内蒙古呼和浩特市2021年中考数学试卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.几种气体的液化温度（标准大气压）如表： 气体 氧气 氢气 氮气 氦气 液化温度°C −183 −253 −195.8 −268 其中液化温度最低的气体是（ ）
A. 氦气 B. 氮气 C. 氢气 D. 氧气 【答案】 A
【考点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵-268＜-253＜-195.8＜-183， ∴氦气是液化温度最低的气体， 故答案为：A．
【分析】先求出-268＜-253＜-195.8＜-183，再求解即可。
2.如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中， ∠𝐵=50° ， ∠𝐶=70° ，直线 𝐷𝐸 经过点A∠𝐸𝐴𝐶 的度数是（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】 D
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解： ∵∠𝐵=50°,∠𝐷𝐴𝐵=50° ，直线DE经过点A，∴𝐷𝐸//𝐵𝐶 ∵∠𝐶=70° ∴∠𝐶=∠𝐸𝐴𝐶=70°
故答案为：D．
【分析】先求出DE//BC，再根据平行线的性质计算求解即可。 3.下图所示的几何体，其俯视图是（ ）
∠𝐷𝐴𝐵=50° ， ，则
A. B.
C. D.
【答案】 B
【考点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是从物体上面看所得到的图形， 从物体上面看，是一个矩形中包含2个三角形和2个梯形， 故答案为：B．
【分析】根据几何体和俯视图的定义求解即可。 4.下列计算正确的是（ ）
A. 3𝑎2+4𝑎2=7𝑎4 B. √𝑎2⋅𝑎=1 C. −18+12÷(−2)=4 D. 【答案】 D
【考点】有理数的加减乘除混合运算，分式的混合运算，合并同类项法则及应用 【解析】【解答】解： 3𝑎2+4𝑎2=7𝑎2 ，故A错； 当a＞0， √𝑎2⋅𝑎=1 ，当a＜0， √𝑎2⋅𝑎=−1 ，故B错； −18+12÷(−)=−26 ，故C错；
231
1
3
𝑎2𝑎−1
1
−𝑎−1=
1
𝑎−1
−𝑎−1=𝑎−1 ，D符合题意； 𝑎−1
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项法则，有理数的混合运算法则，分式的加减运算法则计算求解即可。
−2𝑥−3≥1
𝑎−1 无实数解，则a的取值范围是（ ） 5.已知关于x的不等式组 {𝑥
−1≥42A. 𝑎≥−2 B. 𝑎≥−2 C. 𝑎>−2 D. 𝑎>−2 【答案】 D
5
5
𝑎2
1
【考点】解一元一次不等式组，一元一次不等式组的特殊解 【解析】【解答】解：解不等式 −2𝑥−3≥1 得， 𝑥≤−2 ， 解不等式 4−1≥𝑥≥2𝑎+2 ，
∵该不等式组无实数解， ∴ 2𝑎+2>−2 ， 解得： 𝑎>−2 ， 故答案为：D．
【分析】先求出𝑥≤−2 ，再求出𝑥≥2𝑎+2 ，最后计算求解即可。
6.某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ） ①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7
②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．
③若从该校初一学生中抽取120人作为样本调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．
𝑥
𝑎−12
得，
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】 C
【考点】扇形统计图
【解析】【解答】解：①根据扇形统计图的圆心角的度数，可知三类不同地区的分布的角度为比为： 90°:60°:210°=3:2:7 ，符合题意； ② 140÷
360°=60°840 ，则总数为840人，判断不符合题意；
③分别随机抽取30、20、70人是按照①分布情况抽取的，符合抽样调查的原则，判断符合题意． ∴ ②不符合题意，共1个 故答案为：C
【分析】根据扇形统计图中的数据对3个判断进行分析即可。
