源城区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

源城区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2+2n（n∈N*），则A．

B．

C．

D．

+

，则

的值是（ ）

+…+

=（ ）

2． 已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且A．

B．

C．

D．0

3． e1,e2是平面内不共线的两向量，已知ABe1ke2，CD3e1e2，若A,B,D三点共线，则的值是（ ）

A．1 B．2 C．-1 D．-2 4． 实数x，y满足不等式组

，则下列点中不能使u=2x+y取得最大值的是（ ）

A．（1，1） B．（0，3） C．（，2） D．（，0）

5． 在平面直角坐标系中，直线y=

x与圆x2+y2﹣8x+4=0交于A、B两点，则线段AB的长为（ ）

A．4 B．4 C．2 D．2

6． 命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（ ） A．对任意实数x，都有x＞1 C．对任意实数x，都有x≤1 7． α是第四象限角，A．

B．

B．不存在实数x，使x≤1 D．存在实数x，使x≤1 ，则sinα=（ ）

C．

D．

8． 已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）

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精选高中模拟试卷

A． B．或36+

C．36﹣

D．或36﹣

9． 某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S的值为（ ）

A．9.6 B．7.68 C．6.144 D．4.9152

10．如果函数f（x）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f（x）在区间上是（ ） A．增函数且最小值为3

B．增函数且最大值为3

C．减函数且最小值为﹣3 D．减函数且最大值为﹣3

11．已知函数f（x）的图象如图，则它的一个可能的解析式为（ ）

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A．y=2 B．y=log3（x+1） C．y=4﹣ D．y=

12．已知函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是（ ）

A．（﹣2，﹣1）∪（1，2） B．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）

C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）

二、填空题

13．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且满足对任意的实数x都有f[f（x）﹣2x]=6，则f（x）+f（﹣x）的最小值等于 ．

14．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：

①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2，2

k

k+1

）”；其中所有正确

结论的序号是 ．

15．已知偶函数f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（﹣1）= ．

16．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且|= ． 17．函数y=1﹣

|=2，则

（x∈R）的最大值与最小值的和为 2 ．

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18．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，

b∈R．若=，则a+3b的值为 ．

三、解答题

19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：

（I）AB∥平面EFG； （II）平面EFG⊥平面ABC．

20．（本题满分12分）已知向量a(sinx,3(sinxcosx))，b(cosx,sinxcosx)，xR，记函数 2f(x)ab.

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足2bc2acosC，求f(B)的取值范围.

【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，但突出了基础知识的考查，仍属于容易题.

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21．如图，已知椭圆C

，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C的另外一个交

点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上． （1）求直线AB的方程；

（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，直线BM交椭圆C于另外一点Q． ①证明：OM•ON为定值； ②证明：A、Q、N三点共线．

22．已知等差数列（Ⅰ）求数列（Ⅱ）设

的公差

，

，，求

． 的最大值．

的通项公式； ，记数列前n项的乘积为

23．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知二次函数fx为偶函数且图象经过原点，

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其导函数f'x的图象过点1，2． （1）求函数fx的解析式；

24．我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示． （Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？ ξ的分布列和数学期望；

0.010

6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

（2）设函数gxfxf'xm，其中m为常数，求函数gx的最小值．

（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？” 下面临界值表仅供参考： P（K2≥k） k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

2

（参考公式：K=

，其中n=a+b+c+d）

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源城区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

2*22

【解析】解：∵Sn=n+2n（n∈N），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n+2n）﹣[（n﹣1）+2

（n﹣1）]=2n+1． ∴∴==﹣

． +=

+…+

=

=

+

， +…+

故选：D．

【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2． 【答案】A

【解析】解：取AB的中点C，连接OC，∴sin

=sin∠AOC=

=

，则AC=

，OA=1

所以：∠AOB=120° 则

•

=1×1×cos120°=

．

故选A．

3． 【答案】B 【解析】

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考点：向量共线定理． 4． 【答案】 D

【解析】解：由题意作出其平面区域，

将u=2x+y化为y=﹣2x+u，u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距， 故由图象可知，

