线性代数授课教案

课程授课教案

线

性 代 数

2009年5月8日

线性代数授课教案

授课对象：本科生 授课专业： 课时：2/30 第 1 页 标题 §1、1 二阶与三阶行列式 §1、2全排列及逆序数 §1、3 n阶行列式定义 教学目的 通过给n阶行列式下定义，逐步培养学生的抽象思维能力 教学要求 1、 了解全排列及逆序数的概念。 2、 理解n阶行列式定义。 重点与难点处理 n阶行列式定义是重点，也是难点。其处理方法是：从二阶与三阶行列式出发，通过观察与归纳，利用全排列及逆序数，逐步引出n阶行列式定义 作业布置 P26：1（1）、2（5） 课后小记 n阶行列式是为了研究n元线性方程组而提出的，为定义n阶行列式，先要介绍全排列等知识。 教材：同济大学应用数学系.线性代数(第四版)

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授课对象：本科生 授课专业： 课时：2/30 第 2 页 标题 §1、4 对换 §1、5 行列式性质 教学目的 通过了解行列式性质的证明过程，逐步培养学生的逻辑推理能力 教学要求 1、了解对换的概念及对换与排列的奇偶性间的关系。 2、掌握n阶行列式的另一定义及行列式的性质。 重点与难点处理 行列式的性质是重点，其证明过程是难点。处理方法是：从对换与排列的奇偶性间的关系及n阶行列式的另一定义出发，了解行列式性质的证明过程，从而逐步掌握行列式的性质 作业布置 P26：5（2）、（5）, 课后小记 为研究n阶行列式的性质，先要介绍对换的概念及对换与排列的奇偶性间的关系 教材：同济大学应用数学系.线性代数(第四版)

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授课对象：本科生 授课专业： 课时：2/30 第 3 页 标题 §1、6 行列式按行（列）展开 §1、7 克拉默法则 教学目的 通过掌握行列式按行（列）展开法则，简化行列式的计算，同时会利用克拉默法则解决n元线性方程组的有关问题，初步培养学生应用所学知识分析和解决实际问题的能力 教学要求 1、了解余子式及代数余子式的概念及重要性质，熟悉行列式按任一行（列）展开公式。 2、掌握克拉默法则。 重点与难点处理 行列式按行（列）展开法则及克拉默法则是重点，行列式按任一行（列）展开公式及代数余子式的概念及重要性质的证明是难点。其处理方法是：利用构造性证明方法证明行列式按行（列）展开法则，并通过典型例题掌握行列式的计算及克拉默法则的应用。 作业布置 P27：7（2）、（5）（6），8（1），10 课后小记 掌握了n阶行列式的计算，便可以利用克拉默法则解决n元线性方程组的有关问题。 教材：同济大学应用数学系.线性代数(第四版)

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授课对象：本科生 授课专业 课时：2/30 第 4 页 标题 §2、1 矩阵 §2、2矩阵的运算 教学目的 从矩阵应用的广泛性出发，使学生了解矩阵的概念；从矩阵与矩阵间的关系出发，掌握矩阵的运算 教学要求 1、理解矩阵的概念，知道方阵、零阵、单位阵、行（列）矩阵、对角阵等特殊矩阵。 2、掌握矩阵间的运算及运算律。 3、熟悉伴随阵的一个重要公式：AAAAAE。 重点与难点处理 矩阵及其运算法则是重点，矩阵与矩阵相乘是难点。其处理方法是：通过实际问题逐步引出矩阵的概念，联想数与数间的运算及运算律来学习矩阵间的运算，特别要注意的是矩阵间的相乘不满足交换律和消去律。 作业布置 P53：3，4（4），8，10 课后小记 矩阵的应用非常广泛，它在数学自身（如线性变换、对策论等）、经济管理（如产品的销售问题）、工程技术、日常生活（如民航中的航线问题）等中都有着非常重要的应用。与矩阵有关的一系列理论也是线性代数的核心内容。矩阵的运算是联系矩阵与矩阵间的桥梁，当然这中间必须先定义矩阵与矩阵的相等。 教材：同济大学应用数学系.线性代数(第四版)

