解析几何
一、选择题
1．已知两点A(－3，3)，B(3，－1)，则直线AB的斜率是( ) A.3 B．－3 C.33
3
D．－
3
解析：斜率k＝－1－33
3－－3
＝－3，故选D.
答案：D
2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( A．1 B．－1 C．－2或－1
D．－2或1
解析：①当a＝0时，y＝2不合题意． ②a≠0， x＝0时，y＝2＋a. y＝0时，x＝a＋2
a
，
则a＋2a＝a＋2，得a＝1或a＝－2.故选D.
答案：D
3．两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A．4 B．21313 C.51326
D．71020 解析：把3x＋y－3＝0转化为6x＋2y－6＝0， 由两直线平行知m＝2， 则d＝|1－－6|71062＋22
＝20. 故选D. 答案：D
1
)
4．(2014皖南八校联考)直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( ) A．x＋2y－1＝0 C．2x＋y－5＝0
B．2x＋y－1＝0 D．x＋2y－5＝0
解析：由题意可知，直线2x－y＋1＝0与直线x＝1的交点为(1,3)，直线2x－y＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x－y＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.故选C.
答案：C
5．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
ππA.6，3 ππC.3，2
ππ
B．6，2 ππD．3，2
解析：由题意，可作直线2x＋3y－6＝0的图象，如图所示，则直线与x轴、y轴交点分别为A(3,0)，B(0,2)，又直线l过定点(0，－3)，由题知直线l与线段AB相交(交点不含端ππ
点)，从图中可以看出，直线l的倾斜角的取值范围为6，2.故选B.
答案：B
6．(2014泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( ) A．x－2y＋4＝0 C．x－2y＋3＝0
B．2x＋y－7＝0 D．x－2y＋5＝0
解析：直线2x＋y－5＝0的斜率为k＝－2， 1
∴所求直线的斜率为k′＝，
2
1
∴方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＋4＝0.
2答案：A 二、填空题
7．过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为____________．
2
解析：由题意知截距均不为零． xy
设直线方程为＋＝1，
ab
a＋b＝6，a＝3a＝4由21解得或.
b＝3b＝2a＋b＝1，
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0. 答案：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
8．(2014湘潭质检)若过点A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线2x＋y＋2＝0平行，则m的值为________．
解析：∵过点A，B的直线平行于直线2x＋y＋2＝0， 4－m
∴kAB＝＝－2，解得m＝－8.
m＋2答案：－8
9．若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．
解析：由直线PQ的倾斜角为钝角，可知其斜率k<0， 2a－1＋aa－1即<0，化简得<0，∴－2 y＋3＝0，x＝－3，解方程组得 x＋3＝0，y＝－3， 所以定点坐标为(－3，－3)． 答案：(－3，－3) 三、解答题 11．已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2xsin α＋y＋1＝0，试求α的值，使(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2. 解：(1)法一 当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在， l2的斜率为0，显然l1不平行于l2. 3 1 当sin α≠0时，k1＝－，k＝－2sin α. sin α21 要使l1∥l2，需－＝－2sin α， sin α2π 即sin α＝±，∴α＝kπ±，k∈Z. 24π 故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2. 4 22sinα－1＝0，2法二 由l1∥l2，得∴sin α＝±， 2 1＋sin α≠0， π ∴α＝kπ±，k∈Z. 4 π 故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2. 4 (2)∵l1⊥l2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0. ∴α＝kπ，k∈Z. 故当α＝kπ，k∈Z时， l1⊥l2. 12．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0. (1)证明l1与l2相交； (2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上． 证明：(1)假设l1与l2不相交，则l1∥l2即k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k21＋2＝0，这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交． 2k2＋k1y＝k1x＋1， ，(2)法一 由方程组解得交点P的坐标为， k－kk－k2121y＝k2x－1 而 2x2＋y2＝2 22k2＋k12 k2－k1＋ k2－k1 2 8＋k22＋k1＋2k1k2＝22 k2＋k1－2k1k2 2＋k2＋4k122＋k2＋4k12 ＝ ＝1. 