【学法指导】 求函数值域的常用方法 方淑媚 （河北省冀州中学，河北冀州０５３２００） 摘要：函数的值域及其求法是近几年高考考察的重点内容之一。求函数值域是重点，也是一个难点，很多同学对 求值域的问题找不到下手点，本文归纳了函数值域的几种常见类型和常用的方法。 关键词：函数；值域；方法 函数的值域及其求法是近几年高考考察的重点内 解：ｆ（ｘ）＝１＋ ＿Ｑ求ｘ≠１ 容之一。求函数值域是重点，也是一个难点，很多同学对 求值域的问题找不到下手点，本文归纳了函数值域的几 Ｑ ｝≠０ 种常见类型和常用的方法。 ·．．“Ｘ）≠１ 一、直接观察法 ·．．值域为｛ｙｌｙ＃１｝ 例如ｖ＝ ，ｙ＝３一、／ 等可以通过直接观察，它们的 六、反函数法 值域分别为｛ｙｌｙ＃Ｏ｝，｛ｙｌｙ￣＜０） 若上题中ｘ∈［０，＋∞］求ｆ（ｘ）的值域则为第６种方 二、图像法 法：反函数法。 例１ 已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＿２ｘ＋３ 解：ｖ： ①求函数ｆ（ｘ）的值域②ｘ∈『＿１，０俅：值域 Ｘ—ｌ ③ｘ∈［３，４】求值域④ｘ∈【０，３】求值域 ｘｙ—ｙ＝ｘ＋１ ｘ（ｙ一１）＝ｙ＋１ ｘ＝ 一 评注：因同学们对二次函数的图像比较熟悉，所以 该类函数应用图像法求值域，先分析对称轴在区间内还 Ｑｘ＞￣０．·． ＞Ｉ０．·．ｙ＞１或ｙ≤１ ｙ一１ 是在区间外则可根据单调性直接代入端点求值域，若对 ·．．值域为（一∞，一１］ｕ（１，＋。。） 称轴在区间内，则在对称轴处取得最小值，再看哪个端 点离对称轴远，在离对称轴远的端点处取最大值。 评注：对于ｙ＝ ａＸ十Ｄ 这种类型的函数，其求值域的 三、单调性法 方法有两种，第一种叫分离常数法，即将函数分解成一 例２求函数ｆ（ｘ）＝２ｘ＋、丽的值域 个常数和一个只在分母含Ｘ的式子之和，一般用于ｆ（ｘ） 可知函数为增函数，可先求定义域ｆ Ｘｌｘ≥１｝因此值域 的自然定义域内求值域，第二种，“反解Ｘ法”即去分母， 为｛ｙＩｙ≥２ｊ． 反解出Ｘ，根据ｘ的范围，确定ｙ的取值范围。常用于定 四、换元法 义域不是自然定义域的函数值域的求解问题。 例３求函数ｆ（ｘ）＝２ｘ一、／ 的值域 七、判别式法 分析：此函数单调性不明确，因此本题可用换元法 例５ 求ｙ： 的值域 将该题转化为二次函数求值域。 解：去分母ｙｘ 一ｙｘ—ｙ＝ｘ２－ｘ＋１ 解：令Ｘ／７２－－ｌ一＝ｔ ｔ≥０则ｘ＝ｔ ＋１ 整理得（ｙ－１）Ｘ２－（ｖ一１）ｘ一（ｖ＋１）＝０ 则ｙ＝２（ｔ 十１）－ｔ（ｔ≥０） ①当ｙ－１＝０时，ｙ＝ｌ此式变为一２＝０，不成立．·．ｙ≠１ ＝２ｔ２－ｔ＋２ （ｔ＞１０）可知当ｔ＝＿１时ｙ有最小值 ②当ｙ≠１时△＝（１－ｙ）２ ４（１－ｙ）（ｙ＋１）１＞０ 解得：Ｙ≤一÷或ｙ＞１（Ｑｙ≠１） ．·．原函数值为 ，即值域为［孚，＋∞）． 评注：换元法为求值域问题的常用方法，有时可将 （一 ，一 一］Ｕ（１，＋∞）． 复杂的问题简单化或将我们不熟悉的类型转化为熟悉 评注：对ｙ＝ ｄｘ ＋ｅｘ＋± 型的且不可约的函数解析式， 的类型，但在换元时应注意变元的取值范围，即Ｘ与ｔ 之间应是等价代换。 常去分母化为关于ｘ的一元二次方程，使该方程有解故 五、分离常数法 △≥０，据此求出函数的值域为“判别式”法，使用判别式 求值域，首先应验证二次项系数为０的情况。但此类问 例４ ｆ（ｘ）＝ 求ｆ（ｘ）的值域 题有一种特殊情况，在做题时应注意。 １ ６３
