统计学常用公式

公式一

1. 众数【MODE】

（1） 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算

未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。

（2） 组距分组数据众数的计算

对于组距分组数据，先找出出现次数最多的变量值所在组，即为众数所在组，再根据下面的公式计算计算众数的近似值。 下限公式： M0=L+1i 1+2式中：M0表示众数；L表示众数的下线；1表示众数组次数与上一组次数之差；2表示众数组次数与下一组次数之差；i表示众数组的组距。 上限公式：

M0=U-2i 1+2式中：U表示众数组的上限。

2．中位数【MEDIAN】

（1）未分组数据中中位数的计算

根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置。设一组数据按从小到大排序后为X1，X2，…，XN，中位数Me，为则有：

Me=X（N+1）2 当N为奇数

1 Me=XN+XN 当N为偶数

2+122

（2）分组数据中位数的计算

分组数据中位数的计算时，要先根据公式N / 2 确定中位数的位置，并确定中位数所在的组，然后采用下面的公式计算中位数的近似值：

fi=1Ni Me=L+2-Sm-1fmd

式中：Me表示中位数；L表示中位数所在组的下限；Sm-1表示中位数所在组以下各组的累计次数；fm表示中位数所在组的次数；d表示中位数所在组的组距。

'.

.

3．均值的计算【AVERAGE】

（1）未经分组均值的计算

x+x+…xni1=未经分组数据均值的计算公式为： x=12nnnxi

（2）分组数据均值计算

x1f1+x2f2+L+xkfk=i1分组数据均值的计算公式为： x=kf1f2+L+fkkxifi

ifi14．几何平均数【GEOMEAN】

几何平均数是N个变量值乘积的N次方根，计算公式为：

G=nx1x2…xn=nxi-1ni

式中：G表示几何平均数；表示连乘符号。

5．调和平均数【HARMEAN】

调和平均数是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数，它有简单调和平均数与加权调和平均数两种计算形式。 简单调和平均数： H=n111++…+x1x2xn=n1i1xinn

mim1+m2+…+mn1加权调和平均数： H= =inmnm1m2mi++…+x1x2xni1xi'.

.

式中：H表示调和平均数。

6．极差【Range】

极差也称全距，是一组数据的最大值与最小值之差，即 R=maxxi-minxi

式中：R表示极差；maxxi和minxi分别表示一组数据的最大值与最小值。

7．平均差【Mean Deviation】

平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。

（1） 根据未分组资料的计算公式： AD=x-xi1innn

（2） 根据分组资料的计算公式： AD=x-xi1ififi1n

i式中：AD表示平均差

8．方差【Variance】和标准差【Standard Deviation】

方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。要求掌握方差和标准差的计算方法。

未分组数据方差的计算公式为： 2xxi1n2n

'.

.

分组数据方差的计算公式为： 2xi1nixi2fifi1n

式中：2表示方差。

方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：

未分组数据： xxi1n2n 分组数据： xi1nixi2fifi1n 式中：表示标准差。

9．离散系数

离散系数通常是就标准差来计算的，因此，也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标。

其计算公式为： V式中：V表示离散系数。

x

10．偏态【SKEW】

偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分布是左偏还是右偏。显然，判别偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系数了。

xi-xEXCEL中偏态系数的计算公式为： 

n-1n-2si1nn3'.

.

11．峰值【KURT】

EXCEL中峰值系数的计算公式为：

42nx-xnn13n1i n1n2n3i1sn1n3式中：s 表示样本标准差。

公式二

1．

均值估计

（1）样本均值的标准差

样本均值的标准差，即为样本均值的标准误差，又称为样本均值的抽样平均误差,它反

映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度，反映了所有可能样本的实际抽样误差水平。

样本均值的抽样平均误差计算公式为： 重复抽样方式： x2nn 不重复抽样方式： x2Nn nN1通常情况下，当N很大时，（N-1）几乎等于N，样本均值的抽样平均误差的计算公式也可简化为：

x2n1 nN在公式中，是总体标准差。但实际计算时，所研究总体的标准差通常是未知的，在大样本的情况下，通常用样本标准差S代替。

（2）大样本均值的极限误差 xZ2x （3）大样本下总体均值的区间估计

总体均值的置信度为（1）的置信区间：

'.

.

xz2xxz2x 即xz2（4）总体方差未知，小样本正态总体均值的区间估计

总体均值的置信度为（1）的置信区间：

nxz2n xt2xxt2x

ssxt2 nn即 xt22．比例估计

（1）样本比例的抽样平均误差

样本比例的抽样平均误差为：

重复抽样下： pp1p n上式中，p应为总体比例，实际计算时通常用样本比例p代替。

不重复抽样下： p（2）样本比例的抽样极限误差

p1pNnnN1p1pn1 nNPZ2p

（3）总体比率的区间估计

总体比例P的置信度为（1）的置信区间为：

pPppP

即 pZ2pppZ2p

3．

'.