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授课对象：本科生 授课专业： 课时：2/30 第 5页 标题 §2、3 逆矩阵 教学目的 从线性变换的可逆性引出矩阵可逆的定义，使学生清楚可逆阵的概念及矩阵可逆的充要条件。 教学要求 1、理解逆矩阵的概念及性质。 2、掌握矩阵可逆的充要条件，会利用矩阵的逆公式：A11AA求矩阵的逆。 重点与难点处理 逆矩阵的概念及性质和矩阵可逆的充要条件是重点，也是难点。其处理方法是：要让学生清楚与数相比，并非所有的非零矩阵均可逆，其存在是有条件的；同时，在可逆运算中，矩阵的消去律成立。 作业布置 P：11（3），12（4），15，16，18，22，23，25 课后小记 矩阵的逆运算是矩阵运算中非常重要的一种运算，要熟练掌握。关于矩阵可逆的充要条件今后还有很多等价的描述，要及时总结。 教材：同济大学应用数学系.线性代数(第四版)

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授课对象：本科生 授课专业： 课时：2/30 第 6 页 标题 §2、4 矩阵分块法 教学目的 使学生了解矩阵的分块法，以简化矩阵的运算。 教学要求 1、了解矩阵的分块法及分块矩阵的运算法则，会利用矩阵的分块法简化矩阵的运算。 2、掌握矩阵的按行和按列分块法，会把m个方程的n元线性方程组用矩阵表示为三种等价的简洁形式。 重点与难点处理 分块矩阵的运算及矩阵的按行和按列分块法是重点，也是难点。其处理方法是：从简化矩阵的运算的目的出发，说明矩阵分块法的必要性；为后面向量组的线性相关性的讨论，必须要介绍矩阵的按行和按列分块法。 作业布置 P56：29（1）（2），30（1）、（2） 课后小记 矩阵的按行和按列分块法为后面向量组的线性相关性的讨论埋下伏笔。 教材：同济大学应用数学系.线性代数(第四版)

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授课对象：本科生 授课专业： 课时：2/30 第 7页 标题 §3、1 矩阵的初等变换 §3、2 初等矩阵 教学目的 使学生能够掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法 教学要求 1、掌握矩阵的初等变换，了解矩阵等价的概念。 2、了解初等矩阵的概念与性质。 3、掌握用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法，会用矩阵的初等变换化矩阵为标准形。 重点与难点处理 矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法是重点，初等矩阵的性质是难点。其处理方法是：从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手，引出矩阵的初等变换的定义；初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关，三种初等变换对应着三种初等矩阵；从分析初等矩阵的性质出发，推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法。 作业布置 P79：1（3），3（2），5 课后小记 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆阵、求矩阵的秩及矩阵理论的探讨中都起着重要的作用。 教材：同济大学应用数学系.线性代数(第四版)

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授课对象：本科生 授课专业： 课时：2/30 第 8页 标题 §3、3 矩阵的秩 教学目的 通过对矩阵的秩的定义及求法的了解，使学生明白矩阵的秩在矩阵理论中重要性。 教学要求 1、理解矩阵的秩的概念和基本性质，特别是“矩阵的初等变换不改变矩阵的秩”这一性质。 2、掌握用矩阵的初等变换求矩阵的秩的方法 重点与难点处理 矩阵的秩的概念和基本性质及用矩阵的初等变换求矩阵的秩的方法是重点，理解矩阵的秩的概念和基本性质是难点。其处理方法是：矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数来定义的，因此，若R（A）=r，则意谓着，A中必有一个r阶非零子式，同时A中所有的r+1阶子式（若存在的话）必为零。搞清楚了矩阵的秩的概念，便可进一步理解矩阵的秩的基本性质及其它性质。 作业布置 P79：9（3），11，18 课后小记 矩阵的秩是矩阵理论中又一个十分重要的概念，它是揭开线性方程组解和向量组的线性相关性的判定的一把钥匙。掌握用矩阵的初等变换求矩阵的秩的方法及矩阵的秩的相关性质非常必要。 教材：同济大学应用数学系.线性代数(第四版)