4 即P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上． 即l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上． y－1＝k1x， 法二 交点P的坐标(x，y)满足故知x≠0. y＋1＝k2x， y－1 k＝x，从而 y＋1k＝x. 12 y－1y＋1代入k1k2＋2＝0，得·＋2＝0， xx整理后，得2x2＋y2＝1. 所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上． 第八篇 第2节 一、选择题 1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A．x2＋(y－2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 解析：由题意，设圆心(0，t)， 则 12＋t－22＝1，得t＝2， B．x2＋(y＋2)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 所以圆的方程为x2＋(y－2)2＝1，故选A. 答案：A 2．(2014郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( ) A．x2＋y2＝32 C．(x－1)2＋y2＝16 解析：设P(x，y)， 则由题意可得2x－22＋y2＝ x－82＋y2， B．x2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16 化简整理得x2＋y2＝16，故选B. 答案：B 5 3．(2012年高考陕西卷)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( ) A．l与C相交 C．l与C相离 B．l与C相切 D．以上三个选项均有可能 解析：x2＋y2－4x＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P(3,0)到圆心的距离为d＝ 3－22＋0－02＝1<2， 点P(3,0)恒在圆内，过点P(3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A. 答案：A 4．(2012年高考辽宁卷)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( ) A．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 B．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0 解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)， 所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C符合，故选C. 答案：C 5．(2013年高考广东卷)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A．x＋y－2＝0 C．x＋y－1＝0 B．x＋y＋1＝0 D．x＋y＋2＝0 解析：与直线y＝x＋1垂直的直线方程可设为x＋y＋b＝0，由x＋y＋b＝0与圆x2＋y2 ＝1相切，可得 |b| ＝1，故b＝±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知 12＋12 b＝－2，则直线方程为x＋y－2＝0.故选A. 答案：A 6．(2012年高考福建卷)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于( ) A．25 C.3 B．23 D．1 |0＋3×0－2|解析：因为圆心到直线x＋3y－2＝0的距离d＝＝1，半径r＝2， 221＋3所以弦长|AB|＝2故选B. 22－12＝23. 6 答案：B 二、填空题 7．(2013年高考浙江卷)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________． 解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25， 故圆心为(3,4)，半径r＝5. 又直线方程为2x－y＋3＝0， |2×3－4＋3| ∴圆心到直线的距离为d＝＝5， 4＋1∴弦长为2×答案：45 8．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________． 解析：因为圆C的圆心(1,1)到直线l的距离为 d＝|1－1＋4| ＝22， 25－5＝220＝45. 12＋－12 又圆半径r＝2. 所以圆C上各点到直线l的距离的最小值为d－r＝2. 答案：2 9．已知圆C的圆心在直线3x－y＝0上，半径为1且与直线4x－3y＝0相切，则圆C的标准方程是________． 解析：∵圆C的圆心在直线3x－y＝0上， ∴设圆心C(m,3m)． 又圆C的半径为1，且与4x－3y＝0相切， |4m－9m|∴＝1， 5∴m＝±1， ∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝1. 答案：(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝1 7 10．圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l：x＋y－3＝0对称的圆的方程为________． 解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1. 则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x2＋(y－1)2＝1. 答案：x2＋(y－1)2＝1 三、解答题 11．