使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内， 故（1，1），（0，3），（而点（故选D．

，2）成立，

，0）在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内，

故不成立；

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【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．

5． 【答案】A

2222

【解析】解：圆x+y﹣8x+4=0，即圆（x﹣4）+y=12，圆心（4，0）、半径等于2

． ，

由于弦心距d=故选：A．

=2，∴弦长为2=4

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【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．

6． 【答案】C

【解析】解：∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是 “对任意实数x，都有x≤1” 故选C

7． 【答案】B

【解析】解：∵α是第四象限角，∴sinα=故选B．

，

【点评】已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值，应用平方关系、倒数关系、商的关系，这是三角函数计算题中较简单的，容易出错的一点是角的范围不确定时，要讨论．

8． 【答案】D

【解析】

【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可． 【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界）， 有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：

．

故选D

9． 【答案】C

x

【解析】解：由题意可知，设汽车x年后的价值为S，则S=15（1﹣20%）， 4

结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）=6.144．

或

故选：C．

10．【答案】D

【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间上是减函数，且最小值3， 则那么f（x）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3，

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故选：D

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．

11．【答案】C

【解析】解：由图可得，y=4为函数图象的渐近线， 函数y=2函数y=4﹣

，y=log3（x+1），y=

的值域均含4，

即y=4不是它们的渐近线，

的值域为（﹣∞，4）∪（4，+∞），

故y=4为函数图象的渐近线， 故选：C

【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的值域，难度中档．

12．【答案】D

【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图 则不等式xf（x）＜0的解为：

或

解得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） 故选：D．

二、填空题

13．【答案】 6 ．

x

【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，

xx

∴f（x）﹣2=a，即f（x）=a+2，

∴当x=a时，

x

∴f（x）=2+2，

a

又∵a+2=6，∴a=2，

xxxx

∴f（x）+f（﹣x）=2+2+2+2﹣=2+2﹣+4

≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，

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∴f（x）+f（﹣x）的最小值等于6， 故答案为：6．

【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

14．【答案】 ①②④ ．

【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x． ∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0． ∵f（2x）=2f（x），

kk

∴f（2x）=2f（x）．

①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确； ②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0． 若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0． …

mm+1

一般地当x∈（2，2），

m+1

∈（1，2]，f（x）=2﹣x≥0，

则

从而f（x）∈[0，+∞），故正确；

③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，

nn+1nnn

∴f（2+1）=2﹣2﹣1=2﹣1，假设存在n使f（2+1）=9， nn

即2﹣1=9，∴2=10，

∵n∈Z，

n

∴2=10不成立，故错误；

④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数， ∴若（a，b）⊆（2，2

k

k+1

）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．

故答案为：①②④．

15．【答案】 1 ．

【解析】解：f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（1）=f（5）=1， f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=1． 故答案为：1．

16．【答案】 （﹣

，

） ．

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【解析】解：∵则：AD：BD=1：5

，

，

设OC与AB交于D（x，y）点 即D分有向线段AB所成的比为

则

解得：

∴又∵|∴

|=2

=（﹣

，，

） ）

故答案为：（﹣

【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，

可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式

17．【答案】2

进行求解．

【解析】解：设f（x）=﹣，则f（x）为奇函数，所以函数f（x）的最大值与最小值互为相反数，

即f（x）的最大值与最小值之和为0． 将函数f（x）向上平移一个单位得到函数y=1﹣的最大值与最小值的和为2． 故答案为：2．

的图象，所以此时函数y=1﹣

（x∈R）

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【点评】本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系，奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决本题的关键．

18．【答案】 ﹣10 ．

【解析】解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=

，

∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=∴1﹣a=

①

；又=，

又f（﹣1）=f（1）， ∴2a+b=0，②

由①②解得a=2，b=﹣4； ∴a+3b=﹣10． 故答案为：﹣10．

三、解答题

19．【答案】 所以AB∥EG…

【解析】证明：（I）在三棱锥A﹣BCD中，E，G分别是AC，BC的中点． 因为EG⊂平面EFG，AB⊄平面EFG 所以AB∥平面EFG… 所以AB⊥CD…

（II）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD 又BC⊥CD且AB∩BC=B 所以CD⊥平面ABC…

又E，F分别是AC，AD，的中点 所以CD∥EF 又EF⊂平面EFG，

所以EF⊥平面ABC…

所以平面平面EFG⊥平面ABC．…

【点评】本题考查线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定是关键．

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20．【答案】

【解析】（1）由题意知，f(x)absinxcosx3(sinxcosx)(sinxcosx) 213sin2xcos2xsin(2x)……………………………………3分 2235xk令2k2x2k，kZ，则可得k，kZ.