总体均值检验

.

（1） 单一总体均值检验

①正态总体（总体方差已知）或大样本均值检验

检验统计量Z为： Zx0 n②正态总体（总体方差未知）小样本均值检验

检验统计量t为：

tx0 sn（2） 两个总体的均值检验

①两个正态总体均值检验——两个总体方差已知或大样本

Z检验统计量为：

x1x2-12Z 12n122n2大样本下对两个总体均值进行检验时，在总体标准差未知的情况下，可用样本标准差代替总体标准差进行计算，检验统计量不变。

②两个正态总体均值检验（小样本）——两个总体方差未知但相等

T检验统计量为：

Zx1x2-12 sp11n1n2 spn11s12n21s22n1n22

1n11n222其中： s1xix2 xx1； s2n1n11i1ii1222

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.

4． 总体比例检验

（1） 单一总体的比例检验

Z检验统计量： Zpp0p01p0n

（2） 两个总体比例的检验

检验的统计量为： Zˆ1pˆ2pˆ1pˆpˆ1pˆpn1n2

ˆ其中：pˆ1n2pˆ2n1pˆ为当p1p2时p1和p2的联合估计值。 ，pn1n25． 总体方差假设检验

（1） 单一正态总体方差的假设检验

检验统计量为：

n1s2 220其中：s2xi1nix2n1为2的估计量。

（2） 两个正态总体的方差假设检验

2检验统计量为： Fs12s2

其中： s12

xi1n1ix22； s2xi1n2ix2n11n21。

公式三

'.

.

1.单因素方差分析

设总体共分为k种处理进行观察，第j种处理试验了容量为nj的样本。 （1） 计算各项离差平方和

在单因素方差分析中，需要计算的离差平方和有3个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平项离差平方和。

总离差平方和，用SST（Sum of Squares for Total ）代表：

SSTxijx

i1j1njk2式中：x表示全部样本观测值的总均值。其计算公式为：

xxnij

误差离差平方和，用SSE（Sum of Squares for Error）代表：

SSExijxj

i1j1njk2式中：xj表示第j种水平的样本均值，xj

x

i1

nj

ij

nj

水平项离差平方和。为了后面叙述方便，可以把单因素方差分析中的因素称为A。于是水平项离差平方和可以用SSA（Sum of Squares for Factor A）表示。

SSA的计算公式为： SSAxjx

i1j1njk2（2） 计算平均平方

用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。对SST来说，其自由度为（n-1）；对SSA来说，其自由度为（r-1），这里r表示水平的个数；对SSE来说，其自由度为（n-r）。与离差平方和一样，SST、SSA、SSE之间的自由度也存在着如下的关系：

n-1=（r-1）+（n-r）

'.

.

对于SSA，其平均平方MSA（组间均方差）为： MSASSA r1SSE nr对于SSE，其平均平方MSE（组内均方差）为： MSE（3） 检验统计量F F

MSA MSE2．两因素方差分析

设两个因素A、B分别有k个水平和n个水平，共进行nk次试验。 （1） 计算各项离差平方和

在两因素方差分析中，需要计算的离差平方和有4个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平A、B项离差平方和。

总离差平方和，用SST（Sum of Squares for Total）代表： SSTxijx

1nk式中：x表示全部样本观察值的总均值，其计算公式为： xxij

nki1j12水平项离差平方和可以分别用SSA（Sum of Squares for Factor A）和SSB（Sum of Squares for Factor B）表示。

SSA的计算公式为： SSAx•jx

i1j1nk21n式中： x•jxij

ni1SSB的计算公式为： SSBxi•x

i1j1nk21k式中： xi•xij

kj1误差离差平方和，用SSE（Sum of Squares for Error）代表： SSExijxi•x•jx

i1j1nk2（2） 计算平均平方

'.

.

用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。对SST来说，其自由度为（nk-1）；对SSA来说，其自由度为（k-1），这里k表示水平A的个数；对SSB来说，其自由度为（n-1），这里n表示水平B的个数；对SSE来说，其自由度为（n-1）（k-1）。这样，把各项离差平方和除以各自的自由度，即得到平均的离差平方和，简称为均方：

MSASSESSASSB MSB MSE k1n1k1n1（3） 检验统计量F

F(A)MSAMSB F(B) MSEMSE公式四

1．拟合优度的检验统计量：

2i1kfifefe2

式中：fi表示类别i的观察频数；fe表示假设H0为真时，类别i的期望频数；k表示类别总数。 注意：当所有种类的期望频数均大于或等于5时，检验统计量服从自由度为（k-1）的2分布。

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