数制转换

数制转换

一、数制

1、数制:是人类创造的数的表示方法，它是用一组代码符号和一套统一的规则来表示数的。如十六进制：有16个代码：0 - 9，A，B，C，D，E，F (A=10，B=11，C=12，D=13，E=14，F=15) ，逢十六进一。

2、基数:是一种数制中代码符号的个数。基数常用R表示，逢R进一。如十进制有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个代码，基数为10。二进制有0和1两个代码，基数为2。

常用数制有十进制、二进制、八进制和十六进制，分别用大写字母

D(decimal)、B(binary)、O(octal)和H(hexadecimal)来表示，有的书上用Q作为八进制的表示符号。

3、权:数制中的权是表示在一种数制下的数中某一位置上的数字所代表数值的大小。对于多位数，每一位数的数字乘以权就是该位数所表示的数值的大小，称为该位的位权。302=3*102+0*101+2*100

二、数制转换

不同进位计数制之间的转换原则：是根据两个有理数如相等，则两数的整数和分数部分一定分别相等的原则进行的。也就是说，若转换前两数相等，转换后仍必须相等。

(一)十进制数与非十进制数之间的转换 1、十进制数转换成非十进制数

把一个十进制数转换成非十进制数（基数记作R）分成两步.整数部分转换时采用“除R取余倒排法”，直到商为零；小数部分转换时采用“乘R取整顺排法”，直到为零或精确到小数点后几位。

在实现手工转换时，如果对二进制数已经比较熟悉。基本上记住了以2为底的指数值(20=1,21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,…)，即二进制数每一位上的权，对十进制数进行转换时，也可以不采用上述规则，基本上可以直接写出来。例如，

(45.625)10＝32＋8＋4＋1＋0.5＋0.125＝(10 1 1 01. 10 1) 2，即(101101.101)2。 (1105)10 = 1024+81 = 1024+ 64+16 + 1= (1000 10 10001) 2，即（10001010001） 2。

例如：(12.1875)10=( )2 整数部分:12

方法1:可看作8+4即23+22，化成二进制就是1100。 方法2: 按除2取余(模)的办法.

12/2 商6 余数0

6/2 商3 余数0

3/2 商1 余数1

1/2 商0 余数1

把余数由下到上记下就是2进制(1100)

1

小数部分:0.1875

乘2后把整数部分取出（按精确度），如: 0.1875*2 =0.3750 整数部分 0 0.3750*2 =0.7500 整数部分 0 0.7500*2 =1.5000 整数部分 1 0.5000*2 =1.0000 整数部分 1 注意: 小数是从上到下取(0011)

当然不是每个小数都能转换，只有最后一位为5 或者 0的才有可能. 这样把整数部分和小数部分加一起得到 1100.0011 2、非十进制数转换成十进制数 非十进制数(基数记作R，第j个数位的位权记作Rj)转换成十进制数的方法：按权展开求其和。

（11110)2=1*24+1*23+1*22+1*21+0*20==16+8+4+2+0=（30)10 （36)8=3*81+6*80=24+6=（30)10 （二）非十进制数之间的转换

由于3位二进制数构成1位八进制数码，4位二进制数构成１位十六进制数码。将二进制数转换成八进制或者十六进制表示时，应从小数点所在的位置分别向左、向右对每3位或者每4位二进制位进行分组，写出每一组对应的1位八或者十六进制数。若是小数点左侧（即整数部分）的位数不是3或者4的倍数，可以按在数的最左侧补0的方法理解，对于小数点右侧（即小数部分），应按在数的最右侧补0的方法处理。

1、二进制数与八进制数之间的转换二进制0110111001011101118进制01234567 ①二进制数转换成八进制数的方法.以小数点分界，整数部分自右向左、小数部分自左向右，每三位一组，不足三位时，整数部分在高位左边补0，小数部分在低位右边补0，然后写出对应的八进制数码。

将二进制数1101001转换成八进制数，则 (001 101 001)2 | | | ( 1 5 1)8

( 1101001)2=(151)8

②八进制数转换成二进制数的方法：用八进制数码对应的三位二进制数代替八进制数码本身即可。

( 6 4 3 . 5 0 3 )8 | | | | | | (110 100 011 . 101 000 011 )2 (643.503)8=(110100011.101000011)2 2、二进制数与十六进制数之间的转换

2

①二进制数转换成十六进制数的方法：以小数点分界，整数部分自右向左、小数部分自左向右，每四位一组，不足四位时，整数部分在高位左边补0，小数部分在低位右边补0，然后写出对应的十六进制数码。

②十六进制数转换成二进制数的方法：用十六进制数码对应的四位二进制数代替十六进制数码本身即可。

例如：将(163.5B)16转换成二进制数，则 ( 1 6 3 . 5 B )16 | | | | |

(0001 0110 0011. 0101 1011 )2 (163.5B)16=(101100011.01011011)2 ［练习］将（327.16）8转换成二进制数

