四川省大数据精准教学联盟2024届高三下学期第一次统一监测试题 数学(理)含答案

理科数学（答案在最后）

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名､班级､考场/座位号用05毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码贴码区”.

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用05毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效：在草稿纸上､试卷上答题无效，3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

∣xx0,Bx1.已知集合Ax





12

1

,02



121

x21

，则AB（2

2



）A.1,

B.

C.0,

D.

1

,12

2.一次课外活动中，甲､乙､丙､丁､戊五名同学准备从羽毛球和兵乓球活动中随机选择一项参加，每个人的选择相互独立，则甲､乙两名同学参加同一项活动的概率为（A.）23a2ba03.已知平面向量a,b满足|a||b|2，若，则向量a,b夹角为（B.C.D.141312）A.30B.456

C.135D.150）24.x2展开式的常数项是（x

A.120B.60C.-60D.-1205.执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A.9B.99C.100D.999n1

6.已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2



1

，则数列an的通项公式为（2）1

,n1,A.an2n2,n󰆆2

C.an(2)

n2

B.an2n1D.an2

n2

7.函数fx

131

xx3x的图象大致是（221

）A.B.C.D.8.已知3π,43,A.abcC.cba

ab1clog2e3，则a,b,c的大小关系为（2B.acb

）D.bca

9.已知函数fxA.

3sinxcosx(0)在区间0,1上恰好有两个最值，则的取值范围为（2π5π

,33

C.

）7π13π

,66

B.

4π7π

,33

D.

5π11π

,66

截该正方体所得的截面多边形为M，10.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，与直线AC1垂直的平面则M的面积的最大值为（A.）338B.334C.32

D.3x2

11.已知双曲线C:y21的左､右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.3

若OAB为直角三角形，则SOAB（）A.3B.334

C.332

x

D.32

12.已知函数fxx1e和gxxlnxa有相同的最小值.若fx1gx2t(t0)，则1lnt

x11x22

eA.22的最大值为（）B.e

e2C.2D.2e

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

213.已知i为虚数单位，复数z13i，计算__________.z14.已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，且a4a7a63，则S9__________.15.如图，在矩形ABCD中，AB4,AD2，点E为线段CD的中点.沿直线AE将ADE翻折，点D运动到点P的位置.当平面PAE与平面ABCE所成角为60时，三棱锥PABC的体积为__________.16.已知点M在抛物线Γ:x24y上运动，过点M的两直线l1,l2与圆C:x2(y3)24相切，切点分别为A,B，当ABMC取最小值时，直线AB的方程为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

17.（12分）在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度h（单位：cm)，得到如下的样本数据的频率分布直方图.（1）估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间30,45的概率；（3）已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为3%，果苗高度位于区间40,50的棵数占该果苗总棵数的20%.从该苗圃中任选一棵高度位于区间40,50的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率（以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率）.18.（12分）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知（1）求角A；（2）若b3,c5,BAC的角平分线交BC于D，求AD的长.19.（12分）如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC,ADPD，平面PAD平面PCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l.1cbacosC.2（1）证明：平面PBC平面PCD；（2）已知ADPDDC2,PC23.若直线l与直线AB所成的角为正弦值.20.（12分）已知定点F

π，求直线l与平面PAB所成角的4x2433,0，定直线l:x，动点Mx0,y0在曲线C:y21上.43（1）设曲线C的离心率为e，点M到直线l的距离为d，求证：MFde；（2）设过定点F的动直线与曲线C相交于P,Q两点，过点P与直线l垂直的直线与l相交于点R，直线QR是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数fxaxxlnxa.2

（1）若fx󰆆1，求a的值；（2）若fx有2个零点x1,x2，证明：fx1x2lnx1x22a.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，过点P2,4且倾斜角为45的直线l与x轴相交于点Q，以点Q为圆心的圆半径为2.以点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l的一个参数方程和圆Q的极坐标方程；（2）设直线l与圆Q相交于点M,N，求MON的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知fxx12x2.（1）求不等式fx󰆅5x的解集；b2a2（2）令fx的最小值为M，若正数a,b满足ab2，证明：󰆆M.ab四川省大数据精准教学联盟2021级高三第一次统一监测

