数列极限的定义教案

教材：数列极限的定义

目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋

近”，然后初步学会用N语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。 过程：

一、实例：1当n无限增大时，圆的内接正n边形周长无限趋近于圆周长 2在双曲线xy1中，当x时曲线与x轴的距离无限趋近于0 二、提出课题：数列的极限 考察下面的极限

1 数列1：110,111102,103,,10n,

①“项”随n的增大而减少 ②但都大于0

③当n无限增大时，相应的项110n可以“无限趋近于”常数0

2 数列2：12,23,34,,nn1, ①“项”随n的增大而增大 ②但都小于1

③当n无限增大时，相应的项nn1可以“无限趋近于”常数1

3 数列3：1,11(1)n2,3,,n, ①“项”的正负交错地排列，并且随n的增大其绝对值减小

②当n无限增大时，相应的项(1)nn可以“无限趋近于”常数

引导观察并小结，最后抽象出定义：

一般地，当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某

个数a（即ana无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限，或者说a是数列an的极限。 （由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才

有极限）

数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0 三、例一 （课本上例一）略

注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n无限

增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。

练习：（共四个小题，见课本）

四、有些数列为必存在极限，例如：a2n(1)n2或ann都没有极限。 例二 下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？

1．a1(1)n2 2．a1(1)n n n2 3．anan(aR)

n4．a(1)n135nn 5．an5 3解：1．an：0,1,0,1,0,1,„„ 不存在极限

2．a：2,0,22n3,0,5,0, 极限为0

3．an：a,a2,a3, 不存在极限

4．a：3,33n2,14, 极限为0

5．a5n555525n：先考察,,,, 无限趋近于0 3：392781 ∴ 数列an的极限为5

五、关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限 六、作业： 习题1

补充：写出下列数列的极限：1 0.9,0.99,0.999,„„ 2 an12n 3 (1)n113456111n 4 2,3,4,5, 5 an1242n