7.在平面直角坐标系中，点 𝐴(3,0) ， 𝐵(0,4) ．以 𝐴𝐵 为一边在第一象限作正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 ，则对角线 𝐵𝐷 所在直线的解析式为（ ）
A. 𝑦=−7𝑥+4 B. 𝑦=−4𝑥+4 C. 𝑦=−2𝑥+4 D. 𝑦=4 【答案】 A
【考点】待定系数法求一次函数解析式
1
1
1
【解析】【解答】解：正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，过点D作 𝐷𝐸⊥𝑥 轴于点E，
∵∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐵𝐴𝑂+∠𝐷𝐴𝐸=
90°
∴∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐷𝐴𝐸
∵∠𝐵𝑂𝐴=∠𝐴𝐸𝐷=90°,𝐴𝐵=𝐴𝐷
∴△𝐴𝐵𝑂≅△𝐷𝐴𝐸(𝐴𝐴𝑆) ∴𝐴𝑂=𝐷𝐸=3,𝑂𝐵=𝐴𝐸=4
∴𝐷(7,3)
设直线 𝐵𝐷 所在的直线解析式为 𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0) ， 代入 𝐵(0,4) ， 𝐷(7,3) 得
𝑏=4
{
7𝑘+𝑏=31𝑘=−∴{7 𝑏=4
∴𝑦=−7𝑥+4 ， 故答案为：A．
【分析】先求出点D的坐标，再利用待定系数法计算求解即可。
8.如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d ， 根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及 𝜋 的值都正确的是（ ）
1
A. 𝑑=B. 𝑑=C. 𝑑=D. 𝑑=
8(√2−1)sin22.5°4(√2−1) ， 𝜋≈8sin22.5°
sin22.5°4(√2−1) ， 𝜋≈4sin22.5° ， 𝜋≈8sin22.5° ， 𝜋≈4sin22.5°
sin22.5°8(√2−1)sin22.5°【答案】 C
【考点】正多边形的性质 【解析】【解答】解：
设剪去△ABC边长AC=BC=x ， 可得： 2𝑥+√2𝑥=4 ， 解得x= 4-2√2 ， 则BD= 4√2−4 ，
∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度， ∴∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐶𝐵𝐴=45° ， 则∠BFD=22.5°，
∴外接圆半径d=BF= ，
sin22.5°根据题意知 𝜋≈ 周长÷d= (32√2-32)÷故答案为：C．
【分析】先求出x= 4-2√2 ，再求出∠BFD=22.5°，最后计算求解即可。
9.以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A ， B ， C ， D ， E ， F六个足球队进行单循环赛，若A ， B ， C ， D ， E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；③两个正六边形一定位似；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命题的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】 B
【考点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①如图， 𝐴𝐷 是 △𝐴𝐵𝐶 的中线， 𝐸𝐹 是 △𝐴𝐵𝐶 的中位线，连接 𝐸𝐷、𝐹𝐷 ，
4(√2-1) sin22.5°4(√2−1)= 8sin22.5° ，
由中位线定义可知，
𝐸𝐷//𝐴𝐹,𝐹𝐷//𝐴𝐸
∴ 四边形 𝐴𝐸𝐷𝐹 是平行四边形
∴ 对角线 𝐴𝐷、𝐸𝐹 互相平分，故①符合题意；
②由单循环比赛可知，每支队伍最多赛5场，A对已经赛5场，即每支队伍都与A队比赛过，而E队只比赛1场，据此可知，E队没有与B对比赛过，故②不符合题意； ③两个正六边形一定位似，故③符合题意；
④13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，也可能最多，故④不符合题意，
其中真命题的个数有①③，2个， 故答案为：B．
【分析】根据命题的定义一一判断即可。