理科数学答案解析与评分标准

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】A【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查一元二次不等式解法，集合的并集运算等基础知识；考查数学抽象､数学运算等数学核心素养.∣1x0},Bx【解析】集合A{x



2.【答案】C

11

x，则ABx1x221

.2

【考查意图】本小题设置体育段炼相关的数学应用情境，主要考查概率等基础知识，考查运算求解､推理论证等能力；考查概率统计等思想方法；考查数学抽象､数学建模等数学核心素养.【解析】基本事件的总数为25，甲､乙参加同一项活动包含的基本事件有22324，所以甲､乙参加同一项241

活动的概率为5.22

3.【答案】C【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查平面向量的数量积运算，两个向量的夹角公式等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.2【解析】由a2ba0得|a|2ab0，又ab2，所以ab222ab22,cosa,b，故向量a,b的夹角为135.222ab

4.【答案】B【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查二项式定理，展开式系数与常数项的求法等基础知识；考查数学运算等数学核心素养.22r6rr63r【解析】x2展开式的通项公式为Tr1C6x2(2)rC6x，令63r0，得r2，所xx以该展开式的常数项为(2)C660.5.【答案】B【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查循环结构的程序框图及对数运算等基础知识；考查数学运算､数学抽象等数学核心素养.【解析】易知程序框图的功能是求Slg2lg2

2

6rn󰆆99，所以输出n99.34n1lglglgn1，由Slgn1󰆆2得23n6.【答案】D【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查数列前n项和与通项公式等基础知识；考查数学运算､逻辑推理等数学核心素养.【解析】由Sn2

n1



1111n1n2a1S120，2n2,a1，当n1时，当n󰆆2,anSnSn1222222n2

也满足，所以数列an的通项公式为an27.【答案】A.【考查意图】本小题设置数学学习情境，以指数函数､幂函数构成的复合型函数为载体，主要考查函数图象和性质等基础知识；考查数形结合思想､化归与转化等数学思想，考查直观想象､逻辑推理等数学核心素养.【解析】112x1112x1333fxxx3xxx3xxx3x

21221221211113

xx3xfxfxC,D0，若，可知为偶函数，排除；当时，x0x221221

0x3时，x33x0，则fx0,x8.【答案】A【考查意图】本小题设置数学学习情境，考查指数式与对数式的互化､指数函数与对数函数的图象和性质等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学运算､逻辑推理等数学核心素养.【解析】依题意，alog3π1;blog43，且0b1;clog2e3，且0c1.由于log43log2e3，所以3时，x33x0，则fx0，B不符题意，故选A.bc，故abc.9.【答案】C【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查两角和的正弦公式，正弦型函数图象与性质等基础知识；考查数形结合思想，应用意识；考查数学运算､逻辑推理等数学核心素养.【解析】由fx

ππππ

3sinxcosx2sinx，当0󰆅x󰆅1,󰆅x󰆅，函数fx在区间6666

2

6

2

3

3

0,1上恰好有两个最值，由正弦函数的图象知3π󰆅π5π，得4π󰆅7π.10.【答案】B【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，以正方体为载体，主要考查空间点､线､面位置关系､直线与平面所成的角等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法，考查直观想象､数学运算､逻辑推理等核心素养.【解析】易知平面为平面AB1D1或与其平行的平面，M只能为三角形或六边形.当M为三角形时，其面积的最大值为33；当M为六边形时，此时的情况如图所示，设KDx，则(2)2

42

AK1x,KL21x,KM2x，依次可以表示出六边形的边长，如图所示：六边形可由两个等腰梯形构成，其中LP∥KO∥MN,KO

2，两个等腰梯形的高分别为66，1xx，则22

2S四边形LKOP12612x21x226313321x2x2x22x1)3x2224，当且仅当x133.时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积最大，最大值为2411.【答案】C【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，主要考查双曲线的标准方程､双曲线的简单几何性质等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法，考查数学运算､逻辑推理及直观想象等数学核心素养.【解析】该双曲线的渐近线方程为y

