高考专题仿真模拟1(江西理)

仿真模拟(一)

【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 (选择题 共50分)

题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

2i2

1．复数(其中i是虚数单位)的虚部等于( )

1－i

A．－i C．1

B．－1 D．0

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

2．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则如图阴影部分表示的集合为( )

A．{0,2} C．{1,3,4}

B．{0,1,3} D．{2,3,4}

3．某几何体的三视图(图中单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )

A．36cm C．60cm

33

B．48cm D．72cm

3

3

4．设x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是( )

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

A．S＝2，这5个数据的方差 C．S＝10，这5个数据的方差

2

2

B．S＝2，这5个数据的平均数 D．S＝10，这5个数据的平均数

5．若点P(1,1)是圆x＋(y－3)＝9的弦AB的中点，则直线AB的方程为( ) A．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－3＝0

B．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0

6．某农场给某种农作物施肥量x(单位：吨)与其产量y(单位：吨)的统计数据如下表：

施肥量x 产量y ∧2 26 ∧3 39 4 49 5 54 根据上表，得到回归直线方程y＝9.4x＋a，当施肥量x＝6时，该农作物的预报产量是( )

A．72.0 C．65.5

B．67.7 D．63.6

7．现有1位教师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同排法的种数是( )

A．12 C．36

B．24 D．72

8．已知球的半径为5，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为23，若其中一个圆的半径为4，则另一个圆的半径为( )

A．3B.10C.11

D．23

1|x－1|＋2cosπx(－2≤x≤4)的所有零点之和为( ) 9．函数f(x)＝2

A．2

B．4

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

C．6 D．8

x2y2

10．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点O为双曲线的中

ab心，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线

PQ的垂线，垂足为B，则下列结论成立的是( )

A．|OA|＞|OB| C．|OA|＝|OB|

B．|OA|＜|OB|

D．|OA|与|OB|大小关系不确定

第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)

题号 得分 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷 二 三 16 17 18 19 20 21 总分 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11．已知(1＋mx)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a6x，若a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m＝________.

12．抛物线y＝x上的点到直线x＋y＋1＝0的最短距离为________．

26

2

6

3x4x3x4x13．“求方程＋＝1的解”有如下解题思路：设f(x)＝＋，则f(x)在R

5555

上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.类比上述解题思路，不等式x－(x＋2)＞(x＋2)－x的解集是________．

1

14．向量a，b，c，d满足：|a|＝1，|b|＝2，b在a方向上的投影为，(a－c)·(b2－c)＝0，|d－c|＝1，则|d|的最大值是________．

三、选做题(考生只能从中选做一题，两题都做的，只记前一题的分．本小题5分) 15．(1)(坐标系与参数方程)

x＝t＋3，

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

y＝3－tx＝2cos θ，

数方程为

y＝2sin θ＋2

3

2

6

(参数t∈R)，圆C的参

(参数θ∈R)，则圆C的圆心到直线l的距离为________．

(2)(不等式选讲)

|a＋1|－|2a－1|设f(x)＝|2x－1|，若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立，则x|a|的取值集合是________．

四、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

π16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝tan3x＋. 4

π(1)求f的值；

9

3ππαπ(2)设α∈π，，若f＋＝2，求cosα－的值． 2434

17．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝n(n∈N)，等比数列{bn}满足b1

＝a1,2b3＝b4.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)若cn＝an·bn(n∈N)，求数列{cn}的前n项和Tn.

*

2

*

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

18．(本小题满分12分)为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表：

月收入 频数 赞成人数 [15,25) 5 4 [25,35) 10 8 [35,45) 15 12 [45,55) 10 5 [55,65) 5 2 [65,75] 5 1 将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于55的人群称为“非高收入族”． (1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令？

赞成 不赞成 合计 非高收入族 高收入族 合计 (2)现从月收入在[15,25)和[25,35)的两组人群中各随机抽取两人进行问卷调查，记参加问卷调查的4人中不赞成楼市限购令的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

nad－bc2附：K＝. a＋bc＋da＋cb＋d

2

P(K2≥k0) k0

0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，

Q为AD的中点，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝tPC.

