维普资讯 http://www.cqvip.com ２００７年２月 吉林师范大学学报（自然科学版） №．１ 第１期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｌｉｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｆｅｂ．２００７ 一类Ｎｅｕｍａｎｎ边值问题解的存在性 杨 颖 （吉林师范大学数学学院，吉林四平１３６０００） 摘 要：本文主要研究一类带有Ｎｅｕｍａｎｎ边界条件的二阶泛函微分方程解的存在性条件． 关键词：Ｎｅｕｍａｎｎ边值问题；延展定理 中图分类号：Ｏ１７５．８ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００－－１８４０－－（２００７）０１－－００６３－－０３ １ 引言 本文利用Ｇａｉｎｅｓ和Ｍａｗｈｉｎ的延展定理证明了下面的非线性Ｎｅｕｍａｎｎ边值问题解的存在性： Ｙ （￡）－ＦＭｙ（ｔ）＋ （ｒ（￡））－－Ｆ，（￡， （￡））， ∈（ ，口］ （０）一０， （ ）－－０ （１） 而问题（１）的解决为下面的二阶泛函微分方程Ｎｅｕｍａｎｎ边值问题解的存在性证明奠定了理论基础，即 ｊ，．（￡）＝厂０，ｊ，（￡），ｊ，（ｒ（￡））， （￡）），Ｖ ｔＥＪ＝（０，Ｔ３ （２） （０）一０，ｙ （ ）＝０ 其中ｆ（ｔ，Ｕ， ， ）：Ｉ×Ｒ。一Ｒ是一个连续函数，ｒＥＣ（Ｉ，Ｊ）． ２预备知识及有关引理 我们需要以下假设： 假设存在常数Ｍ＞０，Ｎ＞０，Ｋ＞Ｏ，满足下列条件： （ＨＩ）对任何ｆｌ（ｔ）≤ ≤ ｌ≤口（￡），ｌｆ（ｒ（ｔ））≤ ≤ ｌ≤口（ｒ（￡）），Ｖ ｗＥＲ，有 ｆ（ｔ，Ｕｌ， ｌ， ）－ｆ（ｔ，Ｕ２， ２， ）≥一 （ ｌ一 ２）一Ⅳ（ ｌ— ２），Ｖ ｔ∈Ｉ， 其中口， ∈Ｃ（Ｉ，Ｒ），ｆｌ（ｔ）≤口（ｆ），Ｖ ｔ∈Ｉ，是事先给定的． （Ｈ２）对任何ｆｌ（ｔ）≤ ≤口（￡），ｆｌ（ｒ（ｔ））≤ ≤口（ｒ（￡）），Ｖ ｌ， ｚ∈Ｒ，有 Ｉｆ（ｔ， ， ， １）－－ｆ（ｔ， ， ， ２）Ｉ≤ＫＩ ｌ一 ２Ｉ，Ｖ ｔＥＩ． （Ｈ３） ＋ ＋ ≤１． 为了方便起见，我们采用下列符号： 设Ｊ＝［０， ］，ｐＥ Ｅｌ，ｃｏ）．对 ∈￡ （Ｊ），定义 ＝亭ｊ （ｓ）ｄｓ，定义ＩＩ Ｉ，＝（Ｊ Ｉ （ｓ）Ｉ，ｄｓ） １，且对 ∈ Ｃ（Ｊ），定义０ Ｕ ＩＩ ＝ＳｕｐＩＵ（￡）Ｉ． 引理１如果Ｕ∈Ｃ ［口，６］，且使得 （口）＝０或 （６）＝０， 则 Ｉ ｌ≤ Ｉｌ２’ Ｉｌ ≤（６－－ａ）土ｌｌ Ｉｌ２． 引理２如果 ＥＣ・［口，６］，且使得 ＝０，则ＩＩ ＩＩ ≤ Ｉ Ｉ ，ＩＩ Ｉ ≤（６－－ａ）｛ＩＩ Ｉ ． 毯位耋虚回壁ｌ ２解的存在性，其中 收稿Ｅｔ期ｌ２００６－－０６－－０６ 第一作者简介，杨颖（１９８０一），吉林省白城市人，２００５年东北师范大学硬士毕业，现任教于吉林师范大学数学学院． 