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授课对象：本科生 授课专业： 课时：2/30 第 9 页 标题 §3、4 线性方程组的解 教学目的 利用矩阵的秩，使学生清楚“线性方程组的解Ax=b有解的充要条件是R(A)R(A,b)”和“n元齐次线性方程组的解Ax=0有非零解的充要条件是R(A)n”这两个线性方程组理论中的最基本的定理。并能用行初等变换求解线性方程组的解。 教学要求 1、理解齐次线性方程组的解有非零解的充要条件及非齐次线性方程组的解有解的充要条件。 2、掌握用行初等变换求解线性方程组解的方法。 重点与难点处理 齐次线性方程组的解有非零解的充要条件和非齐次线性方程组的解有解的充要条件及用行初等变换求解线性方程组的解是重点，理解齐次线性方程组的解有非零解的充要条件及非齐次线性方程组的解有解的充要条件是难点。其处理方法是：借助于矩阵的初等变换和矩阵的秩，搞清楚线性方程组理论中的两个最基本的定理的来龙去脉，并通过典型例题具体地讲解几道求解线性方程组解的题目。 作业布置 P80：13（2），14，17，20 课后小记 线性方程组是线性代数的主要研究对象，线性方程组解的讨论与求解也是线性代数的中心议题。线性方程组理论和矩阵理论构成线性代数活的灵魂。 教材：同济大学应用数学系.线性代数(第四版)

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授课对象：本科生 授课专业： 课时：2/30 第 10 页 标题 §4、1 向量组及其线性组合 教学目的 使学生能理解n维向量、向量组的线性组合与线性表示的概念及掌握向量组的线性表示的充要条件 教学要求 1、理解n维向量的概念，掌握n维向量的线性运算，了解向量组及向量组等价的概念。 2、理解向量组的线性组合与线性表示的概念。 3、掌握单个向量或一向量组可由另一向量组线性表示充要条件及性质。 重点与难点处理 n维向量、向量组的线性组合与线性表示的概念及单个向量或一向量组可由另一向量组线性表示充要条件与性质是重点，也是难点。其处理方法是：借助于已知的2、3维向利向量理解n维向量，若向量可由1,2,,m经线性运算所得，就说向量是1,2,,m的线性组合，或说可由1,2,,m线性表示。单个向量或一向量组能否由另一向量组线性表示归结为线性方程组或矩阵方程是否有解，籍助于矩阵的秩可解决。 作业布置 P108：2，4，5 课后小记 向量组中有没有某个向量可由其余向量线性表示，是向量组的一个重要性质，称为向量组的线性相关性。

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授课对象：本科生 授课专业： 课时：2/30 第 11 页 标题 §4、2 向量组的线性相关性§4、3向量组的秩 教学目的 通过对向量组线性相关与线性无关的概念的理解和线性相关性判定，逐步培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。同时通过对向量组的秩的求法进一步培养学生的运算能力和想像能力。 教学要求 1、理解向量组线性相关与线性无关的概念，了解并会用向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法。 2、了解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念，以及向量组的秩与矩阵的秩的关系。 重点与难点处理 向量组线性相关与线性无关的概念是重点，也是难点。其处理方法是：向量组线性相关与线性无关的概念可从以下几个方面理解，1、从几何意义：含两个向量的向量组线性相关的充要条件是两个向量共线。含三个向量的向量组线性相关的充要条件是三个向量共面。2、从线性相关与线性表示的关系：含至少两个向量的向量组线性相关的充要条件是其中必有一个向量可由其余的向量线性表示。3、从线性方程组：向量组A：1,2,,m线性相关的充要条件是齐次线性方程组Ax0有非零解。4、从矩阵的秩：向量组1,2,,m线性相关的充要条件是矩阵A(1,2,,m)的秩小于向量个数m。 作业布置 P108：6（1），7，8，11，13（1），14（2），15，17，19 课后小记 向量组线性相关与线性无关是线性代数中一个十分重要的概念，具有高度的抽象性。向量组线性相关性是向量组的一个重要性质。向量组的秩可借助于求矩阵的秩的方法求出。 教材：同济大学应用数学系.线性代数(第四版)