(1)试确定实数t的值，使PA∥平面BMQ；

(2)在(1)的条件下，若PQ⊥平面ABCD，求二面角M－BQ－C的大小． 20.

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

(本小题满分13分)如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m，直线l与椭圆相交于A，B两个不同点．

(1)求实数m的取值范围；

(2)证明：直线MA，MB与x轴围成的三角形是等腰三角形．

131

21．(本小题满分14分)已知a，b∈R，函数f(x)＝a＋ln(x＋1)的图象与g(x)＝x－

32

x2＋bx的图象在交点(0,0)处有公共切线．

(1)证明：不等式f(x)≤g(x)对一切x∈(－1，＋∞)恒成立； (2)设－1＜x1＜x2，当x∈(x1，x2)时，证明：

fx－fx1fx－fx2

＞. x－x1x－x2

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

详解答案

仿真模拟(一)

一、选择题

2i22i－2

1．B 因为＝－i，故其虚部为－1，故选B. ＝2＝

1－i1－i－2i

2．A 由于A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{2}，故阴影部分所示集合为{0,2}，故选A. 3．B 由三视图可知几何体上方是一长方体，下方是一放倒的直四棱柱，且四棱柱底面

2

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

1

是等腰梯形，上底长为2cm，下底长为6cm，高为2cm，故几何体的体积是2×2×4＋×(2

2＋6)×2×4＝48(cm)，故选B.

4．A 据已知数据可得其均值x＝

2

2

2

3

18＋19＋20＋21＋221

＝20，而框图输出S＝[(x1－

55

20)＋(x2－20)＋…＋(x5－20)]＝2，S的统计意义是此5个数据的方差，故选A.

5．A 据题意可知直线AB与点P和圆心C(0,3)连线垂直，故kAB＝－1

线AB方程为y－1＝(x－1)，整理得直线AB的方程为x－2y＋1＝0.

2

6．C 据已知数据可得x＝3.5，y＝42，由于回归直线经过点(3.5,42)，代入回归直

∧

∧

∧

1

＝，从而得直kCP2

1

线方程得42＝9.4×3.5＋a，解得a＝9.1，故回归直线方程为y＝9.4x＋9.1，当x＝6时该

∧

作物的产量大约为y＝9.4×6＋9.1＝65.5，故选C.

7．B 据题意先排2位男生站两侧，然后站3位女生，最后1位老师只需站在3位女生形成中间的2个空中即可，故共有A2A3C2＝24种不同的排法，故选B.

8．D 由已知可得球心到半径为4的圆距离d＝5－4＝3，因此所求圆圆心到弦的距离为3，故所求圆半径R＝3＋3＝23，故选D.

2

2

2

2

231

1|x－1|＋2cosπx的零点等价于函数g(x)＝－1|x－1|，h(x)＝

9．C 由于函数f(x)＝2

2

2cosπx的图象在区间[－2,4]内交点的横坐标．由于两函数图象均关于直线x＝1对称，且函数h(x)＝2cosπx的周期为2，结合图象可知两函数图象在一个周期内有2个交点且关于直线x＝1对称，故其在三个周期[－2,4]内所有零点之和为3×2＝6，故选C.

10．C 由于点Q为三角形PF1F2内切圆的圆心，故过点F2作PQ的垂线并延长交PF1于11

点N，易知垂足B为F2N的中点，连接OB，则|OB|＝|F1N|＝(|F1P|－|F2P|)＝a，又设内切

22圆与PF1，PF2分别切于G，H，则由内切圆性质可得|PG|＝|PH|，|F1G|＝|F1A|，|F2A|＝|F2H|，故|F1P|－|F2P|＝|F1A|－|F2A|＝2a，设|OA|＝x，则有x＋c－(c－x)＝2a，解得|OA|＝a，故有|OA|＝|OB|＝a，故选C.

二、填空题

11．解析： 据题意令x＝0，a0＝1；令x＝1，a0＋a1＋…＋a6＝(1＋m)，故有a1＋…＋a6＝(1＋m)－1＝63，解得m＝1或m＝－3.

