平面向量的数量积导学案

【课程标准】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 【重点】重点是数量积的定义、几何意义及运算律，. 【难点】难点是夹角公式和求模公式的应用. 【导学流程】 一、了解感知：

（一）知识链接：1、向量加法和减法运算的法则_________________________________. 2、向量数乘运算的定义是 . 3、两个非零向量夹角的概念：_________________________________.

思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？ （二）自主探究：（预习教材P103-P106）

探究1：如下图，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功

W= ，其中是 .

请完成下列填空：

F（力）是 量；S（位移）是 量；是 ；W（功）是 量； 结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？

新知1向量的数量积（或内积）的定义

已知两个非零向量a和b，我们把数量abcos叫做a和b的数量积（或内积），记作ab，即 注：①记法“a·b”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。

②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即0a0。

探究2：向量的数量积运算与向量数乘运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？

小组讨论，完成下表：

的范围 a·b的符号 0°≤<90° =90° 0°<≤180° 新知2：向量的数量积（或内积）几何意义

（1）向量投影的概念：如图，我们把acos叫做向量a在b方向上的投影；bcos叫做向量b在a方向

上的投影.

说明：如图，OB1bcos. 向量投影也是一个数量，不是向量； 当为锐角时投影为_______值；当为钝角时投影为_______值； 当当 = 0时投影为 ________；当＝９０时投影为__________； 当 = 180时投影为__________.

（2）向量的数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影 的乘积。

新知3：由定义得到的数量积的结论

设a和b都是非零向量，是a与b的夹角，则

(1)当a与b垂直时，90，即abab ；（向量垂直的条件）

(2)当a与b同向时，0，ab= ；当a与b反向时，180，ab= ； 特别的当ab，即aa= ，则a ；（向量的求模公式） (3)cosab（向量的夹角公式）

|a||b|，所以ab ab.

(4）因为

cos1二、深入学习

1.已知a5，b4，a和b的夹角为120，则ab=__________

2.（2010江西） 已知向量a，b满足|b|2，a与b的夹角为60，则b在a上的投影是 ；

3.设a12，b9，ab542，则a与b的夹角为（ ） A.45 B.135 C.60 D.120

三、迁移运用

1.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE.BD____________.

变式练习（1）、在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，AP3，则AP.AC= .

（2）、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为_______.

四、达标检测

1.在平行四边形ABCD中，AB4，BC2，BAD120，则ABAD为（ ） A.4 B.-4 C.8 D.-8

2. 已知ABC，ABa，ACb，当ab0时，ABC为（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形

3.若四边形ABCD满足ABCD0，且ABBC0，则四边形ABCD是（ ）. A.平行四边形 B. 矩形 C.菱形 D.正方形

4. 已知a3，b5，且ab12，则向量a在向量b的方向上的投影为 . ★5判断下列命题的真假，并说明理由. （1）、ABC为直角三角形，则ABBC0.

（2）、ABC中，若AB•AC0，则ABC是钝角三角形；若AB•BC0，结论还成立吗？ （3）、ABC中，若AB•AC0，则ABC是锐角三角形；

★7.已知a4,b3,(2a3b).(2ab)61,求a与b的夹角并求|a2b|.

0cta(1t)b.若b.c0,则t______. ★★8（．2013全国新课标）已知两个单位向量a,b 的夹角为60，



河北孟村回民中学高一数学导学纲 编号 班级 姓名 年级 课题 高一 作者 温静 时间 课型 新授 2.4平面向量的数量积 2.了解并掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

【课程标准】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 【重点】重点是数量积的定义、几何意义及运算律，. 【难点】难点是夹角公式和求模公式的应用. 【导学流程】 一、了解感知： （一）知识链接：

1向量的数量积（或内积）的定义 2. 向量a在b方向上的投影 ；

3：向量的数量积（或内积）几何意义 （二）自主探究：

新知4：数量积的运算律 (1)ab________;

(2)（a）b___________=____________;

）.c_______________. (3) （a+b二、深入学习

例1：我们知道，对任意的a,bR，恒有(ab)2a22abb2,(ab)(ab)a2b2

对任意向量a,b,是否有下面相似的结论？22

（1）（ab)2a2a.bb;(2)(ab).(ab)ab22用上面得到的结论求解下题 已知a6,b4,若a与b的夹角为60，求（a2b）•(a3b).

例2、已知a6,b4,若a与b的夹角为60，求|ab|,|ab|.

变式练习：

1、 已知a2,b5,若a.b3,求|ab|,|ab|.



2、 已知a4,b3,若|ab|13,求a与b的夹角. 例3、若a与b不共线，k为何值时，向量akb与a-kb互相垂直?

变式练习：

（2011新课标）已知a,b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k=___________.

三、迁移运用

1、在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，AP3，则AP.AC= .

