2019年全国高考试题文科数学全国卷II附答案详解

本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．已知集合A={x|x1}，B{x|x2}，则A∩B= A．(–1，+∞) 答案：C

即AB1,2.故答案选C 解析：ABx1x2, 2．设z=i(2+i)，则z= A．1+2i 答案：D

解析：zi2i2ii212i,z12i故答案选D 3．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|= A．2

B．2 C．52

D．50

B．–1+2i

C．1–2i

D．–1–2i

B．(–∞，2)

C．(–1，2)

D．

2019年高考全国卷II理科数学 第1页 共11页

答案：A

解析：ab1,1,ab12122故答案选A

4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为

A．

2 3B．

32 C． 55 D．

1 5答案：B

解析：设5只兔子为A,B,C,D,E,其中A,B,C为测量过指标的

取出3只所有情况：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE共10种 满足条件的有6种：ABD、ABE、ACD、ACE、BCD、BCE故概率为p5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A．甲、乙、丙 答案：A

解析：由题意知道甲正确，乙、丙都错误. 故答案选A

x6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e1，则当x<0时，f(x)=

3故答案选B 5B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙

A．ex1 答案：D

B．ex1 C．ex1

D．ex1

解析：当x0时，x0，f(x)ex1

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又因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，当x0时f(x)-e7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 答案：B

x1.故答案选D

解析：由“判定定理:如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行,那么这两个平面平行”可知答案选B 8．若x1=

，x2=是函数f(x)=sinx(>0)两个相邻的极值点，则=

44

B．

A．2 答案：A

3 C．1 2 D．

1 2解析：

T32,所以2。故答案选A ,T,又T2442

x2y21的一个焦点，则p= 9．若抛物线y=2px（p>0）的焦点是椭圆

3ppA．2 答案：D

解析：易知抛物线的焦点为(

B．3

C．4

D．8

p,0),故椭圆焦点在x轴上 22由cab3pp2p,则()2p,解得p=8。故答案选D

222p210．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为

A．xy10

B．2xy210

2019年高考全国卷II理科数学 第3页 共11页

C．2xy210 答案：C

D．xy10

解析：由题意知道y2cosxsinx，则在点(,1)的斜率k2cossin2。

故切线方程为y12(x)，即2xy210。故答案选C

π），2sin2α=cos2α+1，则sinα= 211．已知a∈（0，1A．

5B．5 5 C．3 3 D．25 5答案：B

解析：2sin2cos212cos2，与sin22sincos联立求得tan1 2又(0,2)，所以sin5故答案选B 5x2y212．设F为双曲线C：221（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与

ab圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为

A．2 答案：A

解析：作出图形，M为圆心，|OF||PQ|,则|OM||MO|B．3 C．2

D．5

c,|OP|a 2所以()()a，求得ec22c222c2故答案选A a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

2x3y60，13．若变量x，y满足约束条件xy30，则z=3x–y的最大值是___________.

y20，答案：9

2019年高考全国卷II理科数学 第4页 共11页

解析：画出可行域如图所示，三交点为A(3,0),B(0,2),C(1,2)

对目标函数图像进行平移在(3,0)处取得最大值z3309

14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 答案：0.98

解析：xp1x1p2x2p3x31110.970.980.990.98 42415．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________. 答案：

3 4解析：因为bsinAacosB0，所以sinBsinAsinAcosB0 又A(0,)，则sinA0，所以tanB1

又B(0,)，所以B3 416．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但

.半正多面体是由两种或两种以上的正多边南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 答案：A

解析：(1)上层8个,中层8个,下层8个上下底各1个

(2)设棱长为a,如图作出该几何体的截面,CD又△CDE为等腰直角三角形,则21a,CE1 21aa，解得a21.则棱长为21 2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

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生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分。 17．（12分）

如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥EBB1C1C的体积． 解：（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，

故B1C1BE.

又BEEC1，所以BE⊥平面EB1C1.

