专题10 胡不归问题(解析版)

专题10 胡不归问题

【例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；

（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+2QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）， 即：3a＝3，解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3， 则顶点D（2，﹣1）．

（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得： 直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 过点P作y轴的平行线交BC于点H， 设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），

则S△PBC=•PH×OB=（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）=（﹣x2+3x）， ∵−2＜0，故S△PBC有最大值，此时x=2， 故点P（，−4）．

2

3

3

3

3

1232321

（3）存在，理由：

如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CG，作QH⊥GH，垂足为G， 则GQ=2CQ，

AQ+QC最小值＝AQ+GQ＝AG，

直线GC所在表达式中的k值为√3，直线GC的表达式为：y=√3x+3…①， 则直线AG所在表达式中的k值为−3，

则直线AG的表达式为：y=−3x+s，将点A的坐标代入y=−3x+s并解得：s=3， 则直线AG的表达式为：y=−联立①②并解得：x=故点G（则AG=

√3√3√3√3√31

123x+

√33⋯②，

1−3√3， 41−3√33+√3，），而点A（1，0）， 44

3+√3， 21

3+√3． 2

即：AQ+2QC的最小值为

【变式训练1】如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P．

（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；

（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+3E'B的最小值．

2

【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），

3𝑛=3𝑚=−则有{，解得{4，

𝑚+3𝑚+𝑛=0𝑛=3

∴抛物线y=−4x2+4x+3， 令y＝0，得到−x2+x+3＝0， 解得：x＝4或﹣1， ∴A（4，0），B（0，3），

3

𝑏=3𝑘=−设直线AB解析式为y＝kx+b，则{，解得{4， 4𝑘+𝑏=0𝑏=3

3

49439

∴直线AB解析式为y=−4x+3；

（2）如图1中，设P（x，−4x2+4x+3），则点N（x，−4x+3）， 则设△PAB面积为S， 则S＝S△PNA+S△PNB=

3

2113933

×PN×OA=×4×（−x2+x+3+x﹣3）=−x2+6x， 2244423

9

3

3

∵−＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为6，此时P（2，4.5）；

（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′=3，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．

4

∵OE′＝2，OM′•OB=3×3＝4， ∴OE′2＝OM′•OB， ∴

𝑂𝐸′𝑂𝑀′

4

=

𝑂𝐵

𝑂𝐸′

，

∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB， ∴

𝑀′𝐸′𝐵𝐸′

=

𝑂𝐸′𝑂𝐵23=，

3

2

∴M′E′=BE′，

∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），

最小值＝AM′=√42+(3)2=

44√10． 32

323【变式训练2】如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A，点B（3，0），交y轴于点C，点M（m，0）是线段OB上一点（与点O、B不重合），过点M作MP⊥x轴，交BC于点P，交抛物线于点Q，连接OP，CQ． （1）求二次函数的表达式；

（2）若∠COP＝∠QCP，求QP的长；

（3）若△CPQ是以CP为底边的等腰三角形，点N是线段OC上一点，连接MN，求MN+3CN的最小值．

1

【解答】解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3b+3，解得：b＝2， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，故点C（0，3）， 则OB＝OC＝3，故∠OCB＝∠OBC＝45°，

3𝑘+𝑏=0𝑘=−1设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则{，解得：{，

𝑏=3𝑏=3故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，

点M的坐标为：（m，0），则点P、Q的坐标分别为：（m，3﹣m）、（m，﹣m2+2m+3）， 则PQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+3m； ∵PQ∥y轴， ∴∠OCP＝∠CPQ， ∵∠COP＝∠QCP， ∴△OPC∽△CQP， ∴

𝑂𝐶𝑃𝐶

=

𝑃𝐶𝑃𝑄

，即PC2＝OC•PQ，

∴2m2＝3（﹣m2+3m）， 解得：m＝0（舍去）或，

59

故PQ＝﹣m2+3m=25；

（3）∵PQ∥y轴， ∴∠OCP＝∠CPQ，

∵△CPQ是以CP为底边的等腰三角形， ∴∠QCP＝∠QPC，

∴∠QCP＝∠PCO＝45°， ∴∠OCQ＝90°，即CQ∥x轴，

故点C、Q关于函数对称性直线x＝1对称，故点Q的坐标为：（2，3）；

过点C作直线l，过点M作MH⊥l交于点H，交y轴于点N，则点M、N为所求点，

设直线l与y轴负半轴夹角的正弦值为，即sin∠HCN=

3

√21

1

=sin∠NMO，则tan∠NMO=34，

13则NH=CN，

∴MN+3CN＝MN+NH为最小， ∵tan∠NMO=4，

∴设直线MH的表达式为：y=−4x+t， 将点M（2，0）的坐标代入上式并解得：t=2， 故点N（0，

√2）， 2

√2√2√2√21

则CN＝OC﹣ON＝3−

132，

13√2∴MN+CN的最小值＝MN+NH＝MN+CN=√22+(

2)2+×（3−

13√22）=

3+4√2． 3【变式训练3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C．E为抛物线上一点，直线AE交y轴于点D，且OD＝OA． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第四象限内的抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴交直线AE于点Q，交x轴于点F，过点P作PG⊥AE于点G，交x轴于点H，求PQ−2GQ的最大值，并求出此时点P的坐标；