［练习］将二进制数（1001110111001.00111）2转换为八进制数 ［练习］将（3D2.F4）16转换成二进制数

［练习］将二进制数（1001110111001.00111）2转换为十六进制数

3、八进制数与十六进制的相互转换 方法：

八进制数转换成十六进制：可以先把八进制转换为二进制，再转换成十六进制；

十六进制数转换成八进制：可以先把十六进制转换为二进制，再转换成八进制。

(34.21）8＝(011 100.010 001)2＝(0001 1100.0100 0100)2＝(1C.44)16

(3A.52)16=(0011 1010.0101 0010)2＝(000 111 010.010 100 100)2＝(72.244)8

（三）综合练习：

1、二进制、八进制和十六进制转换为十进制：按权展开法。

2、十进制转换为二进制、八进制和十六进制：整数部分：除权取余法，倒读；

小数部分：乘权取整法，正读。

3、二进制转换为十六进制：四位转换为一位 4、十六进制转换为二进制：一位转换为四位 5、二进制转换为八进制：三位转换为一位 6、八进制转换为二进制：一位转换为三位

［例］(894.8125）10＝( )2=( )8=( )16 解：(894.8125）10＝(1101111110.1101)2=(1576.64)8=(37E.D)16

(思考：先化成二进制，然后由二进制分别化成八进制和十六进制。)

3

二进制0110111001011101111000100110101011110011011110111116进制0123456789ABCDEF

［练习］

1、（198）10＝( )2＝( )16＝( )8 (先化成八进制简单点) 2、(3ABF)16＝( )2＝( )10＝( )8

3.二进制数1011.1010可转化为十进制数( C )。（1998年题）。

A)11.8 B)11.125 C)11.625 D)11.525 4.十进制数329可转化为八进制数 A 。（1998年题）

A)511 B)501 C)411 D)401

5.十进制数0.8125的二进制数表示为( B )（1999年题）。

A)0.1011 B)0.1101 C)0.1111 D)0.1001 6.八进制数34.54的二进制数表示为( A )（1999年题）

A)011100.101100 B)101100.011100 C)100011.100101 D)011100.001011 7.任何一个十进制小数都能精确地转化为二进制小数，反之亦然。 （2001年题）（错）

8：假设7×7的结果值在某种进制下可表示为61，则6×7的结果值相应地表示为( )。（2001年题）

（1）本题的正确思维及答案：本题考查的知识点是数制转换，但要求考生能熟练应用基数的概念。已知7×7=49D，可设61为R进制数，根据R进制数转换为十进制数的规则，可得方程：6×R+1=49，即R=8；最后将6×7的结果42D转换为八进制数即可。答案：52 （2）此题的拓展及变题：

一个数是152，它对应的十六进制数与6AH相等，该数是（ B）。 A)二进制数 B)八进制数 C)十六进制数 D)十进制数

4

三、二进制数的运算： 1、加法法则：

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10(进位：逢二进一)

［例10］11011＋1010=100101 1011＋10101 =100000

11011 1011 ＋ 1010 ＋ 10101 —————— —————— 100101 100000 练习： 101.1+11.11=1001.01 2、减法法则：

0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1(进位：退一当二) ［例11］101110－1001=100101 10110－10011=11

101110 10110 － 1001 － 10011 ————— ————— 100101 11

练习：1101-11=1010 111.0-101.1=1.1 100-1=11 3、乘法法则：

0*0=0 1*0=0 0*1=0 1*1=1 ［例12］ 11010×101=10000010

11010

× 101 ————— 11010 11010 ————— 10000010

练习： 101*100=10100 110*11=10010 1101*1011=10001111 4、除法法则：(有兴趣的同学可举一反三，自己思考) 0÷1＝0 1÷1＝1

5

1下面四个不同进制的数，最小的一个数是 C 。

（A）（11011001）2 （B）（75）10 （C）（37）8 （D）（A7）16

2小张用十六进制、八进制和十进制写了如下一个等式：52 - 19 = 33 式中三个数是各不相同进位制的数，试问52、19、33，分别为___B_____.

（A）八进制，十进制，十六进制 （B）十进制，十六进制，八进制 （C）八进制，十六进制，十进制 （D）十进制，八进制，十六进制 3十进制算术表达式 ：3*512 + 7*64 + 4*8 + 5的运算结果，用二进制表示为（B ）。

A．10111100101 B．11111100101 C．11110100101 D．11111101101 4与二进制数101.01011等值的十六进制数为(D)

A)A.B B)5.51 C)A.51 D)5.58 5. (0.5)10=( C ) 16.