已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0. (1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点； (2)若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程． (1)证明：法一 直线方程与圆的方程联立，消去y得(m2＋1)x2－2mx－4＝0， ∵Δ＝4m2＋16(m2＋1)＝20m2＋16>0， ∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点． 法二 直线l：mx－y＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C：x2＋(y－2)2＝5内部， ∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点． (2)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)， 由方程(m2＋1)x2－2mx－4＝0， 2m 得x1＋x2＝2， m＋1m ∴x＝2. m＋1 当x＝0时m＝0，点M(0,1)， y－1 当x≠0时，由mx－y＋1＝0，得m＝， xmy－12y－1 代入x＝2，得x＋1＝x ， xm＋131 y－2＝. 化简得x2＋24经验证(0,1)也符合， 31 y－2＝. ∴弦AB的中点M的轨迹方程为x2＋24 8 12．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程． 解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l与圆C相切， 则有|4＋2a|a2＋1 3 ＝2.解得a＝－. 4 (2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质， ，a＋1 得|CD|＋|DA|＝2， 1|DA|＝2|AB|＝2， |CD|＝ 2 22 2 |4＋2a| 解得a＝－7，或a＝－1. 故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 第八篇 第3节 一、选择题 x2y2 1．设P是椭圆＋＝1上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( ) 2516A．4 C．8 B．5 D．10 解析：由方程知a＝5，根据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.故选D. 答案：D x2y2 2．(2014唐山二模)P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2 43→→ ＝60°，则PF1·PF2等于( ) A．3 C．23 B．3 D．2 解析：由椭圆方程知a＝2，b＝3，c＝1， 9 |PF1|＋|PF2|＝4，∴ 2＋|PF|2－4＝2|PF||PF|cos 60°|PF|1212 ∴|PF1||PF2|＝4. 1→→→→ ∴PF1·PF2＝|PF1||PF2|cos 60°＝4×＝2. 2答案：D x2y2 3．(2012年高考江西卷)椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点 ab分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( ) 1A. 41C. 2 B． 5 5 D．5－2 解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用． 由椭圆的性质可知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c， |F1B|＝a＋c， 又|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列， 故(a－c)(a＋c)＝(2c)2， c5 可得e＝＝.故应选B. a5答案：B x2y2 4．(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直 ab4 线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为( ) 5 3A. 54C. 5 5B． 76D． 7 4 解析：|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|cos∠ABF＝100＋64－2×10×8×＝36， 5则|AF|＝6，∠AFB＝90°， 1半焦距c＝|FO|＝|AB| 2＝5， 10 设椭圆右焦点F2， 连结AF2， 由对称性知|AF2|＝|FB|＝8， 2a＝|AF2|＋|AF|＝6＋8＝14， 即a＝7， c5则e＝＝. a7故选B. 答案：B x2y2 5．已知椭圆E：＋＝1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝ m4kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是( ) A．kx＋y＋k＝0 C．kx＋y－k＝0 解析：取k＝1时，l：y＝x＋1. 选项A中直线：y＝－x－1与l关于x轴对称，截得弦长相等． 选项B中直线：y＝x－1与l关于原点对称，所截弦长相等． 选项C中直线：y＝－x＋1与l关于y轴对称，截得弦长相等． 排除选项A、B、C，故选D. 答案：D x2y2 6．(2014山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 abac F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P，使＝，则该椭圆的离心率的取sin∠PF1F2sin∠PF2F1值范围为( ) A．(0，2－1) C.0， 2 2B．2 2，1B．