10.已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点 (𝑚,0) ， (𝑛,0) ，且过 𝐴(0,𝑏) ， 𝐵(3,𝑎) 两点（b ， a是实数），若 0<𝑚<𝑛<2 ，则 𝑎𝑏 的取值范围是（ ） A. 0<𝑎𝑏<
41
B. 0<𝑎𝑏<8
19
C. 0<𝑎𝑏<16 D. 0<𝑎𝑏<16 8
8149
【答案】 C
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意，二次函数与x轴交于两点 (𝑚,0) ， (𝑛,0) ，且二次项系数为1， 则： 𝑦=(𝑥−𝑚)(𝑥−𝑛)=𝑥2−(𝑚+𝑛)𝑥+𝑚𝑛 ∵ 过 𝐴(0,𝑏) ， 𝐵(3,𝑎) 两点 ∴𝑏=𝑚𝑛 ， 𝑎=9−3(𝑚+𝑛)+𝑚𝑛
𝑎+𝑏=2𝑚𝑛−3(𝑚+𝑛)+9
∵ 0<𝑚<𝑛<2
(𝑚+𝑛)2
∴𝑚𝑛<
4∴ 𝑎+𝑏<2(𝑚+𝑛)2−3(𝑚+𝑛)+9 =2(𝑚+𝑛−3)2+2 ， ∵ 0<𝑚<𝑛<2 ∴0<𝑚+𝑛<4 ∴𝑎+𝑏<2
91
1
9
1
∵√𝑎𝑏≤(𝑎+𝑏)
22√𝑎𝑏≤𝑎+𝑏<2 ∴𝑎𝑏<
8116
9
𝑚+𝑛2
∵ 二次函数的二次项系数为1，对称轴为 𝑥=
∴ 二次函数图像开口朝上，且点 (𝑛,0) ， 𝐵(3,𝑎) 在对称轴的右侧．
∴𝑎>0
又 ∵ 0<𝑚<𝑛<2 ∴𝑏=𝑚𝑛>0 ∴ 0<𝑎𝑏<16 ． 故答案为：C． 【分析】先求出𝑚𝑛<
(𝑚+𝑛)2
4
81
， 再求出𝑎𝑏<16 ， 最后求取值范围即可。
81
二、填空题（共6题；共9分）
11.因式分解： 𝑥3𝑦−4𝑥𝑦 =________． 【答案】 xy（x+2）（x-2）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【解析】【解答】解：x3y-4xy =xy（x2-4）
=xy（x+2）（x-2）．
故答案是：xy（x+2）（x-2）．
【分析】利用提公因式法和平方差公式因式分解即可。 12.正比例函数 𝑦=𝑘1𝑥 与反比例函数 𝑦=则 𝑘1+𝑘2= ________． 【答案】 -8
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】【解答】解： ∵ 𝑦=𝑘1𝑥 和 𝑦=
𝑘2𝑥𝑘2𝑥
的图象交于A ， B两点，若A点坐标为 (√3,−2√3) ，
过点A (√3,−2√3)
−2√3=−2
√3𝑘2=√3×(−2√3)=−6 𝑘1+𝑘2=(−2)+(−6)=−8
故答案为 −8 ．
【分析】先求出𝑘1=−2 ， 𝑘2=−6 ， 再计算求解即可。
13.已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为________．（用含π的代数式表示），圆心角为________度．
𝑘1=
【答案】 12𝜋；270 【考点】圆锥的计算 【解析】【解答】解：如图，
由题意可知，AB=10，AO=8，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得，BO=6，
则该扇形展开后侧面是半径为8的扇形，其弧长即为底面圆的周长， ∴底面 ⊙𝑂 的周长为： 𝐶=2𝜋×6=12𝜋 ，
根据弧长公式可得： 12𝜋=180° ，解得： 𝑛=270° ， 故答案为： 12𝜋 ； 270 ．
【分析】先求出BO=6，再求出𝐶=2𝜋×6=12𝜋 ，最后根据弧长公式计算求解即可。
14.动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只．则20年后存活的有________只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是________． 【答案】 0.8𝑎；8 【考点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：共有a只这种动物
∵这种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5， ∴这种动物活到20岁的有0.8a只，活到25岁的有0.5a只， ∴现年20岁的这种动物活到25岁的概率是0.5a÷0.8a= 8 故答案为： 8 ．
【分析】先求出这种动物活到20岁的有0.8a只，活到25岁的有0.5a只，再求概率即可。
