高一数学不等式中的证明习题

学科教师辅导讲义

年 级： 高一 辅导科目： 数学 课时数： 学生姓名： 学科老师： 课 题 教学目的 掌握不等式证明的常用方法 教学内容 不等式证明的常用方法有比较法、综合法、反证法、放缩法 一，比较法 例1，已知a,bR，求证：a 随堂练习 1，已知a 2，已知a,b,cR，求证：2不等式中的证明 b2abab1 0，b0，求证：baab abcab3 abbcca2 总结：用比较法证明不等式时，作差法的要点是：作差——变形——判断与0的关系——结论。作商法的要点是：作差——变形——判断与1的关系——结论. 想一想：这里的关键步骤是什么？

用作商法解决上面的随堂练习1。 二，综合法 该法用已知的不等式、不等式的性质，一步步推导出结论的方法。 例2，若a,b,c0，且abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc． 随堂练习 已知a,b,cR，求证：(abc)()9 1a1b1c 在运用综合法证明不等式时，下面一些不等式是常用的： （1）a2b22ab （2）如果a,bR，则ab2ab 3（3）如果a,b,cR，则abc3（4）abc等号当且仅当abc时成立 abab22222 2a2b2c2abc（5）33（6）a2 b2c2abbcca 这里关于（3）作些补充 例如，a,b,cR，abc1，求abc的最大值 三，分析法 分析法，就是从结论开始推导，其格式是：要证明A，只需证B，只需证C，…，直到最后，得到一个明显成立的结论。

ababab例3，已知ab0，求证：ab8a28b解析 欲证原不等式成立， 22 ab只需证4a22ab2abab4b22 即ab2aab2ab2b 因ab0，故只需证abab ab2a2b只需证abab 12a2b即证1ba21ab，也即证ba1ab 只需证因aba1 abb0，故上式明显成立， 故原不等式成立. 随堂练习 已知a,b,c,d 四，反证法 例4，已知aR，用分析法证明：acbda2b2c2d2 0,b0，且ab2，求证：1b1a中至少有一个小于2 ,ab分析：结论若是“都是”，“都不是”，“至少”，“至多”,“≠”等形式的不等式命题，往往考虑反证法。 证明：假设∵a1b1a1b1a都不小于2，则2,2 ,abab0,b0，∴1b2a,1a2b

两式相加，得11ab2即2ab ab，这与已知“ab2”矛盾，故假设不成立 1b1a即中至少有一个小于2 ,ab随堂练习 已知a,b,c,dR，且abcd 五，放缩法 例5，设s1,acbd1.求证：a,b,c,d中至少有一个是负数 122334Lnn1 求证：11nn1snn2 22 随堂练习 11112 1，求证：2222123n

2，求证：1 1111122L22 n112nnabc22(bc)(ca)(ab)2≥ 例6，设a、b、c是三角形的边长，求证bccaab1222 [(ab)(bc)(ca)] 3 随堂练习 abc设a、b、c是三角形的边长，求证≥3 bcacababc 在具体解题过程中，要试着用这几种方法去证明不等式，多尝试尝试。 课堂练习 1141，已知，abc，求证：. abbcac 2，已知a,b,c

0,1，求证：1ab，1bc，1ca不能均大于1 4

cbda3，已知a、b、c、d都是正数，求证：1<+++<2 abcbcdcdadab 课后练习 1，已知a,b,c均为正数，求证： 2，已知a、b、c(0,)，abc1，求证： 3，已知a,b,cR，求证: 111111 2a2b2cabbccaa2b2c213 a2b2b2c2c2a2(abc) 211(1)(1)9xy4，已知x、y(0,)且xy1，证：。

5，已知a、b、c为正数，求证：

2(ababc3ab)3(abc)23