kx－y－1＝0 D．kx＋y－2＝0 D．(2－1,1) 解析：由题意知点P不在x轴上， 在△PF1F2中，由正弦定理得 11 |PF2||PF1| ＝， sin∠PF1F2sin∠PF2F1所以由 ac ＝ sin∠PF1F2sin∠PF2F1 ac可得＝， |PF2||PF1|即 |PF1|c ＝＝e， |PF2|a 所以|PF1|＝e|PF2|. 由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a， 所以e|PF2|＋|PF2|＝2a， 解得|PF2|＝ 2a. e＋1 由于a－c<|PF2| 即1－e<<1＋e， e＋1 1－e1＋e<2，也就是 2 2<1＋e， 解得2－1 7．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点， 2516|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点距离为________． 解析：∵|OM|＝3，∴|PF2|＝6， 又|PF1|＋|PF2|＝10， ∴|PF1|＝4. 12 答案：4 x2y2 8．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F2作倾斜角为120°的直线与 ab椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为________． 解析：不妨设|F1F2|＝1， ∵直线MF2的倾斜角为120°， ∴∠MF2F1＝60°. ∴|MF2|＝2，|MF1|＝3，2a＝|MF1|＋|MF2|＝2＋3， 2c＝|F1F2|＝1. c ∴e＝＝2－3. a答案：2－3 y2x2 9．(2014西安模拟)过点(3，－5)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方 259程为________________． y2x2 解析：由题意可设椭圆方程为＋＝1(m<9)， 25－m9－m代入点(3，－5)， 得 53 ＋＝1， 25－m9－m 解得m＝5或m＝21(舍去)， y2x2 ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 204y2x2 答案：＋＝1 204 x2y2→ 10．已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1 ab→ ⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________. |PF1|＋|PF2|＝2a， 解析：由题意得 222 |PF1|＋|PF2|＝4c， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， 即4a2－2|PF1||PF2|＝4c2， 13 ∴|PF1||PF2|＝2b2， 1 ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝b2＝9， 2∴b＝3. 答案：3 三、解答题 x2y2 11．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的 ab左焦点为F1(－1,0)，且点P(0，1)在C1上． (1)求椭圆C1的方程； (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程． 22a－b＝1， 解：(1)由椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上，可得 b＝1，2a＝2， ∴ 2b＝1. x22 故椭圆C1的方程为＋y＝1. 2 (2)由题意分析，直线l斜率存在且不为0， 设其方程为y＝kx＋b， y＝kx＋b， 由直线l与抛物线C2相切得 2y＝4x， 消y得k2x2＋(2bk－4)x＋b2＝0， Δ1＝(2bk－4)2－4k2b2＝0，化简得kb＝1. ① y＝kx＋b， 由直线l与椭圆C1相切得x2 2 2＋y＝1， 消y得(2k2＋1)x2＋4bkx＋2b2－2＝0， Δ2＝(4bk)2－4(2k2＋1)(2b2－2)＝0， 化简得2k2＝b2－1. ② 14 kb＝1， ①②联立得 2＝b2－1，2k 解得b4－b2－2＝0， ∴b2＝2或b2＝－1(舍去)， ∴b＝2时，k＝ 22 ，b＝－2时，k＝－. 22 22 x＋2或y＝－x－2. 22 即直线l的方程为y＝ x2y2 12．(2014海淀三模)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内 ab角为60°的菱形的四个顶点． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线y ＝kx交椭圆C于A，B两点，在直线l：x＋y－3＝0上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求k的值． x2y2 解：(1)因为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱 ab形的四个顶点． 所以a＝3，b＝1， x22 椭圆C的方程为＋y＝1. 3(2)设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)， 当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线就是y轴， y轴与直线l：x＋y－3＝0的交点为P(0,3)， 又因为|AB|＝23，|PO|＝3， 所以∠PAO＝60°， 所以△PAB是等边三角形， 所以直线AB的方程为y＝0， 当直线AB的斜率存在且不为0时， 则直线AB的方程为y＝kx， 15 x3＋y2＝1，所以 y＝kx，化简得(3k2＋1)x2＝3， 所以|x1|＝ 3 ， 3k2＋11＋k2 3 ＝3k2＋1 3k2＋33k2＋1 2 则|AO|＝ . 