一６３— 维普资讯 http://www.cqvip.com Ｆ （ｆ，硼）：＝厂（ｆ，ｒ／（ｔ）， （ｒＯ）），硼）＋Ｍｙ（ｔ）＋Ⅳ （ｒ（ｆ））． 为了证明（１）解的存在性，我们给出一些概念． 设Ｘ，Ｚ是赋范线性空间，Ｌ：ＬｏｍＬＣＸ－－￣Ｚ是一个线性映射，Ⅳ：Ｘ—ｚ是一个连续映射，如果 ｄｉｍＫｅｒＬ＝ｃｏｄｉｍ ＩｍＬ￣ｏｏ，则称映射 是零指标的Ｆｒｅｄｈｏｌｍ映射，且ＩｍＬ在ｚ中是闭的． 如果Ｌ是零指标的Ｆｒｅｄｈｏｌｍ映射，则存在连续投影算子Ｐ：Ｘ—ｚ和Ｑ：ｚ—ｚ满足ＩｍＰ＝ＫｅｒＬ，ＫｅｒＱ ＝ＩｍＬ＝Ｉｍ（ 一Ｑ）．易知ＬＩ ＤｏｍＬＮＫｅｒＰ：（ 一Ｐ）Ｘ—ＩｍＬ是可逆的．用Ｋｐ表示 的逆映射． 如果ＤＣｘ是一个有界开集且ＱＮ（Ｄ）具有界的 （ 一Ｑ）人ｒ： ＋ 是紧的，则称人ｒ在力上是 一紧的． 由于ＩｍＱ与ＫｅｒＬ是同构的，所以存在同构映射Ｊ：ＩｍＱ—ＫｅｒＬ 引理３ （延展定理）［。 设 是零指标的Ｆｒｅｄｈｏｌｍ映射，且Ⅳ在ｎ上是Ｌ一紧的．假定 （口）对每一个 ∈（Ｏ，１）方程 ＝ 的每个解 告ａ０； （６）对每一个ｚ∈扣ＮＫｅｒＬ，ＱＮｘ≠０且ｄｅｇ（ＱＮ，ｎＮＫｅｒＬ，０）≠０， 则方程Ｌｘ＝Ｎｘ在ＤｏｍＬｎｎ中至少存在一个解． ３ 主要结果 定理假定（Ｈ２）和（Ｈ３）成立，则问题（１）至少存在一个解． 证明：为了利用引理３来证明问题（１）存在解，我们取Ｘ＝Ｃ （ ，Ｒ），Ｚ＝Ｃ（Ｉ，Ｒ）， 设Ｌ：ＤｏｍＬＣＸ－－＊Ｚ， ＝ ，Ｎ：Ｘ—ｚ，（ ）（￡）＝一 （￡）一 （ｒ（￡））＋ （￡，Ｙ （￡）） （ ）（￡）＝亍１ Ｊ （ ）（￡）＝ １ Ｊ ） ｙＥＸ， Ｅｚ， 其中ＤｏｍＬ＝｛ｙＥＸ，Ｙ ∈Ｃ（Ｉ，Ｒ），Ｙ （０）＝ （ ）＝０），则ＫｅｒＬ＝Ｒ，ＩｍＬ＝｛ Ｉ ∈ｚ，Ｊ ｚ（ｓ）ｄｓ＝０） 现在ＩｍＬ在Ｚ中是闭的，且ｄｉｍ ＫｅｒＬ＝ｃｏｄｉｍ ＩｍＬ＝１＜＋Ｄ。，由定义知 是零指标的线性Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 算子．易证Ｐ，Ｑ是连续投影算子，且满足Ｉｍｐ￣－ＫｅｒＬ，ＫｅｒＱ＝ＩｍＬ进一步，设Ｌ，－－ＬＩＤｏｍＬｎＫｅｒＬ以及Ｌ 的广义逆Ｋｐ＝Ｌ ：ＩｍＬ－－＊ＤｏｍＬ，由下式给出 Ｋ，（ｚ）一一 １ ＪＴ。 Ｊ：（￡一ｓ） （ｓ）ｄｓｄ￡＋Ｊｔ。（￡一ｓ） （ｓ）ｄｓＥＤ。ｍＬ ＱＮ和 （ 一Ｑ）人ｒ显然是连续的．由Ａｌｚｅｌａ－－Ａｓｃｏｌｉ定理，不难证明 对任何开集ｆ２ＣＸ是 紧的，而且ＱⅣ（ ）是有界的．由定义知Ⅳ在 上是Ｌ一紧的． 由（Ｈ２）可知 ＪＦ （ ， ）Ｊ≤ＪＦ Ｏ， ）一 （ ，Ｏ）Ｊ＋ＪＦ （ ，Ｏ）Ｊ＝厂（ｆ， （￡），７（ｚ．（￡））， ）－－ｆ（ｔ，Ｔｌ（ｔ），７（ｚ．