2012全国高中数学联赛试题(A卷)

一、 填空题：（本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上）

1．设P是函数yx2(x0)的图像上任意一点，过点P分别向直线yx和y轴作垂x线，垂足分别为A、B，则PAPB的值是 .

b、2．设ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、且满足acosBbcosAc，

的值是 .

3．设x、y、z∈[0，1]，则M3antAc，则5antBxyyzzx的最大值是 .

4．抛物线y22px（p0）的焦点为F，准线为l，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=

MN．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是 .

AB35．设同底的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC内接于同一个球，若正三棱锥P-ABC的侧面与底

面所成的角为45º，则正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是 . 6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2，若对任意的x[a,a2]，不等式f(xa)2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是 . 7．满足

11sin的所有正整数n的和是 . 4n38．某情报站有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从

上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是 .（用最简分数表示） 二、解答题：（本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 9．（本小题满分16分） 已知函数f(x)asinx131cos2xa，aR且a0． 2a2（1） 若对任意xR，都有f(x)0，求a的取值范围； （2） 若a2，且存在xR，使得f(x)0，求a的取值范围．

1

10．（本小题满分20分）

已知数列{an}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有

333． (a1a2an)3a1a2an（1） 当n3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1,a2,a3；

（2） 是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得a20132012？若存在，求出这样的无

穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．

11．（本小题满分20分）

如图，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且OBOD6． （1） 求证：OAOC为定值；

（2） 当点A在半圆M：(x2)y4(2x4)上运动时，求点C的轨迹．

2

22二试

一、（本题满分40分）

1．如图，在锐角ΔABC中，AB>AC，M、N是BC边上不同的两点，使得∠BAM=∠CAN，设ΔABC和ΔAMN的外心分别为O1、O2，求证：O1、O2、A三点共线．

2．试证明：集合A={2，2，…，2,…}满足：（1）对每个aA，及bN，若b2a1，，

2

n

则使b(b1)一定不是2a的倍数；（2）对每个aA（其中A表示A在N中的补集）且

a1，必存在bN，b2a1，使b(b1)是2a的倍数．

3

3．设P0，P．求1，…，Pn是平面上n1个点，它们两两间的距离的最小值为d（d0）

d证：P0PPPPP1020n3

4．设Sn1n(n1)!

11，n是正整数，证明：对满足0ab1的任意实数a，b，2n数列{Sn[Sn]}中有无穷多项属于（a，b）．这里[x]表示不超过实数x的最大整数．

4