培优专题4 用十字相乘法把二次三项式分解因式(含答案)

5、用十字相乘法把二次三项式分解因式

【知识精读】

对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

掌握这种方法的关键是确定适合条件的x2(ab)xabxaxb进行因式分解。

两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

2 对于二次三项axbxc（a、b、c都是整数，且a0）来说，如果存在四个整数

a1，c1，a2，c2满足a1a2a，c1c2c，并且a1c2a2c1b，那么二次三项式

ax2bxc即a1a2x2a1c2a2c1xc1c2可以分解为a1xc1a2xc2。这里要确

定四个常数a1，c1，a2，c2，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】

1. 在方程、不等式中的应用

例1. 已知：x11x240，求x的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。 解：x11x240

22x3x80 x30 x80x8或x3x30或x80

例2. 如果xxmx2mx2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。

分析：应当把x分成xx，而对于常数项-2，可能分解成12，或者分解成

4

2243221，由此分为两种情况进行讨论。

解：（1）设原式分解为x2ax1x2bx2，其中a、b为整数，去括号，得： xabxx2abx2

432- 1 -

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将它与原式的各项系数进行对比，得： ab1，m1，2ab2m 解得：a1，b0，m1 此时，原式x22x2x1

（2）设原式分解为x2cx2x2dx1，其中c、d为整数，去括号，得： x4cdx3x2c2dx2 将它与原式的各项系数进行对比，得： cd1，m1，c2d2m 解得：c0，d1，m1 此时，原式x22x2x1

2. 在几何学中的应用

例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足

xyx22xyy220，求长方形的面积。

分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。 解：xyx2xyy20

22x22xyy2xy20 (xy)xy202

xy2xy10 xy20或xy10 又xy8

xy20xy10  或xy8xy8 解得：.x5x35或

y3y4.5632cm 4 ∴长方形的面积为15cm2或 3、在代数证明题中的应用

22 例. 证明：若4xy是7的倍数，其中x，y都是整数，则8x10xy3y是49的倍

数。

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分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。 证明一：8x210xy3y22x3y4xy 22x3y4x6y4xy7y

∵4xy是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数） ∴22x3y是7的倍数

而2与7互质，因此，2x3y是7的倍数，所以8x210xy3y2是49的倍数。 证明二：∵4xy是7的倍数，设4xy7m（m是整数） 则y4x7m

又∵8x210xy3y22x3y4xy

2x12x21m4x4x7m7m14x21m49m2x3m ∵x，m是整数，∴m2x3m也是整数 所以，8x210xy3y2是49的倍数。

4、中考点拨

例1.把4x4y25x2y29y2分解因式的结果是________________。 解：4xy5xy9y

42222y24x45x29 y4x9x12y2x22

212x32x3 说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。

例2.

因式分解：6x7x5_______________ 解：6x7x52x13x5

22 说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。

5、题型展示

例1. 若xymx5y6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ） A. 1

B. -1

C. 1

D. 2

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解：x2y2mx5y6xyxymx5y6 -6可分解成23或32，因此，存在两种情况：

（1）x+y -2 （ 2 ）x+y -3 x-y 3 x-y 2

由（1）可得：m1，由（1）可得：m1 故选择C。

说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。

例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足ac4bacb。 求证：abbc

证明：ac4bacb

22ac4bacb0a22acc24bc4ac4ab4b202ac4bac4b0

22

ac2b0ac2b0abbc 说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。

例3. 若x5x7xa有一因式x1。求a，并将原式因式分解。 解：x5x7xa有一因式x1

∴当x10，即x1时，x5x7xa0 a3

3232232x35x27x3x3x24x24x3x3

x2x14xx13x1x1x24x3x1x1x3x1x32

说明：由条件知，x1时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是

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x1，分解时尽量出现x1，从而分解彻底。

【实战模拟】 1. 分解因式：

（1）ab16ab39 （2）15x2n7xnyn14y2n2

22（3）x3x22x3x72

222

2. 在多项式x1，x2，x3，x22x3，x22x1，x22x3，哪些是多项式x2x

3. 已知多项式2xx13xk有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。

4. 分解因式：3x5xy2yx9y4

22322410x22x9的因式？

2.，x3y12.，求3x12xy9y的值。 5. 已知：xy05

22- 5 -

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【试题答案】

1.

（1）解：原式ab16ab39ab3ab13 （2）解：原式3xnyn15xn4yn1

（3）解：原式x23x4x23x18x4x1x6x3 2.

解：x2x22410x22x9

2x22x9x22x12222 x22x3x22x3x22x1x22x1

2x2x3x3x1x1x2x12 ∴其中x1，x3，x22x3，x22x1是多项式

x22x10x22x9的因式。

4 说明：先正确分解，再判断。 3.

解：设2x3x213xk2x1x2axb 则2x3x213xk2x32a1x2a2bxb

2a11 a2b13

bka1 解得：b6

k6 k6且2x3x213x62x1x2x62x1x3x2 说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。 4.

解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。 设3x5xy2yx9y4

223xymx2yn3x5xy2ym3nx2mnymn22

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m3n1 比较同类项系数，得：2mn9

mn4m4 解得：

n1 3x25xy2y2x9y43xy4x2y1 5.

解：3x212xy9y2

3x24xy3y23xyx3y

xy05.，x3y12.原式305.12.18.

说明：用因式分解可简化计算。

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