第6讲 正弦定理和余弦定理
【2013年高考会这样考】
1．考查正、余弦定理的推导过程．
2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 【复习指导】
1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．
2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．
基础梳理
abc
1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
abc
(3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2
以变形为：cos A＝2bc，cos B＝2ac，cos C＝2ab.
111abc1
3．S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B＝4R＝2(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
A为锐角 A为钝角或直角 图形 1
关系 式 解的 个数 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 无解 一解 两解 一解 一解 无解
一条规律
在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 两类问题
在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )． 106
A．52 B．102 C.3 D．56 sin Acos B
2．在△ABC中，若a＝b，则B的值为( )． A．30° B．45° C．60° D．90°
3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75°
1
4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝3，则△ABC的面积为( )． A．33 B．23 C．43 D.3
5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________． °
考向一 利用正弦定理解三角形
2
【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.
π【训练1】 (2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.
考向二 利用余弦定理解三角形
cos Bb【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos C＝－.
2a＋c(1)求角B的大小；
(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．
【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且
3
A
2cos2 2＋cos A＝0.
(1)求角A的值； (2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．
考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状
【例3】►在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，试判断△ABC的形状．
abc
【训练3】 在△ABC中，若cos A＝cos B＝cos C；则△ABC是( )． A．直角三角形 C．钝角三角形
B．等边三角形 D．等腰直角三角形
考向三 正、余弦定理的综合应用
π
【例3】►在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝3. (1)若△ABC的面积等于3，求a，b；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．
4
【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B＝5，
4
b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错
【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,
【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.
【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．
【试一试】 (2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2 A＝2a. b(1)求；
a
(2)若c2＝b2＋3a2，求B.
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