A) 0.1 B) 0.75 C) 0.8 D) 0.25 6. V4地址是由( B ) 位二进制数码表示的。

A) 16 B) 32 C) 24 D) 8

7.(2047)10一(3FF)16+(2000)8的结果是( A ) 。

A) (2048)10 B) (2049)10 C) (3746)8 D) (1AF7)16

8十进制数2003等值于二进制数(A)。

A)11111010011 B)10000011 C)110000111 D)010000011L E)1111010011 9运算式(2008)10－(3723)8的结果是(B)。

A) (-1715)10 B) (5)10 C) (-5)16 D) (111)2 E) (3263)8

10.数100.625等值于二进制数（ B）。

A. 1001100.101 B. 1100100.101 C. 1100100.011 D. 1001100.11 E. 1001100.01

11和十进制数23的值相等的二进制数是（D。

A. 10110 B. 11011 C. 11011 D. 10111 E. 10011

12(2070)16 + (34)8 的结果是（A）。

A．（8332）10 B．（208A）16 C．（100000000110）2 D．(20212)8 13在二进制下，1100011+( B)=1110000。

6

A．1011 B．1101 C．1010 D．1111 14个正整数在二进制下有100位，则它在十六进制下有( C)位。

A．7 B．13 C．25 D．不能确定 15十六进制数9A在（B）进制下是232.

A. 四 B. 八 C. 十 D. 十二 数制转换

数制转换有两种题型，一般一题，分值1.5分。 题型一：R进制转十进制

解法就是：按权展开，但要注意各个位的权，最低位（最右边）的权是0次方，权值为1。

纯整数的情况：

(11010110)2 = 1×27 + 1×26 + 0×25 + 1×24 + 0×23 + 1×22 + 1×21 + 0×20 = (214)10

(2365)8 = 2×83 + 3×82 + 6×81 + 5×80 = (1269)10 (4BF)16 = 4×162 + B×161 + F×160 = (1215)10 整数带小数的情况：

(110.011)2 = 1×22 + 1×21 + 0×20 + 0×2-1 + 1×2-2 + 1×2-3 = (6.375)10 (5.76)8 = 5×80 + 7×8-1 + 6×8-2 = (5.96875)10

(D.1C)16 = D×160 + 1×16-1 + C×16-2 = (13.109375)10 题型二：十进制转R进制

注意：十进制的小数转R进制未必可以转完。

每日练习

一、任意进制转十进制

1、(1101101)2 = ( ) 2、(7754)8 = ( ) 3、(F1B9AC)16 = ( ) 4、(1011.11101)2 = ( ) 5、(75.1076)8 = ( )

7

6、(59D.10AC)16 = ( ) 二、十进制转任意进制

1、(173)10 = ( )2 2、(173.125)10 = ( )2 3、(173)10 = ( )8 4、(173.625)10 = ( )8 5、(173)10 = ( )16 6、(173.375)10 = ( )16

往年真题

1. 与16进制数 A1.2等值的10进制数是( )

A．101.2 B．111.4 C．161.125 D．177.25 2. 2E+03表示( )

A．2.03 B．5 C．8 D．2000

3. 在字长为16位的系统环境下，一个16位带符号整数的二进制补码为1111111111101101。其对应的十进制整数应该是( ) A．19 B．-19 C．18 D．-18 4. 十进制小数125.125对应的八进制数是( )

A．100.1 B．175.175 C．175.1 D．100.175 5. 与十进制数28.5625相等的四进制数是( )

A．123.21 B．131.22 C．130.22 D．130.21 E．130.20 6. (2008)10+ (5B)16 的结果是( )。

A．(833)16 B．(2099)10 C．(4063)8 D．(100001100011)2 7. 与十进制数28.5625相等的四进制数是( )。

A. 123.21 B. 131.22 C. 130.22 D. 130.21 8. (2008)10+ (5B)16的结果是( )。

A. (833)16 B. (2089)10 C. (4163)8 D. (100001100011)2 9. 算式 (1000)10－(100)16－(10)8的结果是( )。

8

A. (890)10 B. (986)8 C. (1011100000)2 D. (2E0)16 E. (736)10

10. 与十进制数17.5625相对应的8进制数是( )

A. 21.5625 B. 21.44 C. 21.73 D. 21.731 E. 前4个答案都不对 11. (2070)16+(34)8的结果是( ).

A. (8332)10 B. (208C)16 C. (100000000110)2 D. (20214)8 题解：统一为二进制运算，然后再转其他进制 12. 与十进制数1770对应的八进制数是( )。

A．3350 B．3351 C．3352 D．3540 13. (2070)16 + (34)8 的结果是( )。

A．(8332)10 B．(208A)16 C．(100000000110)2 D．(20212)8 14. 与十进制数1770.625对应的八进制数是( )。 A. 3352.5 B. 3350.5 C. 3352.1161 D. 3350.1151 E. 前4个答案都不对 15. (2010)16 + (32)8的结果是( )。

A. (8234)10 B. (202A)16 C. (100000000110)2 D. (2042)16

真题参考答案：

1A 2BC 3B 4A 5A 6B 7AC 8AD 9D 10C 11E 12AC 13A 14A

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