2016年全国高考理科数学试题全国卷2
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知z=(m+3)+(m–1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( ) A．(–3,1) B．(–1,3) C．(1,+∞) D．(–∞,–3) 2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}，则A∪B=( ) A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{–1,0,1,2,3} 3、已知向量a=(1,m)，b=(3,–2)，且(a+b)⊥b，则m=( ) A．–8 B．–6 C．6 D．8 4、圆x2+y2–2x–8y+13=0的圆心到直线ax+y–1=0的距离为1，则a=( ) 43
A．–3 B．–4 C．3 D．2
5、如下左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A．24 B．18 C．12 D．9
6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A．20π B．24π C．28π D．32π
π
7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) kππkππkππkππ
A．x=2–6(k∈Z) B．x=2+6(k∈Z) C．x=2–12(k∈Z) D．x=2+12(k∈Z)
8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=( )
A．7 B．12 C．17 D．34 π3
9、若cos(4–α)=5，则sin2α= ( )
7117A．25 B．5 C．–5 D．–25
10、从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其
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中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) 4n2n4m2mA．m B．m C．n D．n x2y21
11、已知F1、F2是双曲线E：a2–b2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=3,则E的离心率为( )
3
A．2 B．2 C．3 D．2
x+1
12、已知函数f(x)(x∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=x与y=f(x)图像的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，...(xm,ym)，则
(xy)( )
iii1mA．0 B．m C．2m D．4m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
45
13、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=5，cosC=13，a=1，则b=___________． 14、α、β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
(1)如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。 (2)如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。 (3)如果α∥β，m⊂α，那么m∥β。
(4)如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。 其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。
15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．
16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、(本题满分12分)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28。记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1． (1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．
18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年
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度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数 保费 0 0.85a 1 a 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[] 一年内出险次数 概率 0 0.30 1 0.15 2 0.20 3 0.20 4 0.10 ≥5 0. 05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19、(本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD5
上，AE=CF=4，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D'EF位置，OD'=10． (1)证明：D'H⊥平面ABCD； (2)求二面角B–D'A–C的正弦值．
x2y2
20、(本小题满分12分)已知椭圆E：t+3=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．
x–2
21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=x+2ex的单调性，并证明当x>0时，(x–2)ex+x+2>0；
ex–ax–a
(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)=x2(x>0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
