2016年高考理科数学试题解析(全国2卷)

（1）已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（），（B）(1，3)（C）(1,+)（D）(-，3)（A）(31)

【答案】A考点：复数的几何意义.（2）已知集合A{1,2,3}，B{x|(x1)(x2)0,xZ}，则AB（）（A）{1}（B）{1，2}（C）{0，1，2，3}（D）{1，0，1，2，3}

【答案】C试题分析：集合B{x|1x2,xZ}{0,1}，而A{1,2,3}，所以AB{0,1,2,3}，故选C.考点：集合的运算.

（3）已知向量a(1,m)，a=(3,2)，且(a+b)b，则m=（）（A）－8（B）－6（C）6（D）8【答案】D

试题分析：向量ab(4,m2)，由(ab)b得43(m2)(2)0，解得m8，故选D.考点：平面向量的坐标运算、数量积.（4）圆x

2

y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a=（4334）（A）（B）

（C）3（D）2【答案】A考点：圆的方程、点到直线的距离公式.（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A）24（B）18（C）12（D）9【答案】B试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C4条路，再从F处到G处最短共有C3条路，21

则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C4

2

1C318条，故选B.考点：计数原理、组合.（6）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20（B）24（C）28（D）32【答案】C考点：三视图，空间几何体的体积.（7）若将函数y2sin2x的图像向左平移k(kZ)26k(kZ)212个单位长度，则平移后图象的对称轴为（12k(kZ)26k(kZ)212）（A）x



（B）x



（C）x



（D）x



【答案】B[]试题分析：由题意，将函数y2sin2x的图像向左平移12个单位得y2sin2(x

)2sin(2x)，则平移后函数的对称轴为2xk,kZ12662，故选B.，即x

k,kZ62考点：三角函数的图象变换与对称性.（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x2,n2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s（）（A）7（B）12（C）17（D）34【答案】C考点：程序框图，直到型循环结构.（9）若cos(

3

)，则sin2（45（B））（A）72515（C）

15（D）

725【答案】D732试题分析：cos22cos121

254542

，且cos2



cos2sin224，故选D.考点：三角恒等变换.（10）从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对x1,y1，x2,y2，…，xn,yn，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A）4nm（B）2nm（C）4mn（D）2mn【答案】C试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为S圆S正方形R2m4m，所以.选C.4R2nn

考点：几何概型.x2y2

（11）已知F1,F2是双曲线E:221的左，右焦点，点M

absinMF2F1

1

,则E的离心率为（3（B））在E上，MF1与x轴垂直，（A）232（C）3（D）2【答案】A考点：双曲线的性质.离心率.（12）已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y

m

x1

与yf(x)图像的交点为x(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym),

则(xy)（i1

i

i

）（A）0（B）m（C）2m（D）4m

【答案】B1对称，由fx2fx得fx关于0，而yx111对称，1也关于0，xxyiyi'=2，∴对于每一组对称点xixi'0∴xi1miyixiyi02i1i1mmmm，故选B．2考点：函数图象的性质(13)ABC

的内角A,B,C

的对边分别为a,b,c

，若cosA

45，cosC

513，a1，则b

2113

．【答案】考点：三角函数和差公式，正弦定理.(14),是两个平面，m,n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果mn,m,n//，那么.[]（2）如果m,n//，那么mn.（3）如果//,m，那么m//.（4）如果m//n,//，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有．.(填写所有正确命题的编号）【答案】②③④试题分析：对于①，mn,m,n//，则,的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为n//，所以过直线n作平面与平面相交于直线c，则n//c，因为m故②正确；,mc,mn，对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.考点：空间中的线面关系.（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．【答案】1和3试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.考点：推理.（16）若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b

．【答案】1ln2

考点：导数的几何意义.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）Sn为等差数列an的前n项和，且a1=1，S728.记bn=lgan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0，lg99=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列bn的前1000项和．【答案】（Ⅰ）b1（Ⅱ）1893.0，b111，b1012；考点：等差数列的的性质，前n项和公式，对数的运算.18.（本题满分12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[]一年内出险次数012[]345概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X，求X的分布列为，在根据期望公式求解..考点：条件概率，随机变量的分布列、期望.19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5,AC6，点E,F分别在AD,CD上，5

，EF交BD于点H．将DEF4AECF沿EF折到DEF位置，OD

'10．（Ⅰ）证明：DH平面ABCD；（Ⅱ）求二面角BDAC的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）295.25

（II）如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Hxyz，则

D0,0,3，AB(3,4,0)

'

H0,0,0，A3,2,0，B0,5,0，C3,1,0，，

mAB0

，即AC6,0,0，AD'3,1,3.设mx1,y1,z1是平面ABD'的法向量，则'

mAD03x14y10

，所以可以取

3x1y13z10

m4,3,5.设

nx2,y2,z2是平面ACD'

的法向量，则nAC0

'

nAD0

，即6x20

3x2y23z20



mncosm,n

mnBD'AC

的正弦值是，所以可以取

n0,3,1.于是75255010295.2514，295sinm,n

25.因此二面角考点：线面垂直的判定、二面角.20.（本小题满分12分）x2y2

已知椭圆E:斜率为k(k0)的直线交E于A,M1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，t3点，点N在E上，MA

两NA．（Ⅰ）当t4,|AM||AN|时，求AMN

的面积；（Ⅱ）当2AMAN时，求k的取值范围．【答案】（Ⅰ）144

；（Ⅱ）4932,2

.（II）由题意t3，k0，At,0.将直线AM的方程yk(xt)代入x2ty2

31得3tk2x22ttk2xt2k23t0

.2由xk2

t3tk21

tt23tk2得x1



3tk2，故AMx1t1k

6t2k23tk2.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.（21）（本小题满分12分）(Ⅰ)讨论函数f(x)



x2x

e的单调性，并证明当x0时，(x2)exx20；x2exaxa

(Ⅱ)证明：当a[0,1)时，函数（gx）=(x0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，x2求函数h(a)的值域．1e2

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）(,]..24试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当x(0,)时，f(x)f(0)证明结论；ex0（Ⅱ）用导数法求函数g(x)的最值，在构造新函数h(a)，又用导数法求解.x02试题解析：（Ⅰ）f(x)的定义域为(,2)(2,).(x1)(x2)ex(x2)exx2exf'(x)0,

(x2)2(x2)2且仅当x

0时，f'(x)0，所以f(x)在(,2),(2,)单调递增，因此当x(0,)时，f(x)f(0)1,

所以(x2)e

x

(x2),(x2)exx20

ex1e2

],存在唯一的x0(0,2],af(x0)[0,1),因为单调递增，对任意(,

x2241e2

使得h(a),所以h(a)的值域是(,],241e2

].综上，当a[0,1)时，g(x)有h(a)，h(a)的值域是(,24考点：函数的单调性、极值与最值.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形，且DEDG，过D点作ABCD中，E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合）DFCE，垂足为F

．(Ⅰ)证明：B,C,G,F四点共圆；(Ⅱ)若AB1，E为DA的中点，求四边形BCGF

的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1

.2考点：三角形相似、全等，四点共圆（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)

2

y225．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是

xtcos（t为参数）,l与C交于A,B两点，|AB|10，求l

ytsin的斜率．【答案】（Ⅰ）2

（Ⅱ）12cos110；153.考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数11

f(x)|x||x|，M

22为不等式f(x)2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a,bM时，|ab||1ab|．【答案】（Ⅰ）M{x|1x1}；（Ⅱ）详见解析.