15.已知菱形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的面积为 2√3 ﹐点E是一边 𝐵𝐶 上的中点，点P是对角线 𝐵𝐷 上的动点．连接 𝐴𝐸 ，若AE平分 ∠𝐵𝐴𝐶 ，则线段 𝑃𝐸 与 𝑃𝐶 的和的最小值为________，最大值为________． 【答案】 √3；2+√7
【考点】菱形的性质，轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【解答】解：如图，连接 𝑃𝐶 ，
5
5
5
8𝑛𝜋
∵ 𝐸 是 𝐵𝐶 的中点，AE平分 ∠𝐵𝐴𝐶 ， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐶 ，
∴ △𝐴𝐵𝐶 是等腰三角形，
又 ∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形，则 𝐴𝐵=𝐵𝐶 ， ∴ △𝐴𝐵𝐶 是等边三角形，
∵ 已知菱形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的面积为 2√3 ， 设菱形的边长为 𝑎 (𝑎>0) 则 𝐴𝐸=√𝑎2−()2=
2𝑎
√3𝑎 2
，
∵ 𝑆=𝐵𝐶×𝐴𝐸 ，
3∴ 2√3=𝑎×√𝑎 ，
2
解得： 𝑎=2 ， ∴𝐴𝐸=√3 ，
∵𝐴、𝐶 关于 𝐵𝐷 对称，
𝑃𝐸 + 𝑃𝐶 =𝑃𝐸+𝑃𝐴 ≥ 𝐴𝐸 =√3 ， 则 𝑃𝐸 + 𝑃𝐶 最小值为： √3 ； 当点P与点D重合时 𝑃𝐸 + 𝑃𝐶 最大， 过E作 𝐸𝐻⊥𝐵𝐷 垂足为H， ∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形， ∴𝐸𝐻//𝑂𝐶 ， ∵ 𝐸 是 𝐵𝐶 的中点, ∴𝐸𝐻=2𝑂𝐶=4𝐴𝐶=2 ， 𝑂𝐻=2𝑂𝐵=
1
√3 2
1
1
1
，
3
∴𝐷𝐻=𝐷𝑂+𝑂𝐻=2√3 ，
在 𝑅𝑡△𝐷𝐻𝐸 中，
𝐷𝐸=√𝐷𝐻2+𝐻𝐸2 √(√3)2+()2=√7 ， 22则 𝐷𝐸+𝐷𝐶=2+√7 ， ∴ 𝑃𝐸 + 𝑃𝐶 最大为： 2+√7 ．
【分析】先求出△𝐴𝐵𝐶 是等腰三角形，再求出𝐷𝐻=𝐷𝑂+𝑂𝐻=2√3 ，最后计算求解即可。 16.若把第n个位置上的数记为 𝑥𝑛 ，则称 𝑥1 ， 𝑥2 ， 𝑥3 ，…， 𝑥𝑛 有限个有序放置的数为一个数列A ． 定义数列A的“伴生数列”B是： 𝑦1 ﹐ 𝑦2 ， 𝑦3 … 𝑦𝑛 其中 𝑦𝑛 是这个数列中第n个位置上的数， 0𝑥=𝑥𝑛+1
并规定 𝑥0=𝑥𝑛 ， 𝑥𝑛+1=𝑥1 ．如果数列A只有四个数，且 𝑛=1 ，2，…k且 𝑦𝑛={𝑛−1
1𝑥𝑛−1≠𝑥𝑛+1𝑥1 ， 𝑥2 ， 𝑥3 ， 𝑥4 依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是________． 【答案】 0，1，0，1 【考点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵ 𝑥1 ， 𝑥2 ， 𝑥3 ， 𝑥4 依次为3，1，2，1， ∴x0=x4=1，x5=x1=3，
∴x0 ， 𝑥1 ， 𝑥2 ， 𝑥3 ， 𝑥4 ， x5依次为1，3，1，2，1，3，
∵x0= 𝑥2 =1，y1=0；x1≠x3 ， y2=1； 𝑥2 = 𝑥4 =1，y3=0； 𝑥3 ≠x5 ， y4=1； ∴其“伴生数列”B是y1 ， y2 ， y3 ， y4；依次为0， 1， 0， 1． 故答案为：0， 1， 0， 1．
【分析】先求出x0=x4=1，x5=x1=3，再求解即可。
3
3
1
三、解答题（共8题；共75分）
17.计算求解
（1）计算 (3)−1−(√80−√20)÷√5+√3tan30° 1.5(20𝑥+10𝑦)=15000
（2）解方程组 {
1.2(110𝑥+120𝑦)=97200
【答案】 （1）解：原式 =3−2√5÷√5+1=3−2+1=2 ， 故答案为： 2 ；
1.5(20𝑥+10𝑦)=15000
， （2）解：由题意可知： {
1.2(110𝑥+120𝑦)=972002𝑥+𝑦=1000⋯① 化简得 {
11𝑥+12𝑦=810⋯②1
①×12−② 得： 13𝑥=3900 ，
解得 𝑥=300 ，
把 𝑥=300 代入 ① 得： 𝑦=400
𝑥=300
∴方程组的解为： { ．
𝑦=400
【考点】实数的运算，解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用负整数指数幂，二次根式的除法法则，特殊角的锐角三角函数值计算求解即可； （2）先求出
