23数分课外习题

1． 设x0a0，xn12． 求limcosn1a,n0，证明数列xn收敛并求其极限 . 2xn23xnxxxxcos2cos3cosn.并由此证明Vieta公式： 22222111111111 2222222223． 用N语言证明，若实数列{xn}满足limxnxn20，则limnxnxn10.

nninnii12n34． 证明：lim121lim2.并求lima1,(a0).

ni13nnn6ni1i1nn1n11x5． 设f(x)limn11，写出f(x)的表达式及定义域 . nnn6． 设a1,b1，函数f:RR在x0附近有界，且对任意实数x，f(ax)bf(x)，

证明：f(x)在零点连续 .

7． 设f(x),g(x)为周期函数，且lim(f(x)g(x))0，证明：fg .

x8． 设a(t),b(t)为[0,1]上连续函数，0a(t)1，

求证：方程 xmax(b(t)xa(t))

0t1的解为 xmaxb(t) .

0t11a(t)9． 设函数f(x)在[0,)连续，有界，求证：0，存在数列xn，使

lim(f(xn)f(xn))0.

n10． 请问是否存在R上的连续函数，使它的任一函数值都被恰好取到两次或都被恰好

取到三次？ 11． 12． 13．

求证：在R上不存在可导函数f(x)满足f(x)x3x3. 设y1x222n2,n，求y(n)(1).

Riemann函数R:RR的定义是：

1

R(x)

求极限

xx01,x0;1,q0且p,q为互素整数； q0,xQ.limR(x)，其中x0R .

14． 15． 16．

证明Riemann函数R(x)处处不可导 .

构造可导函数f(x)，使f(x)在有理数点的函数值为有理数，而导数值为无理数 . 证明：当x(,1)时，arctannn1xarctanx. 1x417． 求和：

ksinkx，kcoskx.

k1k118．

设m,n，证明：

mn1;0,kkm (1)Cknnk0(1)n!,mn.n19． 已知：函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)可导，且f(0)f(1)0，

1f()1，求证：R，(0,1)，使f'()[f()]1 . 220．

il对于R上函数f(x)，记f()mxf(x)，f()limf(x). 设f(x),g(x)x在R上可导，xR，g'(x)0，且f()，f()，g()，g()存在， 证明：(,),s.t.f()f()f'().

g()g()g'()21．

设f(x),g(x)可导，且对一切x都有

f(x)g(x)0，那么在f(x)的任何两

f'(x)g'(x)个零点之间，至少有g(x)的一个零点 . 22．

设f:RR有二阶连续导数，且xR，|f'(x)|1，此外f(0)f'(0)4. 证明：x0R，使f(x0)f''(x0)0.

23．

设f:[a,b]R在[a,b]可导且f'(a)f'(b). 证明：(a,b),s.t.22f'()f()f(a).

a 2

24． 函数f(x)在[a,b]上二次可导且f'(a)f'(b)0. 证明：(a,b),s.t.f''()4f(b)f(a).

(ba)225． 26．

设函数f(x)在[a,)可导，当xa时有|f'(x)||f(x)|. 求证：f(x)0. 设函数f(x)在[0,)可导，且0f(x)证明：0,s.t.x， 1x2f'()12122.

27． 设函数f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，f(1)f(0)1. 求证：对于

k0,1,2,,n1，存在k(0,1)，使f'(k)28．

n!kk(1k)n1k.

k!(n1k)!设I为开区间，函数f(x)在I上为凸函数的一个充要条件为：

cI,a,s.t.29．

求极限：

f(x)a(xc)f(c),xI.

1/x1x2（1）limx1e;（2）limarccosx;

xx0x2（3）limarctanx.

x30．

设x1sinx00,xn1sinxn,n1. 证明：limnxnxn1. 331．

设y1c0,画出yxe设f(x)2xyn1yln1n,n1. 求极限：limyn.

nn1n的图形 .

32． 33． 34．

x1lnt1dt，对于x0，求f(x)f() . 1tx设函数f(x)连续可导,f(1)1,且当x1时有f'(x)1, 22xf(x)证明：limf(x)存在，且limf(x)1x4x.

35． 设函数f(x)在[0,1]上二阶连续可导，f(0)f(1)f'(0)0,f'(1)1.

3

证明：

36．

数， 证明：

2f''(x)dx4，并指出等号成立的条件 . 01设y(x)(x0)是严格单调增加的连续函数，(0)0,x(y)是它的反函

(x)dx(y)dyab00ab(a0,()b0)，

等号成立当且仅当b(a)。（上不等式称为Young不等式）

37．

证明以下形式的Young不等式：ab1p1q11ab，其中1，pqpqa,b,p,q0，等号成立当且仅当apbq.

38．

设f(x),g(x)在[a,b]连续，

111，p1，证明Hölder不等式： pq1/pabapfgdxfdxbaqgdxb1/q，

等号成立当且仅当A|f|pB|g|q，A，B为常数 .

39．

np证明Hölder不等式：aibiaii1i1n1/pnqbii11/q，其中p,q1，且

111，a1,a2,,an及b1,b2,,bn为两组不全为零的非负实数 . pq40．

设f(x),g(x)在[a,b]连续，p1，证明Minkowski不等式：

pab|fg|dx1/ppa|f|dxb1/pap|g|dxb1/p.

41． 证明：（1）

20sin2n1xdx2sin02nxdx2sin2n1xdx；

02124(2n)（2）lim；

n2n113(2n1)2n!222n. （3）证明Wallis公式：limn2n!n42．

证明：

2lnblna111,ba0 . abba2ab4

43．

证明：数列ann!enn1n2单调下降故有极限A，且A0 .

44．

n证明Stirling公式：n!~2n(n).

en估计当n时，无穷大量C2n的阶数 .

n45．

5