（2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以AEBA1EB145，故AE=AB=3，

AA12AE6.

作EFBB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EFAB3.

所以，四棱锥EBB1C1C的体积V18．（12分）

136318. 3已知{an}是各项均为正数的等比数列，a12,a32a216.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bnlog2an，求数列{bn}的前n项和. 解：（1）设an的公比为q，由题设得

2q24q16，即q22q80.

2019年高考全国卷II理科数学 第6页 共11页

解得q2（舍去）或q=4.

因此an的通项公式为an24n122n1.

（2）由（1）得bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前n项和为1319．（12分）

某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.

2n1n.

y的分组 [0.20,0) 2 [0,0.20) 24 [0.20,0.40) 53 [0.40,0.60) 14 [0.60,0.80) 7 企业数 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）

附：748.602.

解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为

1470.21. 100产值负增长的企业频率为

20.02. 100用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%. （2）y1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30， 100152snyy ii100i121(0.40)22(0.20)22402530.202140.4027 1002019年高考全国卷II理科数学 第7页 共11页

=0.0296，

s0.02960.02740.17，

所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%. 20．（12分）

x2y2已知F1,F2是椭圆C:221(ab0)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．

ab（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

（2)如果存在点P，使得PF1PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

解：（1）连结PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，F1PF290，PF2c，

PF13c，于是2aPF1PF2(31)c，故C的离心率是ec31. ax2y21yy（2）由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在当且仅当|y|2c16，1，221，

ab2xcxc即c|y|16，①

x2y2c2，②

x2y221，③ 2abb41622由②③及abc得y2，又由①知y2，故b4.

cc2222a222222222由②③得x2cb，所以cb，从而abc2b32,故a42.

c2当b4，a42时，存在满足条件的点P. 所以b4，a的取值范围为[42,).

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21.（12分）

已知函数f(x)(x1)lnxx1.证明：

（1）f(x)存在唯一的极值点；

（2）f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

解：（1）f(x)的定义域为（0，+）.

f(x)x11lnx1lnx. xx1

单调递减，所以f(x)单调递增，又f(1)10， x

因为ylnx单调递增，y

f(2)ln21ln410，故存在唯一x0(1,2)，使得fx00. 22又当xx0时，f(x)0，f(x)单调递减；当xx0时，f(x)0，f(x)单调递增.

因此，f(x)存在唯一的极值点.

（2）由（1）知fx0f(1)2，又fe2e230，所以f(x)0在x0,内存在唯一根

x.

由x01得

11x0.

又ff()111111ln10，故是f(x)0在0,x0的唯一根. 综上，f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

O为极点，在极坐标系中，点M(0,0)(00)在曲线C:4sin上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.

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（1）当0=



时，求0及l的极坐标方程； 3

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 解：（1）因为M0,0在C上，当0由已知得|OP||OA|cos时，04sin23. 332. 3|OP|2， 3设Q(,)为l上除P的任意一点.在Rt△OPQ中cos经检验，点P(2,)在曲线cos32上. 3所以，l的极坐标方程为cos2. 3（2）设P(,)，在Rt△OAP中，|OP||OA|cos4cos, 即 4cos..

因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,.

42所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,, . 4223．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知f(x)|xa|x|x2|(xa).

（1）当a1时，求不等式f(x)0的解集；

（2）若x(,1)时，f(x)0，求a的取值范围.

解：（1）当a=1时，f(x)=|x1| x+|x2|(x1).

当x1时，f(x)2(x1)0；当x1时，f(x)0.

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所以，不等式f(x)0的解集为(,1).

（2）因为f(a)=0，所以a1.

当a1，x(,1)时，f(x)=(ax) x+(2x)(xa)=2(ax)(x1)<0.

所以，a的取值范围是[1,).

1．C 7．B 13．9

18． 19. 20. 21. 22． 23．

2．D 8．A

14．0.98

3．A 4．B 5．A 6．D 9．D

10．C

11．B

12．A

15．

3π4 16．21

17．

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