，再求出 𝑥=300 ，
，最后求解即可。
18.如图，四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形， 𝐵𝐸//𝐷𝐹 且分别交对角线 𝐴𝐶 于点E ， F ．
（1）求证： △𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹 ；
（2）当四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 𝐵𝐸𝐷𝐹 的形状．（无需说明理由）【答案】 （1）证明：∵ 𝐵𝐸//𝐷𝐹 ∴ ∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐷𝐹𝐴 ∴ ∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐶𝐹𝐷
∵四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形 ∴ 𝐴𝐵//𝐶𝐷 ， 𝐴𝐵=𝐶𝐷 ， ∴ ∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐶𝐹
∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐶𝐹𝐷
在△ABE和△CDF中 {∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐶𝐹 ，
𝐴𝐵=𝐶𝐷
∴ △𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹 ．
（2）四边形BEDF是平行四边形与菱形 【考点】平行四边形的性质，菱形的判定
【解析】【答案】解：（2）如图，当四边形ABCD为矩形时，连接DE、BF ，
同（1）可知 △𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹 ， ∴BE=DF ， ∵BE//DF ，
∴四边形BEDF是平行四边形．
如图，当四边形ABCD是菱形时，连接DE、BF ，
同理可知四边形BEDF是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD ， ∠BAE=∠DAE ，
𝐴𝐵=𝐴𝐷
在△ABE和△ADE中， {∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸 ，
𝐴𝐸=𝐴𝐸∴△ABE≌△ADE， ∴BE=DE ，
∴四边形BEDF是菱形．
综上所述：当四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 分别是矩形和菱形时，四边形 𝐵𝐸𝐷𝐹 分别是平行四边形与菱形． 【分析】（1）先求出
，再求出
，最后证明三角形全等即可；
（2）先求出四边形BEDF是平行四边形，再求出△ABE≌△ADE，最后求解即可。
19.某大学为了解大学生对中国共产党党史识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动，现从一二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格：40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
大学一年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25
大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如下图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如表所示：
年级 平均数 众数 中位数 优秀率 大一 a 大二 39.5 b 43 m n 44 c 请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝________，b＝________，c＝________，m＝________，n________；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由________（写出一条理由即可）；