3x，则AOB60，若OAB为直角三角形，则只可能OAB90或3

者OBA90，这两种情况对称，面积相同，只研究一种情况即可.如图所示，在RtOAF1中，有33AF1b1,OF1c2,AOa3.又AOB60,OB23，AB3，所以SOAB.2

12.【答案】A【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，设计函数与方程､导数综合应用问题，主要考查利用导数研究函数性质等基础知识；考查函数与方程､数形结合､分类与整合､化归与转化等思想方法，考查数学抽象､逻辑推理等数学核心素养.【解析】依题意，fxx2e，可知x2时，fx0,x2时，fx0，则x-2时，fxx

取得极小值f2

1a1a1

gxlnxa1,0xegx0,xe，也即为最小值；又时，时，2e1a1

e，解2e

1x

得a1.因为fx1gx2t(t0)，所以x11e1x2lnx21t(t0)，可知x11,x2，且egx0，则xea1时，gx取得极小值gea1ea1，也即为gx最小值.由

x1lnx2，所以121lnt

x1122x2



1lnt

lnx211222x2



1lnt1lnt12lnt

(t0)ht，令ht，则，当2tt2t31

21e2hthe，当，故时，取极大值，也即为最大值.0te,ht0te,ht0te

2二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】13i22

【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查复数的概念及除法运算等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查数学运算等数学核心素养.【解析】2213i.z13i22

14.【答案】27【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查等差数列的性质､前n项和等基础知识；考查数学运算等数学核心素养.【解析】an为等差数列，a4a7a63得a5a6a63，所以a53，则S9

9a1a929a527.15.【答案】263

【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，考查空间点､线､面位置关系､直线与平面所成的角､三棱锥的体积公式等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法，考查直观想象､数学运算､逻辑推理等数学核心素养.【解析】如图，取AB的中点F，连接DF，与AE交于点H.由翻折前后的不变性可知，PHAE.由已知，四边形则DFAE,AE平面PDF，所以PHF为平面PAE与平面ABCE所成角的平面角；DEFA为正方形，且平面ABCE平面PDF，即P在平面ABCE上的射影O在直线DF上（点O在线段DH或HF上均可）.由题意可知，在RtPHO中，PHO60,PH

2，则PO

61626，又SABC4，则VPABC.42323

16.【答案】yx1

【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与抛物线的位置关系载体，考查抛物线的定义､标准方程和几何性质､圆的方程､直线与圆的位置关系等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法，考查直观想象､数学运算､逻辑推理等数学核心素养.【解析】2x0

如图，设Mx0,，设AB与MC交于H.ABMC，RtACM中，4

AHMCACMA2MA2CM24，而AB2AH，则ABMC2AHMC4CM24，当CM最小时，ABMC取最小值.而2422x0x0x0122

CMx0039x048，当且仅当x04时，取得最小值，此时16216422M2,1.此时，AB的直线方程为yx1.亦可构造一个以M为圆心，MA为半径的圆：(x2)2(y1)24，与圆C:x2(y3)24的方程相减，可得AB的直线方程：yx1.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

17.（12分）【考查意图】本小题设置生活实践情境，设计果苗病虫害调查相关的概率与统计问题，主要考查离直方图识别､统计量计算和概率等基础知识；考查数据分析､数学建模及数学运算等数学核心素养.【解析】（1）由频率分布直方图得该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为：h0.02522.50.05527.50.06532.50.04537.50.02542.50.01547.533cm.（2）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间30,45的频率为：0.060.040.0250.6.所以，估计该苗圃一颗受到这种病虫害的果苗高度位于区间30,45的概率为0.6.（3）设从苗圃中任选一棵高度位于区间40,50的果苗为事件A，该棵果苗受到这种病虫∣A害为事件B，则PB18.（12分）PABPA3%0.020.01520%0.0225.【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查正弦定理､余弦定理，三角形面积公式，角平分线定义及性质等基础知识；考查化归与转化思想，考查数学运算､逻辑推理等数学核心素养.【解析】（1）解法一：1cbacosC及正弦定理，21