答案： 1或－3

12．解析： 由于f′(x)＝2x，设与直线x＋y＋1＝0平行且与抛物线相切的直线与抛

6

6

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

1111物线切于点A(x0，y0)，由导数几何意义可知2x0＝－1，求得切点为－，.切点A－，2424

32

到直线x＋y＋1＝0的距离最小，由点到直线距离公式易得最小值为.

8

答案：

32

8

6

2

3

3

13．解析： 原不等式等价于x＋x＞(x＋2)＋(x＋2)，令f(x)＝x＋x，易知函数在R上为单调递增函数，故原不等式等价于x＞x＋2，解得x＞2或x＜－1，故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

答案： (－∞，－1)∪(2，＋∞) 14．解析： 由投影公式可得

2

b·a1222

＝b·a＝，∴|b＋a|＝|a|＋|b|＋2a·b＝4⇒|b|a|2

122

＋a|＝2.由(a－c)·(b－c)＝a·b－c·(a＋b)＋c＝0，整理得＋|c|＝|c|·|a＋b|cos

2

θ≤2|c|，解不等式＋|c|2－2|c|≤0，得|c|≤1＋

1222

，即|c|的最大值为1＋.又|d－22

c|＝1，即d终点的轨迹是以c的终点为圆心、以1为半径的圆，故|d|的最大值为|c|max＋1

＝2＋

2

. 2

2 2

答案： 2＋三、选做题

15．(1)解析： 依题意，直线l的普通方程是x＋y－6＝0，圆C的普通方程是x＋(y|0＋2－6|2

－2)＝4，圆心C(0,2)到直线l的距离等于＝22.

2

答案： 22

(2)解析： 依题意，注意到|a＋1|－|2a－1|≤|(a＋1)＋(2a－1)|＝3|a|，因此|a＋1|－|2a－1|

≤3，于是有|2x－1|≥3,2x－1≤－3或2x－1≥3，由此解得x≤－1或x|a|≥2.因此，x的取值集合是{x|x≤－1或x≥2}．

答案： {x|x≤－1或x≥2} 四、解答题

ππtan＋tan343＋1πππ16．解析： (1)f＝tan＋＝＝＝－2－3. ππ1－3934

1－tantan

34

2

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

3ππsin ααπ(2)因为f＋＝tanα＋＋＝tan(α＋π)＝tanα＝2，所以＝2，即44cos α34sinα＝2cosα.①

又sinα＋cosα＝1，② 12

由①、②解得cosα＝.

5

3π525因为α∈π，，所以cosα＝－，sinα＝－. 255

πππ52252310所以cosα－＝cosαcos＋sinαsin＝－×＋－×＝－. 44452105217．解析： (1)∵当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－(n－1)＝2n－1， ∴an＝2n－1(n∈N)，

∴b1＝a1＝1，设等比数列{bn}的公比为q，则q≠0. ∵2b3＝b4，∴2q＝q，∴q＝2， ∴bn＝2

n－1

2

3*

2

2

2

2

(n∈N)．

n－1

*

(2)由(1)可得cn＝an·bn＝(2n－1)×2

0

2

(n∈N)，

n－1

*

∴Tn＝1×2＋3×2＋5×2＋…＋(2n－1)×2

2

3

，①

∴2Tn＝1×2＋3×2＋5×2＋…＋(2n－1)×2，② ②－①得

nTn＝(2n－1)×2n－(1×20＋2×2＋2×22＋…＋2×2n－1)

＝(2n－1)×2－(1＋2＋2＋…＋2) ＝(2n－3)×2＋3.

18．解析： (1)由题意得列联表如下：

nn2

3

n 赞成 不赞成 合计 非高收入族 29 11 40 高收入族 3 7 10 合计 32 18 50 假设非高收入族与赞成楼市限购令没有关系， nad－bc2

则K＝

a＋bc＋da＋cb＋d

2

50×29×7－11×3＝ 32×18×40×10＝6.272＜6.635，

∴不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令．

信达

2

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

(2)由题意得随机变量ξ的所有取值为0,1,2,3， C4C828

P(ξ＝0)＝22＝，

C5C1075C4C8＋C4C2C8104

P(ξ＝1)＝＝， 22C5C10225C4C2＋C4C2C87

P(ξ＝2)＝＝， 22

C5C1045C4C22

P(ξ＝3)＝22＝，

C5C10225∴随机变量ξ的分布列为

1222

111

12

211

22

ξ P 0 28 751 104 2252 7 453 2 22528104724∴Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 752254522551

19．解析： (1)当t＝时，PA∥平面BMQ，

3下面证明：连接AC交BQ于N，连接MN， ∵底面ABCD是菱形，∴AQ∥BC，

AQAN1CN2

∴△ANQ∽△CNB，∴＝＝，∴＝.