（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；
（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．
【答案】 （1）41.1；43；42.5；55%；65%；从表中优秀率看，二年级样本优秀率达到65%高于一年级的55%， 所以估计二年级学生的优秀率高， 所以用优秀率评价，估计二年级学生掌握党史知识较好； （2）解：∵样本合格率为： 40×100%=92.5% ， ∴估计总体的合格率大约为 92.5% ，
∴估计参加测试的两个年级合格学生约为： 1240×92.5%=1147 人 ∴估计超过了1000人；
（3）解：一年级满分有2人，设为A，B，二年级满分有3人，设为1，2，3 则从这5人中选取2人的所有情况为：
𝐴𝐵 ， 𝐴1 ， 𝐴2 ， 𝐴3 ， 𝐵1 ， 𝐵2 ， 𝐵3 ，12，13，23， 共有10种等可能情况，两人在同一年级的情况有4种， ∴可求得两人在同一年级的概率为： 𝑃=10=5 ． 【考点】条形统计图，概率公式，分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）将大一年级20名同学成绩整理如下表： 成绩 人数 平均数 𝑎=
25 1 30 2 20
4
2
37
37 4 39 2 43 5 =41.1 ，
49 4 50 2 25+30×2+37×4+39×2+43×5+49×4+50×2
众数为出现次数最多的数据，由表可知，众数为43，
中位数：排序后，第10和第11个数据为42和43，故中位数为 大一年级的优秀率为： 𝑚=大二年级的优秀率为： 𝑛=
5+4+220
41+442
=42.5 ；
×100%=55% ， ×100%=65% ，
3+5+2+3
20
所以 𝑎=41.1 ， 𝑏=43 ， 𝑐=42.5 ， 𝑚=55% ， 𝑛=65% 【分析】（1）利用平均数，中位数和众数的定义计算求解即可；
（2）先求出总体的合格率大约为 92.5% ， 再求出参加测试的两个年级合格学生约为 1147人，最后求解即可；
（3）先求出共有10种等可能情况，两人在同一年级的情况有4种，再求概率即可。
20.如图，线段 𝐸𝐹 与 𝑀𝑁 表示某一段河的两岸， 𝐸𝐹//𝑀𝑁 ．综合实践课上，同学们需要在河岸 𝑀𝑁 上测量这段河的宽度（ 𝐸𝐹 与 𝑀𝑁 之间的距离），已知河对岸 𝐸𝐹 上有建筑物C、D ， 且 𝐶𝐷=60 米，同学们首先在河岸 𝑀𝑁 上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）
【答案】 解：如图，过C、D分别作 𝐶𝑃⊥𝑀𝑁 、 𝐷𝑄⊥𝑀𝑁 垂足为P、Q,
设河宽为x米．
由题可知， ∠𝐶𝐴𝑁=45° , ∠𝐵𝐷𝑄=55° , ∴ △𝐴𝐶𝑃 为等腰直角三角形， ∴ 𝐴𝑃=𝐶𝑃=𝑥 ， 𝐵𝑃=𝑥−20 , ∵MN∥EF， 𝐶𝑃⊥𝑀𝑁 、 𝐷𝑄⊥𝑀𝑁 ， ∴ ∠𝐶𝑃𝑄=∠𝑃𝑄𝐷=∠𝑃𝐶𝐷=∠𝐶𝐷𝑄=90° , ∴四边形CPQD为矩形， ∴CD=PQ=60, 在 𝑅𝑡△𝐵𝐷𝑄 中， ∵ ∠𝐵𝐷𝑄=55° , ∴ tan55°=𝐵𝑄
𝐵𝑃+𝑃𝑄𝑥−20+60
𝐷𝑄=
𝐷𝑄
=
𝑥
，
∴ tan55°⋅𝑥=𝑥+40 ， ∴ (tan55°−1)⋅𝑥=40 ， ∴ 𝑥=40
tan55°−1 ， 所以河宽为 40tan55°−1 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先求出 四边形CPQD为矩形， 再求出 (tan55°−1)⋅𝑥=40 最后求解即可。
，21.下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3 电话计费问题 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 150 350 0.25 0.19 免费 免费 方式一 58 方式二 88
考虑下列问题：
①设一个月内用移动电话主叫为min（t是正整数）根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费
②观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法． 小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．