可得sinCsinBsinAcosC.2

由又sinBsinACsinAcosCcosAsinC，所以1

sinCcosAsinC0.2又在ABC中，sinC0，故cosA所以A2π.31解法二：由cbacosC及余弦定理，21a2b2c2

可得cba.22ab即b2c2a2bc，1

，2

b2c2a21

所以cosA.2bc2

故A2π.3（2）由（1）知BAC2ππ,BADDAC.33又b3,c5,SABCSABDSACD，12π1π1πbcsincADsinbADsin.23232315所以AD.8说明：本小题可用平面几何的方法解答：过点D作AC的平行线交AB于点E，则ADE为等边三角形（边x5x15长为x），于是，解得x.358所以19.（12分）【考查意图】本小题设置数学学习､探索创新情境，以四棱锥中的线面关系为载体，主要考查多面体的结构特征､平面与平面垂直的性质定理等基础知识；考查化归与转化､数形结合等思想方法，考直观想象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.【解析】（1）因为平面PAD平面PCD,ADPD，所以，AD平面PCD.又AD∥BC，所以，BC平面PCD,BC平面PBC.所以，平面PBC平面PCD.（2）AD∥BC,BC平面PBC,AD平面PBC，所以AD∥平面PBC.又平面PAD平面PBC的交线l,AD平面PAD，所以l∥AD（可知直线l与平面PAB所成角等于直线AD与平面PAB所成角）.由直线l与直线AB所成的角为可推出BC4,AB22.由（1）可知，AD平面PCD，即平面ABCD平面PCD.过P作直线CD的垂线，垂足为H，则PH平面ABCD.方法1：π3π

，知DAB.44

PC23，则CPDDCP30，则PDC120,PD2,PH3.PA22,AB22,PBC是一个直角三角形，PB2BC2PC2,PB27，1SDAB222sin1352,SPAB7.2设点D到平面PAB的距离为h，11由VDPABVPABD，得SPABhSDABPH，33解得h

221.7221直线l与平面PAB所成角的正弦值为h21.7

AD27

方法2：

以H为坐标原点，分别以向量DA,HD,HP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系.则A2,1,0,B4,3,0,D0,1,0,P0,0,3，

DA2,0,0,AB2,2,0,AP2,1,3，

设平面PAB的法向量为nx,y,z，nAB0,2x2y0,由得2xy3z0.nAP0,

取x3，得y3,z1，则平面PAB的一个法向量为n



3,3,1.

又AD2,0,0，令直线AD与平面PAB所成角为，ADn2321则sin.727ADn

21.7所以，直线l与平面PAB所成角的正弦值为20.（12分）【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与椭圆的位置关系为载体，主要考查椭圆的方程､椭圆的简单几何性质､直线与椭圆的位置关系；考查数形结合､函数与方程､化归与转化､分类与整合等思想方法，考查数学运算､逻辑推理等数学核心素养.【解析】（1）由题意，曲线C的离心率e

343,dx0.2322

x04x022

显然，.又因为MFy01，即y0

44

x03y02，22

4x02x03x03y02MF4322所以d4，4343x0x033

2

2

故MFMF3，即e.

dd2（2）设点P,Q的坐标分别为x1,y1,x2,y2.由题意，当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为xty3.xty3,22联立方程组x2消去x并整理得，t4y23ty10.2

y1,4

此方程有两个不等实根，分别为y1,y2，且满足y1y2

23t1

.,yy12

t24t2443

由已知，点R的坐标为3,y1，

y1y243yxy1则直线QR的方程为.343x23根据椭圆的对称性可知，如果直线QR过定点，则此定点一定在x轴上.令y0，可得x

433

x2y1

43y1

.3y1y2

而x2ty23,y1y2

23t，所以2t4x

433

x2y1

433y1ty1y2y133y1y2y1y2



t3y1

13t243.623t232y12t473为定值.6此时，x

73

当直线PQ的斜率为0时，直线QR与直线PQ重合，必然过点6,0.73

QR综上，直线过定点，定点的坐标为6,0.

