学科教师辅导讲义
年 级: 高一 辅导科目: 数学 课时数: 学生姓名: 学科老师: 课 题 教学目的 掌握不等式证明的常用方法 教学内容 不等式证明的常用方法有比较法、综合法、反证法、放缩法 一,比较法 例1,已知a,bR,求证:a 随堂练习 1,已知a 2,已知a,b,cR,求证:2不等式中的证明 b2abab1 0,b0,求证:baab abcab3 abbcca2 总结:用比较法证明不等式时,作差法的要点是:作差——变形——判断与0的关系——结论。作商法的要点是:作差——变形——判断与1的关系——结论. 想一想:这里的关键步骤是什么?
用作商法解决上面的随堂练习1。 二,综合法 该法用已知的不等式、不等式的性质,一步步推导出结论的方法。 例2,若a,b,c0,且abc1,求证:(1a)(1b)(1c)8abc. 随堂练习 已知a,b,cR,求证:(abc)()9 1a1b1c 在运用综合法证明不等式时,下面一些不等式是常用的: (1)a2b22ab (2)如果a,bR,则ab2ab 3(3)如果a,b,cR,则abc3(4)abc等号当且仅当abc时成立 abab22222 2a2b2c2abc(5)33(6)a2 b2c2abbcca 这里关于(3)作些补充 例如,a,b,cR,abc1,求abc的最大值 三,分析法 分析法,就是从结论开始推导,其格式是:要证明A,只需证B,只需证C,…,直到最后,得到一个明显成立的结论。
ababab例3,已知ab0,求证:ab8a28b解析 欲证原不等式成立, 22 ab只需证4a22ab2abab4b22 即ab2aab2ab2b 因ab0,故只需证abab ab2a2b只需证abab 12a2b即证1ba21ab,也即证ba1ab 只需证因aba1 abb0,故上式明显成立, 故原不等式成立. 随堂练习 已知a,b,c,d 四,反证法 例4,已知aR,用分析法证明:acbda2b2c2d2 0,b0,且ab2,求证:1b1a中至少有一个小于2 ,ab分析:结论若是“都是”,“都不是”,“至少”,“至多”,“≠”等形式的不等式命题,往往考虑反证法。 证明:假设∵a1b1a1b1a都不小于2,则2,2 ,abab0,b0,∴1b2a,1a2b
两式相加,得11ab2即2ab ab,这与已知“ab2”矛盾,故假设不成立 1b1a即中至少有一个小于2 ,ab随堂练习 已知a,b,c,dR,且abcd 五,放缩法 例5,设s1,acbd1.求证:a,b,c,d中至少有一个是负数 122334Lnn1 求证:11nn1snn2 22 随堂练习 11112 1,求证:2222123n
2,求证:1 1111122L22 n112nnabc22(bc)(ca)(ab)2≥ 例6,设a、b、c是三角形的边长,求证bccaab1222 [(ab)(bc)(ca)] 3 随堂练习 abc设a、b、c是三角形的边长,求证≥3 bcacababc 在具体解题过程中,要试着用这几种方法去证明不等式,多尝试尝试。 课堂练习 1141,已知,abc,求证:. abbcac 2,已知a,b,c
0,1,求证:1ab,1bc,1ca不能均大于1 4
cbda3,已知a、b、c、d都是正数,求证:1<+++<2 abcbcdcdadab 课后练习 1,已知a,b,c均为正数,求证: 2,已知a、b、c(0,),abc1,求证: 3,已知a,b,cR,求证: 111111 2a2b2cabbccaa2b2c213 a2b2b2c2c2a2(abc) 211(1)(1)9xy4,已知x、y(0,)且xy1,证:。
5,已知a、b、c为正数,求证:
2(ababc3ab)3(abc)23
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