（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y ， 请你帮小明写出：
x表示问题中的________，y表示问题中的________．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式________；
（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）
方式二： 𝑦=【答案】 （1）主叫时间；计费；方式一： 𝑦={
58+0.25(𝑥−150) 𝑥>150 {
88+0.19(𝑥−350) 𝑥>350（2）解：大致图象如下：
88 0<𝑥≤350
58 0<𝑥≤150
88=58+0.25(𝑥−150) ， 解得x=270，
由图可知：当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二． 【考点】一次函数的实际应用
【解析】【答案】解：（1）根据题意可知：x表示主叫时间，y表示计费，
通过表格数据可知两种方式都属于分段函数，主叫超时费即为一次函数“k”值，即可直接写出函数表达式为：
方式一： 𝑦={
58+0.25(𝑥−150) 𝑥>150 方式二： 𝑦={
88+0.19(𝑥−350) 𝑥>350【分析】（1）分类讨论，计算求解即可；
（2）先求出 88=58+0.25(𝑥−150) ， 再求出 x=270， 最后求解即可。
22.为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？
【答案】 解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为 (𝑥+12) 元/个 由题意得：
96𝑥
2880𝑥
58 0<𝑥≤150
88 0<𝑥≤350
=2⋅𝑥+12
32400
=𝑥+12
120
96(𝑥+12)=120𝑥
∴ 𝑥=48
经检验， 𝑥=48 是原分式方程的解且符合题意 ∴A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个
设今年购进B足球的个数为a个，则购买A足球的数量为 (50−𝑎) 个，由题意可得： (50−𝑎)×48×(1+5%)+𝑎×60×(1−10%)≤(2880+2400)×1
2 ∴ 50.4×50−50.4𝑎+54𝑎≤2640 3.6𝑎≤120 𝑎≤
1003
∴最多可购进33个B足球
【考点】分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用 【解析】【分析】先求出
，再求出
，最后求解即可。
23.已知 𝐴𝐵 是⊙O的任意一条直径，
（1）用图1，求证：⊙O是以直径 𝐴𝐵 所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）已知⊙O的面积为 4𝜋 ，直线 𝐶𝐷 与⊙O相切于点C ， 过点B作 𝐵𝐷⊥𝐶𝐷 ，垂足为D2，求证： ① 1
2𝐵𝐶2=2𝐵𝐷 ；
②改变图2中切点C的位置，使得线段 𝑂𝐷⊥𝐵𝐶 时， 𝑂𝐷=2√2 ． 【答案】 （1）证明：如图，设P是⊙O上点A，B以外任意一点 过点P作 𝑃𝑃′⊥𝐴𝐵 ，交⊙O于点 𝑃′ ，垂足为M
如图 ，若M与圆心O不重合 连接 𝑂𝑃 ， 𝑂𝑃′ 在 △𝑂𝑃𝑃′ 中 ∵ 𝑂𝑃=𝑂𝑃′
∴ △𝑂𝑃𝑃′ 是等腰三角形 又 𝑃𝑃′⊥𝐴𝐵 ∴ 𝑃𝑀=𝑀𝑃′
则 𝐴𝐵 是 𝑃𝑃′ 的垂直平分线
若M与圆心O重合，显然 𝐴𝐵 是 𝑃𝑃′ 的垂直平分线 这就是说，对于圆上任意一点P，
在圆上都有关于直线 𝐴𝐵 的对称点 𝑃′ ，
因此⊙O是以直径 𝐴𝐵 所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）解：①证明：设⊙O半径为r， 由 𝜋𝑟2=4𝜋 可得 𝑟=2 ， ∴ 𝐴𝐵=4 ，
连接 𝐴𝐶 ，则 ∠𝐵𝐶𝐴=90° ， ∵C是切点，连接 𝑂𝐶 ，
∴ 𝑂𝐶⊥𝐶𝐷 ， ∵ 𝐵𝐷⊥𝐶𝐷 ， ∴ 𝑂𝐶//𝐵𝐷 ， ∴ ∠𝑂𝐶𝐵=∠𝐷𝐵𝐶 ， 而 ∠𝑂𝐶𝐵=∠𝑂𝐵𝐶 ， ∴ ∠𝐷𝐵𝐶=∠𝑂𝐵𝐶 ，
又∵ ∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐵𝐷𝐶=90° ， ∴ 𝛥𝐴𝐶𝐵∽𝛥𝐶𝐷𝐵 ， ∴ 𝐴𝐵=
𝐵𝐶
𝐵𝐷𝐵𝐶
，