21.（12分）【考查意图】本小题设置探索创新情境，以函数与不等式为载体，设计不等式､函数零点问题，主要考查函数性质､导数应用等基础知识；考查化归与转化､函数与方程等数学思想，考查数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.【解析】（1）令gxfx1axxlnxa1(x0)，2

则gx2ax11,g10.x①当a0时，知gx在0,上单调递增.又g12a0,g

2a51214a󰆅a20，2224a4a则x0

1

,1,gx00.24a

当xx0时，由于gx单调递增，则gx0，所以gx在x0,上单调递增.又g10，所以当x0x1时，gx0，即fx1，不符题意.②当a0时，gxfx1xlnx1(x0),gx1可知当0x1时，gx0；当x1时，gx0.所以当x1时，gx取得极小值，也即为最小值，该最小值为g10.所以gxfx1󰆆0，即fx󰆆1，不等式成立.③当a0时，可x时，gx，故fx󰆆1不恒成立，不符题意.综上所述，a的值为0.（2）欲证fx1x2lnx1x22a，只需证ax1x2x1x2lnx1x2alnx1x22a，即证明ax1x2x1x22，因为ax1x1lnx1a0,ax2x2lnx2a0，两式相减，得ax1x2x1x2x1x2lnx1lnx20，整理得ax1x2

2

2

1x1.xx22lnx1lnx21，x1x2

所以，只需证明不等式

lnx1lnx2

1x1x2x1x22，x1x2

ln

x1lnx1lnx2x2x1xx2即证明，即证明1212，x1x1x2

1x2x2

不妨设0x1x2，令t只需证明x1，则0t1，x2

lnt

t12，即证明t1lnt2t10(0t1)即可，t1

1

令htt1lnt2t1(0t1)，则htlnt1，t111t1

又令uthtlnt1(0t1)，则ut220，tttt所以，当0t1时，ux，即ht单调递减，则hth10，则0t1时，ht单调递增，则hth10，所以，原不等式成立，故不等式fx1x2lnx1x22a得证.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查直线的参数方程､圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系等基础知识；考查化归与转化､数形结合等思想方法；考查数学运算､推理论证､直观想象等数学核心素养.

x2

【解析】（1）直线l的一个参数方程为

y4

由上，直线l与x轴的交点坐标Q2,0.所以，圆Q的极坐标方程为4cos.（2）2t,2（t为参数）.2t2由（1）可知，直线l的倾斜角为45，圆Q的圆心为Q2,0，半径为2.如图，易知yM2,yN所以MON的面积S

2,OQ2，11

OQyMyN22222.22

1说明：本小题亦可用几何关系求出点O到直线l的距离d，用dMN求出面积；还可在直角坐标系内用普2通方程､在极坐标系内求出点M,N的坐标求解.23.[选修45：不等式选讲]（10分）【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，主要考查均值不等式､不等式证明方法等基础知识；考查化归与转化等思想方法，考查逻辑推理､数学运算等数学核心素养.【解析】（1）当x1时，fx3x1󰆅5x，解得2󰆅x1；当1󰆅x󰆅1,fxx3󰆅5x，得1󰆅x󰆅1；当x1时，fx3x1󰆅5x，可得1󰆅x󰆅综上所述，fx󰆅5x的解集为x2󰆅x󰆅

3.2



3.2

（2）由（1）知，当x1时，fx3x14；当1󰆅x󰆅1时，fxx3󰆆2;x1时，fx3x12，则fx的最小值为2，即M2.故ab2,0a2,0b2，b2a2(2a)2(2b)244aa244bb244ab8abababab

4411

62ab6abab

baba226󰆆22262，abab当且仅当ab1取“=”.b2a2所以󰆆2.ab