2、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为_______. 四、达标检测

1.在平行四边形ABCD中，AB4，BC2，BAD120，则ABAD为（ ） A.4 B.-4 C.8 D.-8

2. 已知ABC，ABa，ACb，当ab0时，ABC为（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形

3.若四边形ABCD满足ABCD0，且ABBC0，则四边形ABCD是（ ）. A.平行四边形 B. 矩形 C.菱形 D.正方形

4. 已知a3，b5，且ab12，则向量a在向量b的方向上的投影为 . ★5判断下列命题的真假，并说明理由. （1）、ABC为直角三角形，则ABBC0.

（2）、ABC中，若AB•AC0，则ABC是钝角三角形；若AB•BC0，结论还成立吗？ （3）、ABC中，若AB•AC0，则ABC是锐角三角形；

★7.已知a4,b3,(2a3b).(2ab)61,求a与b的夹角并求|a2b|.

0cta(1t)b.若b.c0,则t______. ★★8（．2013全国新课标）已知两个单位向量a,b 的夹角为60，



河北孟村回民中学高一数学导学纲 编号 班级 姓名 年级 课题 高一 作者 温静 时间 课型 新授 2.4平面向量的数量积 【课程标准】1. 熟练掌握向量垂直的两种形式的等价条件； 2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.

【重点】1. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法及其变式（夹角公式）； 2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.

【难点】1. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法及其变式（夹角公式）； 2、熟练掌握向量垂直的两种形式的等价条件； 【导学流程】 一、了解感知：

（一）知识链接：

1、向量数量积的运算律：

⑴向量数量积的交换律： . ⑵ab＝ ＝ . ⑶向量的数量积的分配律： abc . ⑷ab＝ . abab . （二）自主探究：

探究1：平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量ax1,y1,bx2,y2，怎样用a与b的坐标表示ab呢？

思考1：设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若两个非零向量a＝(x1,y1), b＝(x2,y2)，则向量a与b用i、j分别如何表示？

思考2：对于上述向量i、j，则i 2 = ，j 2 = ，i ·j = 根据数量积的运算性质，ab =

新知1：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即abx1x2y1y2. 探究1：由平面向量数量积的坐标表示可以得到哪些结论呢？

思考1：设向量a＝(x,y)，利用数量积的坐标表示，︱a︱=

思考2：如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2)，那么向量a的坐标如何表示？︱a︱=

2思考3：设向量a＝(x1,y1), b＝(x2,y2)，若a⊥b，则x1,y1，x2,y2之间的关系如何？ 反之成立吗？ 思考4：设a、b是两个非零向量，其夹角为θ，若a＝(x1,y1), b＝(x2,y2)，那么

cosθ如何用坐标表示？

新知2：

⑴若ax,y，则ax2y2，或ax2y2. ⑵若Ax1,y1，Bx2,y2，则AB(x2x1,y2y1)，则AB⑶若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y20. ⑷两个非零向量ax1,y1,bx2,y2是a与b的夹角， 则cos2x2x12y2y1.

2ababx1x2y1y2xyxy21212222

二、深入学习

例1、（1）已知a3,4,b5,2，求a,b，ab及a,b之间夹角余弦值.

（2）已知a2,3,b2,4,c1,2，求ab，(ab)(ab)，a(bc)，(ab)2 变式：在△ABC中，AB=(1, 1)，AC=(2, k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值。

小结：向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一. 例3、 已知a3,2，b4,k，若5abb3a55，试求k的值.

三、迁移运用

1. 已知a3,4，b5,2，则ab等于（ ） A.23 B.7 C.23 D.7

2. 若a3,4，b5,12，则a与b夹角的余弦为（ ） A.

63333363 B. C. D. 6565656523. 若a4,3，b5,6，则3a4ab等于（ ） A.23 B.57 C.63 D.83 4. a2,3，b2,4，则abab= .

5. 已知向量OA1,2，OB3,m，若OAAB，则m . 四、当堂检测

b＝（ ） 1、若a=(－3，4)，b=(5，2)，则a·

A.23 B.7 C. －23 D. －7

2、若a=(－3，4)，b=(5，12)，则a与b夹角的余弦值为（ ）

A.

63333363 B. C.  D. 

656565651. 已知a3,4，b2,x，c2,y，且a//b，ac，求⑴bc；⑵b、c的夹角.

4、已知平面向量a＝(1，－3), b＝(4，－2)，若a+b与a垂直，= ；

1. 已知点A1,2和B4,1，问能否在y轴上找到一点C，使ACB90，若不能，说 明理由；若能，求C点坐标.

3、已知a4,3，b1,2，mab,n2ab，按下列条件求实数的值 （1）mn； （2）m//n； (3)mn

4、已知四点A1,0，B5,2，C8,4，D4,6求证：四边形ABCD是直角梯形.

5、已知a,2,b2,5，且a与b的夹角是钝角，求的取值范围。