讨论，当B时，

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a1a2a19解得：a1，当B时，若CB，则应满足a2，即a2，所以2a，因此满足

22a1109a29BUCB的实数a的取值范围是：a1或2a。

2x30得：

试题解析：（1）：由3x7

7x0A={x|3x<7}

AB{x|2x10}， (CA)B{x|2=

a2a19当B时，a2，2a

22a110即a-1或2a9 。 2考点：1.函数的定义域；2.集合的运算；3.集合间的关系。

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