∴ 𝐵𝐶2=𝐴𝐵⋅𝐵𝐷=4𝐵𝐷 ，
∴ 2𝐵𝐶2=2𝐵𝐷 ；
②证明：由①证明可知 ∠𝐶𝐵𝐷=∠𝑂𝐵𝐶 与切点C的位置无关， 又∵ 𝑂𝐷⊥𝐵𝐶 ， ∴可证得 𝐵𝐷=𝑂𝐵 ， 又∵ △𝑂𝐶𝐵 是等腰三角形， ∴ 𝐵𝐶 与 𝑂𝐷 互相垂直平分， 又 ∠𝐵𝐷𝐶=90° ，
∴四边形 𝐵𝑂𝐶𝐷 是边长为2的正方形， ∴ 𝑂𝐷=2√2 ． 【考点】圆的综合题 【解析】【分析】（1）先求出 （2）①先求出 𝑟=2 ， 再求出 24.已知抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑘𝑥+ℎ(𝑎>0)
（1）通过配方可以将其化成顶点式为________，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴________（填上方或下方），即 4𝑎ℎ−𝑘2 ________0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线上存在两点 𝐴(𝑥1,𝑦1) ， 𝐵(𝑥2,𝑦2) ，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的符合题意性给以说明；（为了便于说明，不妨设 𝑥1<𝑥2 且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）
（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当 𝑎>0 ， (𝑎+𝑐)(𝑎+𝑏+𝑐)<0 时， (𝑏−𝑐)2>4𝑎(𝑎+𝑏+𝑐) ．
【答案】 （1）𝑦=𝑎(𝑥+
𝑘2
)2𝑎
1
，再求出 𝐴𝐵 是 𝑃𝑃′ 的垂直平分线 ，最后求解即可；
，最后求解即可；
②先求出 𝐵𝐶 与 𝑂𝐷 互相垂直平分， 再求出四边形 𝐵𝑂𝐶𝐷 是边长为2的正方形， 最后求解即可。
+
4𝑎ℎ−𝑘24𝑎
；下方；＜
（2）解：若设 𝑥1<𝑥2 且不等于顶点横坐标，则A，B两点位置可能有以下三种情况：
①当A，B都在对称轴左侧时，由于在对称轴左侧，抛物线开口向上，函数值随x的增大而减小，所以点A在x轴上方，点B在x轴下方，顶点M在点B下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图1所示
②当A，B都在对称轴右侧时，由于在对称轴右侧，抛物线开口向上，函数值随x的增大而增大，所以点B在x轴上方，点A在x轴下方，顶点M在点A下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图2所示
③当A，B在对称轴两侧时，由于A，B分布在x轴两侧，所以不管A，B哪个点在x轴下方，都可以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，同①或②，可以说明抛物线顶点必在x轴下方．如图3所示
（3）解：令 𝑦=𝑎𝑥2+(𝑏−𝑐)𝑥+(𝑎+𝑏+𝑐) ， 𝑎>0
当 𝑥1=0 时， 𝑦1=𝑎+𝑏+𝑐 ；当 𝑥2=−1 时， 𝑦2=2(𝑎+𝑐) ，而 (𝑎+𝑐)(𝑎+𝑏+𝑐)<0 ∴ 𝑦1⋅𝑦2<0
∴ 𝑦=𝑎𝑥2+(𝑏−𝑐)𝑥+(𝑎+𝑏+𝑐) 上存在两点 (−1,2𝑎+2𝑐) ， (0,𝑎+𝑏+𝑐) 分别位于x轴两侧 ∴由（1）（2）可知， 𝑦=𝑎𝑥2+(𝑏−𝑐)𝑥+(𝑎+𝑏+𝑐) 顶点在x轴下方， 即
4𝑎(𝑎+𝑏+𝑐)−(𝑏−𝑐)2
4𝑎
<0 ，
又∵ 𝑎>0 ，
∴ 4𝑎(𝑎+𝑏+𝑐)−(𝑏−𝑐)2<0 ， 即： (𝑏−𝑐)2>4𝑎(𝑎+𝑏+𝑐) ．
【考点】二次函数-动态几何问题，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）通过配方可得： 𝑦=𝑎(𝑥+
∵a＞0，抛物线开口向上，
∴当顶点在x轴下方时，即 4𝑎ℎ−𝑘2 ＜0时，该抛物线与x轴必有两个交点； 故答案是： 𝑦=𝑎(𝑥+
𝑘2)2𝑎
𝑘2
)2𝑎
+
4𝑎ℎ−𝑘24𝑎
，
+
4𝑎ℎ−𝑘24𝑎
，下方， ＜；
【分析】（1）先求出𝑦=𝑎(𝑥+
𝑘2)2𝑎
+
4𝑎ℎ−𝑘24𝑎
，再根据a＞0，抛物线开口向上，进行求解即可；
（2）分类讨论，结合函数图象求解即可； （3）先求出
，再求出
4𝑎(𝑎+𝑏+𝑐)−(𝑏−𝑐)2
4𝑎
<0 ， 最后计算求解即可。
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容