数学（文）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．[2020·惠州市高三第一次调研考试试题]已知集合P＝{x|－2≤x≤2}，Q＝{x|lg x>0}，那么P∩
Q＝( )
A．(－2,0) B．[1,2) C．(1,2] D．(0,2]
1＋i
2．[2020·南昌市高三年级摸底测试]复数z满足＝1－i，则|z|＝( )
zA．2i B．2 C．i D．1
π
3．[深圳市普通高中高三年级统一考试]已知tan α＝－3，则sin 2α＋＝( )
4
3344
A. B．－ C. D．－ 5555
4．[2020·合肥市高三第一次教学质量检测]下列不等关系，正确的是( ) A．log23 5．[2020·安徽省示范高中名校高三联考]如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>2 020的最小偶数n，那么在◇和□两个空白框中，可以分别填入( ) A．A>2 020？和n＝n＋1 B．A>2 020？和n＝n＋2 C．A≤2 020？和n＝n＋1 D．A≤2 020？和n＝n＋2 6．[2020·山西省八校高三第一次联考]如图是根据某气压机厂两个车间2016～2019年四年中的年产值情况制成的折线统计图，从图中可以清楚地看出两个车间年产值增减变化的情况，根据折线图，给出下列四个结论： ①2017～2018年第一车间年产值的增长速度比第二车间快； ③第二车间2019年的年产值是2016年的4倍； ②第二车间四年的年产值的中位数是第一车间四年的年产值中位数的2倍； ④第二车间四年的年产值的平均数是第一车间四年的年产值的平均数的1.5倍． 其中所有不正确结论的编号是( ) A．①④ B．①② C．②③ D．②④ 7．[2020·广州市高三年级阶段训练题]已知函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，当x≥1时，f(x)＝x－2 ，则{x|f(x＋2)>1}＝( ) xA．{x|x<－3或x>0} B．{x|x<0或x>2} C．{x|x<－2或x>0} D．{x|x<2或x>4} 8．[2020·南昌市高三年级摸底测试]自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制．二进制以2为基数，只用0和1两个数码表示数，逢2进1，二进制数与十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如(521)10＝1×29＋0×28＋0×27＋0×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝(1000001001)2.我国数学史上，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口诀：(7×7)8＝(61)8，(7×6)8＝(52)8，(7×5)8＝(43)8，…，则八进制下(6×5)8等于( ) A．(36)8 B．(37)8 C．(40)8 D．(41)8 9．[2020·广州市普通高中毕业班综合测试]已知直线l：y＝x－2与x轴的交点为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，则AB的中点到抛物线C的准线的距离为( ) A．8 B．6 C．5 D．4 10．[2020·长沙市高三年级统一模拟考试]函数y＝|x|＋1(其中e为自然对数的底数)的图象大致是 e( ) x2 11．[2020·临川二中模拟]关于函数f(x)＝|cos x|＋cos |2x|有下列四个结论： ①f(x)是偶函数；②π是f(x)的最小正周期； 3π5π ③f(x)在，上单调递增；④f(x)的值域为[－2,2]． 44 上述结论中，正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 12．[2020·湖南四校联考]在边长为2A．28π B．7π C．14π D．21π 3的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角线BD折叠至二面 角A BD C的大小为120°，连接AC，构成四面体ABCD(如图)，则此四面体的外接球的表面积为( ) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) 2x＋y－2≥0 13．[2020·福州市高中毕业班质量检测]设x，y满足约束条件x－2y＋4≥0 x≤2最小值为________． 14．[2020·深圳市普通高中高三年级统一考试]设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－n，则a6 ＝________. 15．[2020·河南省豫北名校高三质量考评]某药材公司与枳壳种植合作社签订收购协议，根据协议，由该公司提供相关的种植技术标准和管理经验，并对标准园的枳壳成品按不低于当年市场价的价格进行订单式收购，形成“龙头企业＋合作社＋农户”的快速发展模式．该合作社对2016～2019年的收益情况进行了统计，得到如下所示的相关数据： 年份 年份代码x 收益y/万元 2016 1 14 2017 2 26 2018 3 40 2019 4 58 ，则z＝x－3y的 ^^^根据数据可求得y关于x的线性回归方程，为y＝bx－2，则b＝________. 16．