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22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E、G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F． (1) 证明：B，C，G，F四点共圆；
(2)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25． (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
x=tcosα
(2)直线l的参数方程是y=tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|=10，求l的斜率．
11
24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x–2|+|x+2|，M为不等式f(x)<2的解集． (1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|． 参考答案
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1、解析：∴m+3>0，m–1<0，∴–3 |a+4–1|44、解析：圆x2+y2–2x–8y+13=0化为标准方程为：(x–1)2+(y–4)2=4，故圆心为(1,4)，d==1，解得a=–3，a2+1故选A． 5、解析一：E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，故选B． 1解析二：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C24条路，再从F处到G处最短共有C3条路，则小明到 老年公寓可以选择的最短路径条数为C2C14·3=18条，故选B。 6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h． 1 由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：l=22+(23)2=4，S表=πr2+ch+2cl=4π+16π+8π=28π，故选C． πππ 7、解析：由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移12个单位得y=2sin2(x+12)=2sin(2x+6)，则平移后函数的对πππkπ 称轴为2x+6=2+kπ，k∈Z，即x=6+2，k∈Z，故选B。 8、解析：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C． π3ππ7 9、解析：∵cos(4–α)=5，sin2α=cos(2–2α)=2cos2(4–α)–1=25，故选D． π3 解法二：对cos(4–α)=5展开后直接平方 解法三：换元法 10、解析：由题意得：(xi,yi)(i=1，2，3，...，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中 专业技术参考资料 WORD格式整理 π/4m4m 由几何概型概率计算公式知1=n，∴π=n，故选C． 223F1F2F1F2sinM 11、解析： 离心率e=MF–MF，由正弦定理得e=MF–MF=sinF–sinF=1=2．故选A． 212112 1–3x+11 12、解析：由f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称，而y=x=1+x也关于(0,1)对称， ∴对于每一组对称点xi+x'i=0，yi+y'i=2， ∴ 4531263 13、解析：∵cosA=5，cosC=13，sinA=5，sinC=13，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=65， ba21 由正弦定理：sinB=sinA，解得b=13． 14、解析：对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为n//，所以过直线n作平面γ与平面β相交于直线c，则n∥c，因为m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④. 15、解析：由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足；若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2)不满足；故甲(1,3)， 116、解析：y=lnx+2的切线为：y=x·x+lnx1+1(设切点横坐标为x1) 1 xiyixiyi02i1i1i1mmmmm，故选B． 2x=x+11x y=ln(x+1)的切线为：y=x+1·x+ln(x+1)–x+1，∴x lnx+1=ln(x+1)–x+12 122 2 2 21221111 解得x1=2，x2=–2。∴b=lnx1+1=1–ln2． a4–a1 17、解析：(1)设{an}的公差为d，S7=7a4=28，∴a4=4，∴d=3=1，∴an=a1+(n–1)d=n． ∴b1=[lga1]=[lg1]=0，b11=[lga11]=[lg11]=1，b101=[lga101]=[lg101]=2． (2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1000=b1+b2+...+b1000=[lga1]+[lga2]+...+[lga1000]． 当0≤lgan<1时，n=1，2，...，9；当1≤lgan<2时，n=10，11，...，99；当2≤lgan<3时，n=100，101，...，999； 当lgan=3时，n=1000．∴T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893． 18、(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，P(A)=1–P(A)=1–(0.30+0.15)=0.55． 专业技术参考资料 WORD格式整理 P(AB)0.10+0.053 (2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，P(B|A)=P(A)=0.55=11． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量X． X P 0.85a 0.30 a 0.15 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05 平均保费EX=0.85a×0.30+0.15a+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a， ∴平均保费与基本保费比值为1.23． 5AECF 19、解析：(1)证明：如下左1图，∵AE=CF=4，∴AD=CD，∴EF∥AC． ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥DH，∴EF⊥D'H． AE ∵AC=6，∴AD=3；又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=AO·OD=1，∴DH=D'H=3，∴|OD'|2=|OH|2+|D'H|2，∴D'H⊥OH． 又∵OH∩EF=H，∴D'H⊥面ABCD． 5515(2)方法一、几何法：若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵AE=4，AD=AB=5，∴DE=5–4=4， DEEHDH15/4399 ∵EF∥AC，∴AD=AC=OD=5=4，∴EH=4，EF=2EH=2，DH=3，OH=4–3=1， ∵HD’=DH=3，OD’=22，∴满足HD’2=OD’2+OH2，则△OHD’为直角三角形，且OD’⊥OH， 即OD’⊥底面ABCD，即OD’是五棱锥D’–ABCFE的高． 9 (2+6)×1 1(EF+AC)·OH12169 底面五边形的面积S=2×AC·OB+=×6×4+=12+2224=4， 1169232则五棱锥D’–ABCFE体积V=3S·OD’=3×4×22=2． 方法二、向量法。建立如下左2图坐标系H–xyz．B(5,0,0)，C(1,3,0)，D'(0,0,3)，A(1,–3,0)， ∴向量AB=(4,3,0)，AD'=(–1,3,3)，AC=(0,6,0)， n1·AB=04x+3y=0 设面ABD'法向量n1=(x,y,z)，由n·得，取y=–4，∴n1=(3,–4,5)． 1AD'=0–x+3y+3z=0 z=5 同理可得面AD'C的法向量n2=(3,0,1)， |n1·n2||9+5|75295 ∴|cosθ|=|n||n|==25，∴sinθ=25。 1252·10 x=3 专业技术参考资料 WORD格式整理 x2y2 20、解析：(1)当t=4时，椭圆E的方程为4+3=1，A点坐标为(–2,0)，则直线AM的方程为y=k(x+2)． 联立椭圆E和直线AM方程并整理得，(3+4k2)x2+16k2x+16k2–12=0。 8k2–68k2–6122 解得x=–2或x=–3+4k2，则|AM|=1+k|–3+4k2+2|=1+k2·3+4k2。 ∵AM⊥AN，∴|AN|= 112122 1+(–k)2·=1+k·124。 3+4·(1–k)3|k|+|k| 12122·2 1+k2·=1+k3+4k24，整理得(k–1)(4k–k–4)=0， 3k+k ∵|AM|=|AN|，k>0，∴ 4k2–k+4=0无实根，∴k=1． 11122144 所以△AMN的面积为2|AM|2=2(1+1·3+4)=49． (2)直线AM的方程为y=k(x+t)， 联立椭圆E和直线AM∴|AM|=1+k2|– 方程并整理得，(3+tk2)x2+2ttk2x+t2k2–3t=0。解得 ttk2–3t x=–t或x=–3+tk2， ttk2–3t6t6t2·2·+t|=1+k，∴|AN|=1+k22 3+tk3+tkt 3k+k 1+k2·6t6t6k2–3k2 3+tk2=1+k·t，整理得，t=k3–2． 3k+k ∵2|AM|=|AN|，∴2·6k2–3k(k2+1)(k–2)3 ∵椭圆E的焦点在x轴，∴t>3，即k3–2>3，整理得k3–2<0，解得2 x 21、解析：(1)证明：f(x)=x+2e，∴f'(x)=e(x+2+(x+2)2)=(x+2)2。 ∵当x∈(–∞,–2)∪(–2,+∞)时，f'(x)>0，∴f(x)在(–∞,–2)和(–2,+∞)上单调递增。 x–2 ∴x>0时，x+2ex>f(0)=–1，∴(x–2)ex+x+2>0。 x–2x (x+2)(e+a)x+2·(ex–a)x2–2x(ex–ax–a)x(xex–2ex+ax+2a) (2)g'(x)===，a∈[0,1)。 x4x4x3 x–2t–2t由(1)知，当x>0时，f(x)=x+2ex的值域为(–1,+∞)，只有一解．使得t+2·e=–a，t∈(0,2]。 当x∈(0,t)时g'(x)<0，g(x)单调减；当x∈(t,+∞)时g'(x)>0，g(x)单调增 t–2t t+(t+1)eet+2·et–a(t+1)et h(a)=t2==t+2。 t2 etet(t+1)1e2 记k(t)=t+2，在t∈(0,2]时，k'(t)=(t+2)2>0，∴k(t)单调递增，∴h(a)=k(t)∈(2,4]． 专业技术参考资料 WORD格式整理 DFCF 22、解析：(1)证明：∵DF⊥CE，∴Rt△DEF∽Rt△CED，∴∠GDF=∠DEF=∠BCF，DG=BC。 DFCF ∵DE=DG，CD=BC，∴DG=BC。∴△GDF∽△BCF，∴∠CFB=∠DFG。 ∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°．∴B，C，G，F四点共圆． (2)∵E为AD中点，AB=1， 1111 ∴DG=CG=DE=2，∴在Rt△GFC中，GF=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S四边形BCGF=2S△BCG=2×2×1×2=2． 23、解：(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0， 由ρ2=x2+y2、ρcosθ=x、ρsinθ=y可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0． (2)记直线的斜率为k，则直线的方程为kx–y=0， |–6k| 由垂径定理及点到直线距离公式知：= 1+k2 111111111 24、解析：(1)当x<–2时，f(x)=2–x–x–2=–2x，若–1 若f(x)<2，2 10236k29051525–(2)，即1+k2=4，整理得k2=3，则k=±3． 专业技术参考资料 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容