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授课对象：本科生 授课专业： 课时：2/30 第 12 页 标题 §4、4 线性方程组的解的结构 §4、5 向量空间 教学目的 通过给对线性方程组的解的结构的了解，进一步使求解线性方程组的解规范化。 同时了解向量空间的一些基本知识。 教学要求 1、理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念 2、理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。 3、掌握用行初等变换求解线性方程组解的方法。 4、了解n维向量空间、子空间、基（底）、维数、坐标等概念。 5、会求向量空间中的向量在其基底下的坐标。 齐次线性方程组的基础解系和非齐次线性方程组解的结构是重点，基础解系的求法是难点。其处理方法是： 齐次线性方程组的基础解系是用齐次线性方程组解集的最大无关组来定义的，因而可借助于求向量组的最大无关组方法来求。 n维向量空间、子空间、基（底）、维数、坐标等概念及向量空间中的向量在其基底下的坐标的求法是重点，向量空间中的向量在其基底下的坐标的求法是难点。其处理方法是：了解了n维向量空间、子空间、基（底）、维数、坐标等概念，借助于行初等变换便可求出向量空间中的向量在其基底下的坐标。 重点与难点处理 作业布置 P110：21，22（1），24，25，27，28（2），30，32，38，39，40 课后小记 线性方程组的解的结构定理有非常重要的应用，学习过程中应牢记以下两个定理：1、设mn矩阵A的秩R(A)r，则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩RSnr。2、设是非齐次线性方程组Axb的一个特解，1,2, ,nr是其导出组Ax0的一个基础解系，则方程组Axb的通解为 xkii，其中R(A)r,k1,k2,,knr为任意常数。 i1nr 教材：同济大学应用数学系.线性代数(第四版)

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授课对象：本科生 授课专业： 课时：2/30 第 13 页 标题 §5、1 向量的内积、长度及正交性 §5、2 方阵的特征值与特征向量 §5、3相似矩阵 使学生了解n维向量内积的一些基本知识。掌握矩阵的特征值理论及矩阵可相似对角化的充要条件。 教学目的 教学要求 1、了解向量的内积的概念及运算规律，了解向量的长度、单位向量、向量的正交、正交向量组、规范正交基、正交矩阵及正交变换的定义。 2、知道正交向量组的性质和施密特（Schimidt）正交化公式。 3、理解方阵的特征值与特征向量的概念及性质，会求方阵的特征值与特征向量。 4、理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充要条件。 向量的内积、向量组的正交化和正交矩阵是重点，向量组的正交化是难点。其处理方法是：向量的内积是3维空间的数量积的坐标表达式向n维空间的推广，向量组的正交化和正交矩阵均与向量的内积密切相关。 方阵的特征值与特征向量的概念及性质和相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充要条件是重点，也是难点。其处理方法是： 从实际问题的背景去理解方阵的特征值与特征向量的概念及性质，从特征值与特征向量的概念出发，利用可逆阵的特点去找到矩阵可相似对角化的充要条件。 重点与难点处理 作业布置 P137：1（1），3，5（1），7，10，12，13，14，15 课后小记 特征值理论是矩阵理论中一个比较重要的部分。工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值与特征向量的问题。数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题，也要用到特征值的理论。 教材：同济大学应用数学系.线性代数(第四版)

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授课对象：本科生 授课专业： 课时：2/30 第 14 页 标题 §5、4 对称矩阵的对角化§5、5二次型及其标准形 教学目的 使学生掌握实对称矩阵对角化的方法及实二次型用正交变换化为标准形的方法。 教学要求 1、了解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，掌握用相似变换化矩阵为对角阵的方法。 2、掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解二次型的标准形、规范的概念，会用正交变换把实二次型化为标准形。 重点与难点处理 对称矩阵的对角化、二次型的矩阵表示及用正交变换把实二次型化为标准形是重点，对称矩阵的正交对角化是难点。其处理方法是：掌握矩阵的特征值与特征向量的求法及矩阵相似的概念便可将对称矩阵对角化，而用正交变换把实二次型化为标准形只不过是对称矩阵的正交对角化在实二次型中的应用。 作业布置 P138： 16（1），18，20，21，24（1），25（1），26（1），27，29 课后小记 矩阵的对交化问题和二次型化标准形问题都是矩阵特征值理论的应用。 教材：同济大学应用数学系.线性代数(第四版)

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授课对象：本科生 授课专业： 课时：2/30 第 15 页 标题 §5、6 配方法化二次型成标准形 §5、7 正定二次型 教学目的 使学生了解二次型化标准形的其它方法（格朗日配方法），同时了解正定二次型的定义及其判别法。 教学要求 1、了解用拉格朗日配方法化二次型成标准形 2、了解惯性定理及二次型的分类。 3、了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法。 重点与难点处理 二次型和对应矩阵的正定性及其判别法是重点，也是难点。其处理方法是：搞清楚正定矩阵的定义及矩阵为正定矩阵充要条件。 作业布置 P140：30（1）（2）（3），31，32（1），33 课后小记 本节只作简单介绍，不作深入要求。 教材：同济大学应用数学系.线性代数(第四版)