1 设AB的垂直平分线为y＝－x， k 它与直线l：x＋y－3＝0的交点记为P(x0，y0)， y＝－x＋3，所以 1 y＝－kx， 解得－3 y＝.k－1 x0＝ 0 3k ，k－1 则|PO|＝ ， k－12 9k2＋9 因为△PAB为等边三角形， 所以应有|PO|＝3|AO|， 代入得＝3k－129k2＋9 3k2＋33k2＋1 ， 解得k＝0(舍去)，k＝－1. 综上，k＝0或k＝－1. 第八篇 第4节 一、选择题 x2y2 1．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|＝9， 1620则|PF2|等于( ) 16 A．1 C．1或17 解析：由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8， 又|PF1|＝9， B．17 D．以上答案均不对 ∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2>1， ∴|PF2|＝17. 故选B. 答案：B πx2y2y2x2 2．(2013年高考湖北卷)已知0<θ<，则双曲线C1：2－2＝1与C2：2－2 4sinθcosθcosθsinθ＝1的( ) A．实轴长相等 C．离心率相等 解析：双曲线C1的半焦距c1＝＝1，故选D. 答案：D x2y2 3．(2012年高考湖南卷)已知双曲线C：2－2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线 ab上，则C的方程为( ) x2y2 A.－＝1 205x2y2 C.－＝1 8020 解析：由焦距为10，知2c＝10，c＝5. b 将P(2,1)代入y＝x得a＝2b. a a2＋b2＝c2,5b2＝25，b2＝5，a2＝4b2＝20， x2y2 所以方程为－＝1.故选A. 205答案：A 4．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2等于( ) 1A. 4 B．虚轴长相等 D．焦距相等 sin2θ＋cos2θ＝1，双曲线C2的半焦距c2＝ cos2θ＋sin2θ x2y2 B．－＝1 520x2y2 D．－＝1 2080 3B． 5 17 3C. 4 解析：∵c2＝2＋2＝4， ∴c＝2,2c＝|F1F2|＝4， 由题可知|PF1|－|PF2|＝2a＝22， |PF1|＝2|PF2|， ∴|PF2|＝22，|PF1|＝42， 4D． 5 422＋222－423 由余弦定理可知cos∠F1PF2＝＝.故选C. 42×42×22答案：C 5 5．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1 13的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( ) x2y2 A.2－2＝1 43x2y2 C.2－2＝1 34 x2y2 B．2－2＝1 135x2y2 D．2－2＝1 1312 5 解析：在椭圆C1中，因为e＝，2a＝26， 13即a＝13，所以椭圆的焦距2c＝10， 则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)， 根据题意，可知曲线C2为双曲线， 根据双曲线的定义可知， 双曲线C2中的2a2＝8， 焦距与椭圆的焦距相同， 即2c2＝10， 可知b2＝3， x2y2 所以双曲线的标准方程为2－2＝1.故选A. 43答案：A x2y2 6．(2014福州八中模拟)若双曲线－＝1渐近线上的一个动点P总在平面区域(x－ 916m)2＋y2≥16内，则实数m的取值范围是( ) 18 A．[－3,3] C．[－5,5] B．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．(－∞，－5]∪[5，＋∞) x2y2 解析：因为双曲线－＝1渐近线4x±3y＝0上的一个动点P总在平面区域(x－m)2＋ 916|4m| y2≥16内，即直线与圆相离或相切，所以d＝≥4，解得m≥5或m≤－5，故实数m的 5取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D. 答案：D 二、填空题 x2y2 7．(2013年高考辽宁卷)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若 916PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________． 解析：由题知，双曲线中a＝3，b＝4，c＝5， 则|PQ|＝16， 又因为|PF|－|PA|＝6， |QF|－|QA|＝6， 所以|PF|＋|QF|－|PQ|＝12， |PF|＋|QF|＝28， 则△PQF的周长为44. 答案：44 x2y2 8．已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的 ab距离为1，则双曲线C的方程为________． 解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c－a＝1， c 又e＝＝2，两式联立得a＝1，c＝2， a∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，∴方程为答案：x2－ x2－ y2 ＝1. 3 y2 ＝1 3 19 x2y2 9．(2014合肥市第三次质检)已知点P是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)和圆x2＋y2＝a2＋ abb2的一个交点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，∠PF2F1＝2∠PF1F2，则该双曲线的离心率为________． 解析：依题意得，线段F1F2是圆x2＋y2＝a2＋b2的一条直径， 故∠F1PF2＝90°，∠PF1F2＝30°， 设|PF2|＝m， 则有|F1F2|＝2m，|PF1|＝3m， 该双曲线的离心率等于 |F1F2|2m ＝＝3＋1. ||PF1|－|PF2||3m－m答案：3＋1 x2y2 10．