（￡）），Ｏ）Ｊ ＋Ｉ Ｆ （￡，０）Ｉ≤Ｋ Ｉ∞Ｉ＋Ｃ 其中Ｃ是常数．对（１）式在［０，丁］上积分，可得 １ ｆ ． （Ｍ－－ＦＮ）￣一手Ｊ。 （￡，Ｙ （￡））ｄ￡ 考虑算子方程Ｌｘ＝２Ｎｘ，ｙＥＤｏｍＬ， ∈（０，１）即－－ｙ （￡）一 坳（￡）＋ （ｒ（￡））一 （￡），Ｙ’（￡））． 设ｕ＝ｙ－－＇￣，则Ｕ∈Ｘ，一Ｕ＝０，Ｕ ：＝＝ 因此有 １ ，叮’ 一 （￡）＝￣／Ｉｕ（ｔ）＋２Ｎ （ｒ（￡）一 （￡， （￡））＋ ， ●ｎｌ‘Ｆ （ ￡， （￡））ｄ￡ （３） 由引理２，知ｌ ｌｌｌ：≤ ＩＩ ｌｌ２，Ｉ ＩＩＩ ≤ ＩＩ ’ＩＩ：，用“（￡）乘（３）式两边，并在［０， ］上积分，得 Ｔ ｌｕ＇（￡）Ｉ ｚｄ￡≤Ｍ』。ＴＵ２（￡）ｄ￡＋Ⅳ Ｔ ｌｕ（ｒ（￡））Ｉ ｌｕ（￡）ｌｄ￡＋Ｋ』 ｌｕ＇（￡）Ｉ ｌｕ（￡）ｌｄ￡＋ｃ』：’ｌｕ（￡）ｄ￡ ，一１ ＼２ 个 个≤Ｍ《 Ｊ ｌ ’ｌｌ￣－ｋ－Ｎ ｌ ＩＩ ｌ ｌｌｌ。＋Ｋ ＩＩ Ｉ；＋ ｌ ｌｌ一 ≤（ ＋ ＋ ２Ｔｍ３ ．１ｌ： 由于（ 一 一 一 Ｉ 一２ ３ Ｉ ：，和 ＋ ＋ ＜ ＋ ＋ ≤ ， 故存在一个常数Ｍ ＞０，不依赖于 ，满足ｌ ｌＵ ｌｌ：≤ ，因此有ｌｌ Ｕ ＩＩ ≤ Ｍ１：一Ｍ２，又因为 维普资讯 http://www.cqvip.com 南 ≤ 。ｄｔ 南≤ ＋南， 我们有ｌｌ ｊ， ≤ ｆ≤ ＋ ＋南一 又由于 （ｏ）一ｏ，所以有 （ｔ）一 （ｏ）＋Ｊ： ’（ｓ） 一Ｊ： （ ） ，ｔｅ［ｏ， ］，即可得到 ＩＩ Ｙ ＩＩ ≤Ｊ：ｌｙ’（ｔ）Ｉｄｔ ≤ Ｊ Ｉ （ｔ）Ｉｄｔ＋ⅣＪ ｌｙ（ｒ（ｆ））Ｉｄｔ＋Ｊ Ｉ （ｔ， （ｔ））Ｉｄｔ ≤（ ＋Ⅳ） ＋ 了Ｍ ＋Ｃ丁：一Ｍ４ 取 一｛ （ｔ）∈Ｃ （ ，Ｒ）…Ｙ ＩＩ １＝ｍａｘ｛Ｉ ｌＹ ＩＩ ，ｌｌ Ｙ ＩＩ ）￣ｍａｘ｛Ｍ３，Ｍ４）＋１），则 是有界开集，且Ｌｙ≠ ，Ｖ ｙＥ ， ∈（Ｏ，１），令ｙＥＫｅｒＬＮＣ （ ，Ｒ），则 一常数∈Ｒ，因此 （Ｑ ）（ｔ）一 １ Ｊ ［一（ ＋Ⅳ） ＋ （ｔ，ｏ）］ｄｔ—ｏ，当且仅当 三 Ｊ （ｔ，ｏ）］ｄｔ和Ｉ Ｉ≤ （ ＋Ｎ）’ ， ，１ 、 取ｎ。一｛ｙｅＫｅｒＬｎｃ （ ，Ｒ）ｌ ＩＩ Ｙ Ｉ一＜ ＋ ｝，设ｎ二＝）ｎ ｕ 。，且 是有界开集・显然 （ＱⅣ）（ ）≠０，Ｖ Ｙ∈ＫｅｒＬｎ ，且ｄｅｇ（ＱＮ，ｎｎＫｅｒＬ，Ｏ）≠０． 由引理３，算子方程Ｌｙ＝Ｎｙ在ＤｏｔａＬｎ 中至少存在一个解，即（１）至少存在一个解． 这样，问题（１）的存在性得证．利用反极大值比较原理可以证明问题（１）解的唯一性，进而可以利用单 调迭代法证明问题（２）解的存在性，这部分工作将在今后完成． 参 考 文 献 ［１］Ｃａｂａｄａ Ａ ａｎｄ Ｌｏｉｓ Ｓ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｍ ｓｅｐａｒａｔｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａ１．３５（１９９９），４４９～ ４５６． ［２］Ｍｉｔｒｉｎｏｖｉｃ Ｄ Ｓ，Ｐｅｃａｒｉｃ Ｊ Ｅ ａｎｄ Ｆｉｎｋ Ａ Ｍ．Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ Ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｔｈｅｉｒ Ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ａｎｄ Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ［Ｍ］．Ｋｌｕｗｅｒ Ａｃａｄｅｍｉｃ， Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ，１９９１，１２１． ’ ［３］Ｇａｉｎｅｓ Ｒ Ｅ，Ｍａｗｈｉｎ Ｊ Ｌ．Ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｃｅ Ｄｅｇｒｅｅ ａｎｄ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－－Ｖｅｒｌａｇ，Ｂｅｒｌｉｎ，１９７７，２４５． Ｔｈｅ Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ Ｋｉｎｄ ｏｆ Ｎｅｕｍａｎｎ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ Ｙａｎｇ Ｙｉｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉｌｉｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｉｐｉｎｇ １３６０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｍａｉｎｌｙ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｅｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｓｅｅｏｒｄ－－ｏｒｄｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｎｅｕｍａｎｎ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｎｅｕｍａｎｎ；ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ 一６５—