23212125,k]（kZ）.…………………………5分 ∴f(x)的单调递增区间为[k1212

21．【答案】

【解析】（1）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1）， ∵点A在椭圆C上，∴

2

整理得：6t+4t=0，解得t=﹣

，

或t=0（舍去）， ，﹣

），

∴E（﹣，﹣），A（﹣

∴直线AB的方程为：x+2y+2=0； （2）证明：设P（x0，y0），则

，

①直线AP方程为：y+=（x+），

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联立直线AP与直线y=x的方程，解得：xM=直线BP的方程为：y+1=

，

联立直线BP与直线y=x的方程，解得：xN=，

∴OM•ON=|xM|

|xN|

=2•|

|•|

|

=||

=|=||

=

．

②设直线MB的方程为：y=kx﹣1（其中k==），

联立，整理得：（1+2k2）x2

﹣4kx=0，

∴xQ=，yQ=，

∴kAN===1﹣，kAQ=要证A、Q、N三点共线，只需证kAN=kAQ，即3xN+4=2k+2， 将k=

代入，即证：xM•xN=

，

由①的证明过程可知：|xM|•|xN|=，

而xM与xN同号，∴xM•xN=

，

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，

|

=1﹣，

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即A、Q、N三点共线．

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

22．【答案】

【解析】【知识点】等差数列 【试题解析】（Ⅰ）由题意，得解得所以

（Ⅱ）由（Ⅰ），得所以所以只需求出由（Ⅰ），得因为所以当所以

，或的最大值为

2

或（舍）． ． ．

． 的最大值．

．

， 时，

取到最大值．

．

23．【答案】（1）fxx；（2）m1

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【解析】（2）

m，22 据题意，gxfxf'xmx2xm，即gx{mx22xm，x，2mm2m2①若1，即m2，当x时，gxx2xmx1m1，故gx在，上

222m2m2单调递减；当x时，gxx2xmx1m1，故gx在，1上单调递减，在

22x22xm，x上单调递增，故gx的最小值为g1m1． 1，mmm21，即2m2，当x时，gxx1m1，故gx在，上单调递减； 222m2m当x时，gxx1m1，故gx在，上单调递增，故gx的最小值为

22②若12mmg． 24mm22③若1，即m2，当x时，gxx2xmx1m1，故gx在，1上单调递

22m2mm2减，在1，上单调递增；当x时，gxx2xmx1m1，故gx在，上

222单调递增，故gx的最小值为g1m1．

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m2综上所述，当m2时，gx的最小值为m1；当2m2时，gx的最小值为；当m2时，

4gx的最小值为m1．

24．【答案】

【解析】

【专题】综合题；概率与统计．

【分析】（Ⅰ）依据茎叶图，确定甲、乙班数学成绩集中的范围，即可得到结论； ξ的分布列和数学期望；

（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2，求出概率，可得

2

（Ⅲ）根据成绩不低于85分的为优秀，可得2×2列联表，计算K，从而与临界值比较，即可得到结论．

【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知甲班数学成绩集中于60﹣9之间，而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间，所

以乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉

（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2 P（ξ=0）=

=

，P（ξ=1）=

=

，P（ξ=2）=

1

+1×

乙班 10 10 20

合计 13 27 40

≈5.584＞5.024

+2×

2

=

┉┉┉┉┉┉

则随机变量ξ的分布列为

0 ξ P

数学期望Eξ=0×=人﹣┉┉┉┉┉┉┉┉

（Ⅲ）2×2列联表为 优秀 不优秀

甲班 3 17

20 合计

┉┉┉┉┉ K2=

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．┉┉

【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．

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