(2013年高考湖南卷)设F1，F2是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若 ab在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________． 解析：设点P在双曲线右支上， 由题意，在Rt△F1PF2中， |F1F2|＝2c，∠PF1F2＝30°， 得|PF2|＝c，|PF1|＝3c， 根据双曲线的定义： |PF1|－|PF2|＝2a，(3－1)c＝2a， c2 e＝＝＝3＋1. a3－1答案：3＋1 三、解答题 11．已知双曲线 x2－ y2 ＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，2 且点P是线段AB的中点？ 解：法一 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上， 且线段AB的中点为(x0，y0)， 若直线l的斜率不存在，显然不符合题意． 20 设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)， 即y＝kx＋1－k. y＝kx＋1－k，由 y2 2x－2＝1， 得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2 ＝0(2－k2≠0)． x1＋x2k1－k∴x0＝＝. 222－kk1－k由题意，得＝1， 2－k2解得k＝2. 当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解． ∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点． 法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 若直线l的斜率不存在， 即x1＝x2不符合题意， 所以由题得 y2y21222x1－＝1，x2－＝1， 2 2 ① y1＋y2y1－y2 两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0， 2y1－y2 即2－＝0， x1－x2即直线l斜率k＝2， 得直线l方程y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1， 21 y＝2x－1，联立 y2 2x－2＝1 得2x2－4x＋3＝0， Δ＝16－24＝－8<0， 即直线y＝2x－1与双曲线无交点，即所求直线不合题意， 所以过点P(1,1)的直线l不存在． 12．(2014南京质检)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程； (2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值． 解：(1)由已知c＝13， 设椭圆长、短半轴长分别为a、b， 双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n， a－m＝4，则1313 7·＝3·，ma 解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2. x2y2 ∴椭圆方程为＋＝1， 4936x2y2 双曲线方程为－＝1. 94 (2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点， 则|PF1|＋|PF2|＝14， |PF1|－|PF2|＝6， ∴|PF1|＝10，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝213， |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 ∴cos∠F1PF2＝ 2|PF1||PF2| 22 102＋42－21324＝＝. 52×10×4 第八篇 第5节 一、选择题 1．(2014银川模拟)抛物线y＝2x2的焦点坐标为( ) 1 A.2，0 10， C.8 B．(1,0) 1 0， D．4 11 0，.故选C. 解析：抛物线y＝2x2，即其标准方程为x2＝y，它的焦点坐标是82答案：C x2y2 2．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( ) 49A．x2＝－45y C．x2＝－413y B．y2＝－45x D．y2＝－413x 解析：由椭圆方程知，a2＝9，b2＝4，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，－c)，其中c＝ a2－b2＝5， ∴抛物线焦点坐标为(0，－5)， ∴抛物线方程为x2＝－45y.故选A. 答案：A 3．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离 C．相切 B．相交 D．不确定 解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线为l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，111 于是M到l的距离d＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|，故圆与抛 222物线准线相切．故选C. 答案：C 4．(2014洛阳高三统一考试)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为( ) 23 5A. 310C. 3 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 其中x1>0，x2>0， 过A，B两点的直线方程为x＝my＋1， 8B． 3D．10 将x＝my＋1与y2＝4x联立得y2－4my－4＝0， y1y2＝－4， x1＋1＝3x2＋1，则由 2y2 y1y1y222 ＝＝1，416x1x2＝4·1 解得x1＝3，x2＝， 3 x1＋x28 故线段AB的中点到该抛物线的准线x＝－1的距离等于＋1＝.