√2

（3）如图2，点K为线段OD的中点，作射线AK，将该抛物线沿射线AK方向平移

√52

个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新抛物线与原抛物线交于点I．点N是平面内一点，点M是新抛物线上一点，若以点I、E、M、N为顶点的四边形是以IE为边的矩形，请直接写出点N的坐标．

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），

则﹣8a＝﹣4，解得a=2，

抛物线的表达式为y=2x2﹣x﹣4①；

（2）∵OA＝OD＝2，故点D（0，2），

由点A、D的坐标得，直线AE的表达式为y＝x+2， 设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣4），则点Q（x，x+2），

2111

∵OA＝OD，故∠QAK＝45°，

而GP⊥AE，则△PQG为等腰直角三角形，

过点G作GK⊥PQ于点K，则QK＝PK=则PQ−

14√2√22GQ，

12142GQ＝PQ﹣QK＝PK=PQ=（x+2−x2+x+4）=−x2+x+3，

1212∵−＜0，故抛物线开口向下， ∴PQ−

√22GQ有最大值，当x＝2时，PQ−

√22GQ的最大值为4，

此时点P（2，﹣4）；

𝑥=61

（3）联立y=x2﹣x﹣4和y＝x+2并解得{，故点E（6，8），

2𝑦=8∵点K为线段OD的中点，则点K（0，1），

∴tanKAO=𝑂𝐴=2，则sin∠KAO=，cos∠KAO=，

√5√5则该抛物线沿射线AK方向平移位，

则平移后的抛物线为y=（x﹣1）2﹣（x﹣1）﹣4+=（x﹣2）2﹣4=x2﹣2x﹣2②； 𝑥=2

联立①②并解得{，

𝑦=−4故点I的坐标为（2，﹣4），

设点M（m，n），n=2m2﹣2m﹣2③， 而点E（6，8），

则点I向右平移4个单位向上平移12个单位得到点E，

11

21212121√5个单位长度相当于向右平移1个单位向上平移个单22

𝑂𝐾

1

12

同样，点M（N）向右平移4个单位向上平移12个单位N（M）且EM＝MI（EN＝MI）， 当点M在点N的下方时，

即m+4＝s④，n+12＝t⑤，（m﹣6）2+（n﹣8）2＝（m+2）2+（n+16）2⑥， 将④⑤代入⑥并整理得：m+3n﹣10＝0⑦， 𝑚=

3或{𝑚=−2⑧， 联立②⑦并解得{14𝑛=4𝑛=9𝑠=3𝑠=2

则{或{， 122𝑡=16

𝑡=

928

16

故点N的坐标为（

283

，1229

）或（2，16）；

当点M在点N的上方时，

则m﹣4＝s，n﹣12＝t，（s﹣6）2+（t﹣8）2＝（m﹣2）2+（n+4）2， 同理可得，点N的坐标为（综上，点N的坐标为（

−23+√457）． 9

−√457−7−23+√457√457−7−23−√457，）或（，）； 39399

281223

，）或（2，16）或（

−√457−7√457−7−23−√457，）或（，393

【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．

（1）求线段AB的长；

（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH的长度；

（3）在（2）中，HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F′作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．

1

2

【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3，故点A（1，3）， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2，故点B（3，3）， ∴AB＝2；

（2）如图1中，设P（m，﹣m2+4m），作PN∥y轴交BE于N．

∵直线BE的解析式为y＝x， ∴N（m，m∴S△PEB=

），

1

×2×（﹣m2+3m）＝﹣m2+3m， 232

1

∴当m=时，△PEB的面积最大，此时P（，∴PH=4−3=4；

（3）存在，理由：

15

3

32），H（，3），

2

3

如图1，作直线OG交AB于G，使得∠COG＝30°，作HK⊥OG于K交OC于F， ∵FK=2OF，

1

∴HF+FO＝FH+FK＝HK，此时HF+OF的值最小， ∵S△OGH=•HG•OC=•OG•HK， ∴HK=

3×(√3+32)2√31

12121212=

33√3+， 243

3√3∴HF+2OF的最小值为=2+4， 如图2中，由题意CH=，CF=

3

2√32，QF′=，CQ＝1，

12

∴Q（﹣1，3），D（2，4），DQ=√10， ①当DQ为菱形的边时，

则DQ＝QS1=√10，而点Q（﹣1，3），则点S1（﹣1，3−√10）， 同理可得：S2（﹣1，3+√10），S4（5，3）； ②当DQ为对角线时，同理可得S3（﹣1，8），