[2020·安徽省示范高中名校高三联考]双曲线2－ x2y2ab2 ＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其左、右焦点， b→→线段F2A垂直直线y＝x，垂足为点A，与双曲线交于点B，若F2B＝BA，则该双曲线的离心率为________． a三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(12分)[2020·湖南省长沙市高三调研试题]已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b， c，3a＝3ccos B＋bsin C. (1)求角C的大小； (2)如图，设P为△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，且∠APB＋∠ACB＝π，求AC＋BC的最大值． 18.(12分)[2020·江苏卷]在三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC， B1C的中点． (1)求证：EF∥平面AB1C1； (2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1. 19．(12分)[2020·长沙市四校高三年级模拟考试]为了研究每周累计户外暴露时间是否足够(单位：小时)与近视发病率的关系，对某中学七年级100名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据： 足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间 近视 20 30 不近视 35 15 (1)用样本估计总体思想估计该中学七年级学生的近视发病率； (2)能否在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为近视与户外暴露时间有关系？ 附：K2＝ nad－bca＋bc＋d2 a＋cb＋d， 其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) k0 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 20．(12分)[2020·合肥市高三调研性检测]已知f(x)＝ex－mx. (1)若曲线y＝ln x在点(e2,2)处的切线也与曲线y＝f(x)相切，求实数m的值； (2)试讨论函数f(x)零点的个数． 1 21．(12分)[2020·合肥市高三教学质量检测]已知椭圆C的方程为＋＝1，斜率为的直线l与椭 432 x2y2 3 圆C交于A，B两点，点P1，在直线l的左上方． 2 (1)若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点F2，求此时直线l的方程； (2)求证：△PAB的内切圆的圆心在定直线x＝1上． 选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2020·南昌市高三年级摸底测试]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 x＝2cos αx′＝2x(α∈[0,2π)，α为参数)，在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换得到y＝2sin αy′＝y曲线C1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ为极径，θ为极角)． (1)求曲线C的普通方程和曲线C1的极坐标方程； π1 (2)若射线OA：θ＝β(ρ>0)与曲线C1交于点A，射线OB：θ＝β＋(ρ>0)与曲线C1交于点B，求2|OA|2 ＋ 的值． |OB|21 a2＋1 ＋|x－1|(a>0)，g(x)＝423．(10分)[2020·南昌市高三年级摸底测试]已知函数f(x)＝x－a －|x＋1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若关于x的不等式f(x)≤g(x)的解集包含[1,2]，求a的取值集合． 仿真模拟专练(三) 1．答案：C 2．答案：D 3．答案：D 4．答案：D 5．答案：D 6．答案：D 7．答案：C 8．答案：A 9．答案：A 10．答案：D 11．答案：B 12．答案：A 13．答案：－7 14．答案：63 15．答案：14.6 16．答案：∴∴∴∴ 3sin A＝ 2 3a＝ 3ccos B＋bsin C， 3sin Ccos B＋sin Bsin C， 3sin Ccos B＋sin Bsin C， 3sin Ccos B＋sin Bsin C， 3. 17．解析：(1)∵ 3sin(B＋C)＝ 3(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝ 3sin Bcos C＝sin Bsin C，∴tan C＝ π 又C∈(0，π)，∴C＝. 3 2π (2)由(1)与∠APB＋∠ACB＝π，得∠APB＝. 3由余弦定理，得又 AB2＝PA2＋PB2－2PA·PBcos∠APB＝1＋4－2×1×2×cos 2π3 ＝7. AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝(AC＋BC)2－3AC·BC≥(AC＋BC)2－3 2 AC＋BC2＝2 AC＋BC4 ， 7(当且仅当AC＝BC时取等号)． 7. ∴AC＋BC≤2 ∴AC＋BC的最大值为2所以EF∥AB1. 18．解析：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点， 又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1， 所以EF∥平面AB1C1. (2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以B1C⊥AB. 