故选B. 23答案：B 5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( ) 3 A. 45C. 4 1 解析：∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3， 25 ∴xA＋xB＝. 2 xA＋xB5 ∴线段AB的中点到y轴的距离为＝. 24故选C. 答案：C 6．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( ) A．(0,2) C．(2，＋∞) B．1 7 D． 4 B．[0,2] D．[2，＋∞) 24 解析：∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)， 准线方程为y＝－2. 由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2. 以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2. 由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4， 故4 7．动直线l的倾斜角为60°，且与抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________． 解析：设直线l的方程为y＝3x＋b， y＝3x＋b，联立 2x＝2py 消去y， 得x2＝2p(3x＋b)， 即x2－23px－2pb＝0， ∴x1＋x2＝23p＝3， ∴p＝ 3 ，则抛物线的方程为x2＝3y. 2 答案：x2＝3y 8．以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y＝－4，则圆心为(0,4)，半径r＝8. 所以，圆的方程为x2＋(y－4)2＝64. 答案：x2＋(y－4)2＝64 9．(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________． 解析：∵抛物线y2＝4x， ∴焦点F的坐标为(1,0)． 25 又∵直线l倾斜角为60°， ∴直线斜率为3， ∴直线方程为y＝3(x－1)． y＝3x－1，联立方程 2y＝4x， 解得23 y＝－，3 1 1x1＝， 3 x2＝3，或 y2＝23， 由已知得A的坐标为(3,23)， 11 ∴S△OAF＝|OF|·|yA|＝×1×23＝3. 22答案：3 7 10．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A则|PA|2，4，＋|PM|的最小值是________． 解析：设点M在抛物线的准线上的射影为M′. 11 由已知可得抛物线的准线方程为x＝－，焦点F坐标为2，0. 2求|PA|＋|PM|的最小值，可先求|PA|＋|PM′|的最小值． 由抛物线的定义可知，|PM′|＝|PF|， 所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM′|，当点A、P、F在一条直线上时， |PA|＋|PF|有最小值|AF|＝5， 所以|PA|＋|PM′|≥5， 1又因为|PM′|＝|PM|＋， 219 所以|PA|＋|PM|≥5－＝. 229答案： 2三、解答题 11．若抛物线y＝2x2上的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线l：y＝x＋m对称，且x1x2 26 1 ＝－，求实数m的值． 2 解：法一 如图所示，连接AB， ∵A、B两点关于直线l对称， ∴AB⊥l，且AB中点M(x0，y0)在直线l上． 可设lAB：y＝－x＋n， y＝－x＋n，由得2x2＋x－n＝0， y＝2x2， 1n∴x1＋x2＝－，x1x2＝－. 221 由x1x2＝－，得n＝1. 2x1＋x21 又x0＝＝－， 2415 y0＝－x0＋n＝＋1＝， 4415－，， 即点M为44 51 由点M在直线l上，得＝－＋m， 443 ∴m＝. 2 法二 ∵A、B两点在抛物线y＝2x2上． 2y1＝2x1， ∴ 2 y2＝2x2， ∴y1－y2＝2(x1＋x2)(x1－x2)． 设AB中点M(x0，y0)， y1－y2则x1＋x2＝2x0，kAB＝＝4x0. x1－x21 又AB⊥l，∴kAB＝－1，从而x0＝－. 4又点M在l上， 27 1 ∴y0＝x0＋m＝m－， 411－，m－， 即M44 11 m－＝－x＋， ∴AB的方程是y－441 即y＝－x＋m－，代入y＝2x2， 2 1m－ 2113 m－＝0，∴x1x2＝－得2x2＋x－＝－，∴m＝. 2222 12．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1 →→→ (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值． p x－，与y2＝2px联立， 解：(1)直线AB的方程是y＝222从而有4x2－5px＋p2＝0， 5p 所以x1＋x2＝.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 4所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x. (2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4， y1＝－22，y2＝42， 从而A(1，－22)，B(4,42)． → 设OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)， 即C(4λ＋1,42λ－22)， 所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2. 28 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容