BCNC2AC3

11CM2CMCN当t＝时，则PM＝PC，∴＝，∴＝，

33PC3PCAC∴AP∥NM.∵AP⊄平面BMQ，NM⊂平面BMQ，∴PA∥平面BMQ. (2)∵PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥AD，PQ⊥BQ， 连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝2. ∵∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形． ∵Q为AD的中点，∴BQ⊥AD.

以Q为坐标原点，QA、QB、QP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Q－xyz，

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，3，0)，P(0,0，3)． →n·QB＝0，

设平面BMQ的法向量为n＝(x，y，z)，则

→n·MN＝0，→n·QB＝0，

∵AP∥NM，∴

→n·AP＝0，

3y＝0，

∴

x－3z＝0.

令z＝1，则n＝(3，0,1)， ∵PQ⊥平面ABCD，

→

∴QP＝(0,0，3)是平面BQC的一个法向量， →n·QP1→

∴cos〈n，QP〉＝＝，

→2|n|·|QP|∴二面角M－BQ－C的大小为60°.

x2y2

20．解析： (1)设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，

aba＝2b，

由题意得41

2＋2＝1，abx2y2

a＝8，

∴2

b＝2，

2

∴椭圆方程为＋＝1.

82

1

由题意可得直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，

2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

1

y＝x＋m，2

则点A，B的坐标是方程组xy8＋2＝1

2

2

的两组解，

消去y得x＋2mx＋2m－4＝0.

∵Δ＝4m－4(2m－4)＞0，∴－2＜m＜2.

又∵m≠0，∴实数m的取值范围为(－2,0)∪(0,2)． (2)证明：由题意可设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2， 只需证明k1＋k2＝0即可， 由(1)得x＋2mx＋2m－4＝0， ∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m－4， ∵k1＋k2＝＝＝

2

2

2

2

2

22

y1－1y2－1

＋ x1－2x2－2

x1y2＋x2y1－2y1＋y2－x1＋x2＋4

x1－2x2－2

m－2x1＋x2＋x1x2＋41－m

x1－2x2－2

2

－2mm－2＋2m－4＋41－m＝＝0，

x1－2x2－2

∴直线MA，MB与x轴围成的三角形是等腰三角形． 21．证明： (1)由题意得f′(x)＝

f0＝g0，则

f′0＝g′0，

12

，g′(x)＝x－x＋b，x＞－1， x＋1

a＝0，解得

b＝1，

1312

∴f(x)＝ln(x＋1)(x＞－1)，g(x)＝x－x＋x.

32令h(x)＝f(x)－g(x)

1312

＝ln(x＋1)－x＋x－x(x＞－1)，

321x2

∴h′(x)＝－x＋x－1＝－，

x＋1x＋1

∴h(x)在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， ∴h(x)≤h(0)＝0，∴f(x)≤g(x)．

(2)当x∈(x1，x2)时，由题意得－1＜x1＜x＜x2， ①设u(x)＝(x＋1)[f(x)－f(x1)]－(x－x1)， 则u′(x)＝ln(x＋1)－ln(x1＋1)＞0，

信达

3

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

∴u(x)＞u(x1)＝0，即(x＋1)[f(x)－f(x1)]－(x－x1)＞0， ∴

fx－fx11

>；

x－x11＋x②设v(x)＝(x＋1)[f(x)－f(x2)]－(x－x2)， 则v′(x)＝ln(x＋1)－ln(x2＋1)＜0，

∴v(x)＞v(x2)＝0，即(x＋1)[f(x)－f(x2)]－(x－x2)＞0， ∴

fx－fx2x－x＜1

1＋x，

2由①②得

fx－fx1fx－fx2

x－x＞.

1x－x2

信达