又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C， AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C， 所以AB⊥平面AB1C. 又因为AB⊂平面ABB1， 所以平面AB1C⊥平面ABB1. 19．解析：(1)由题中表格可知，100名学生中，近视的学生有20＋30 ＝50(名)， 1 所以可估计该中学七年级学生的近视发病率为＝. 1002100×2(2)K＝ 20×15－35×3055×45×50×50 2 50 ≈9.09>6.635， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为近视与户外暴露时间有关系． 20．解析：(1)曲线y＝ln x在点(e2,2)处的切线方程为 y－2＝ 1 e2 (x－e2)，即 y＝2x＋1. e 1 令该切线与曲线f(x)＝ex－mx相切于点(x0，ex0－mx0)，则切线方程为y＝(ex0－m)x－ex0(x0－1)， ∴ex0－m＝e－2 { ex0－x0ex0＝1，∴(m＋e－2)[1－ln(m＋e－2)]＝1. 令m＋e－2＝t，则t(1－ln t)＝1. 记g(t)＝t(1－ln t)，则g′(t)＝1－(1＋ln t)＝－ln t. 于是，g(t)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g(t)max＝g(1)＝1，于是t＝m＋e－2＝1，m＝1－e－2. (2)f′(x)＝ex－m. 当m<0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增，且f(0)＝1>0， 11 f＝e－1<0， mm∴函数f(x)在R上有且仅有一个零点． 当m＝0时，f(x)＝ex在R上没有零点． 当m>0时，令f′(x)>0，则x>ln m，即函数f(x)的增区间是(ln m，＋∞)， 同理，减区间是(－∞，ln m)，∴f(x)min＝f(ln m)＝m(1－ln m)． ①若0 f(2ln m)＝m2－2mln m＝m(m－2ln m)， 令h(m)＝m－2ln m，则h′(m)＝1－， 2 m∴当m>e时，h(m)单调递增，h(m)>h(e)>0， ∴f(2ln m)＝m2－2mln m＝m(m－2ln m)>m(e－2)>0，又f(0)＝1>0， ∴f(x)在R上恰有两个零点． 综上所述，当0≤m 1 21．解析：(1)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 2 x2y21 由＋＝1y＝x＋m得x2＋mx＋m2－3＝0，由Δ＝m2－4(m2－3)>0，解得－2 ＋x2＝－m，x1x2＝m2－3. 3 ∵点P1，在直线l的左上方，∴－2 →→ 若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点F2，则AF2·BF2＝0， 即(1－x1，－y1)·(1－x2，－y2)＝0， ∴(1－x1)(1－x2)＋y1y2＝0， 11 (1－x1)(1－x2)＋x1＋mx2＋m＝0， 22 15 m－1(x1＋x2)＋x1x2＋m2＋1＝0， 42 15 ∴m－1(－m)＋(m2－3)＋m2＋1＝0， 42 化简整理得 7m2＋4m－11＝0，解得 11 m＝－或m＝1(舍去)． 7 111 ∴直线l的方程为y＝x－. 27 3－y121－x1 3－y221－x2 31 －x1－m221－x1 2＋m31 －x2－m221－x2 (2)∵kPA＋kPB＝＋＝＋ 11 ＋＝1＋(1－＝1＋(1－m)1－x1－x12 m) 2－x1＋x2 1－x1＋x2 －m2－m＋2 ＝1＋(1－m)＝1＋2＝0， ＋x1x21＋m＋m2－3m＋m－2 ∴直线x＝1平分∠APB，即△PAB的内切圆的圆心在定直线x＝1上． 22．解析：(1)将曲线C的参数方程x＝2cos αy＝2sin α(α∈[0,2π)，α为参数)消去参数，得 { x2＋y2＝4，所以曲线C的普通方程为x2＋y2＝4. 曲线C经过伸缩变换得到曲线C1，则曲线C1的参数方程为x′＝4cos αy′＝2sin α，得x′2＋4y′ 2＝16， { 将x′＝ρcos θ，y′＝ρsin θ，代入上式，得曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝16. cos2βsin2β1cos2βsin2β(2)将θ＝β(ρ>0)代入ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝16，得2＝＋，即＝＋， ρ164|OA|2164 1 1 cos2 同理＝ |OB|2 ππ 2β＋sinβ＋ 22sin2βcos2β＋ 4 ＝ 16 ＋ 4 16 15 ，所以＋＝＋＝. |OA|2|OB|216416 111 23．解析：(1)由题意，当a＝1时，f(x)＝－2x＋3，x≤11，1 当x≥2时，f(x)＝2x－3≥3，解得x≥3. ∴f(x)≥3的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)． a2＋1 ＋|x－1|≤4－|x＋1|在[1,2]上恒成(2)关于x的不等式f(x)≤g(x)的解集包含[1,2]⇔x－a 立．∵a>0，∴ ∴不等式a2＋1aa11 ＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时等号成立， aaa2＋1 1 －x＋x－1≤3－x在[1,2]上恒成立，即a＋≤4－x在[1,2]上恒成立， a11 ∴a＋≤2，∴a＋＝2，故a＝1，即a的取值集合是{1}． aa 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容