综上所述，满足条件的点S坐标为（﹣1，3−√10）或（﹣1，3+√10）或（﹣1，8）或（5，3）．

【变式训练1】如图1，抛物线y=

√22

4x+2x﹣6√2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），

交y轴于C点，D点是该抛物线的顶点，连接AC、AD、CD． （1）求△ACD的面积；

（2）如图1，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过P作PE∥y轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PG⊥AD于点G，求EF+2FG的最大值，以及此时P点的坐标；

（3）如图2，在对称轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以BN

√5

为直角边的等腰Rt△BMN？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）令x＝0，得y=∴C（0，﹣6√2）， 令y＝0，得y=

√22

√22

4x+2x﹣6√2=−6√2，

4x+2x﹣6√2=0，

解得，x＝﹣6√2或2√2，

∴A（﹣6√2，0），点B（2√2，0）， 设直线AC的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， −62𝑘+𝑏=0则{√， 𝑏=−6√2𝑘=−1∴{， 𝑏=−6√2∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣6√2， ∵y=4x2+2x﹣6√2=4（x+2√2）2﹣8√2， ∴D（﹣2√2，﹣8√2），

过D作DM⊥x轴于点M，交AC于点N，如图1，

√2√2

则N（﹣2√2，﹣4√2）， ∴𝐷𝑁=4√2，

∴△ACD的面积=𝐷𝑁⋅𝑂𝐴=

121

×4√2×6√2=24； 2（2）如图1，过点D作x轴的平行线交FP的延长线于点H， 由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝﹣2x﹣12√2， 故tan∠FDH＝2，则sin∠FDH=

2， √5∵∠HDF+∠HFD＝90°，∠FPG+∠PFG＝90°， 而∠HFD＝∠PFG， ∴∠FPG＝∠FDH， 在Rt△PGF中，PF=则EF+

√5√5𝐹𝐺𝐹𝐺

==FG，

𝑠𝑖𝑛∠𝑃𝐹𝐻𝑠𝑖𝑛∠𝐹𝐷𝐻22FG＝EF+PF＝EP，

√22

x+2x﹣6√2），则点E（x，﹣x﹣6√2）， 4

√2√2设点P（x，

√5则EF+2FG＝EF+PF＝EP＝﹣x﹣6√2−（x2+2x﹣6√2）=−4x2﹣3x，

4

9√2𝑏

∵−4＜0，故EP有最大值，此时x=−2𝑎=−3√2，最大值为；

2

√2当x＝﹣3√2时，y=4x2+2x﹣6√2=−2， 故点P（﹣3√2，−2）；

（3）存在，理由：

设点M的坐标为（m，n），则n=4m2+2m﹣6√2①，点N（0，s）， （Ⅰ）当点M在x轴下方时， ①当∠MNB为直角时，如图2，

√2√215√215√2

过点N作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点H，交过点M与y轴的平行线于点G，

∵∠MNG+∠BNH＝90°，∠MNG+∠GMN＝90°， ∴∠GMN＝∠BNH，

∵∠NGM＝∠BHN＝90°，MN＝BN， ∴△NGM≌△BHN（AAS）， ∴GN＝BH，MG＝NH， 即n﹣s＝2√2且﹣m＝﹣s②，

联立①②并解得：m＝﹣2√2±2√10（舍去正值）， 故m＝﹣2√2−2√10；

②当∠NBM为直角时，如图3，

过点B作y轴的平行线交过点N与x轴的平行线于点G，交过点M与x轴的平行线于点H，

同理可证：△MHB≌△BGN（AAS），

则BH＝NG，即n＝﹣2√2， 当n＝﹣2√2时，√22

m+2m﹣6√2=−2√2，解得：m＝﹣2√2±2√3（舍去正值）， 4

故m＝﹣2√2−2√3； （Ⅱ）当点M在x轴上方时，

同理可得：m=−√2−√34或﹣3√2−√34；

综上，点M的横坐标为﹣2√2−2√10或﹣2√2−2√6或−√2−√34或﹣3√2−√34． 【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2）． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限内的抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，求PQ+5CQ的最大值，并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，将抛物线沿射线BC的方向平移√5个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新抛物线与原抛物线交于点G．点M是x轴上一点，点N是新抛物线上一点，若以点C、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．

√5

4𝑎−2𝑏+𝑐=0【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：{16𝑎+4𝑏+𝑐=0，

𝑐=2 𝑎=−4解得1．

𝑏= 2{𝑐=2

故抛物线的表达式为y=−4x2+2x+2①；

1

1

1

（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y=−x+2， 设点P（m，−m2+m+2），则点Q（m，−m+2）， 过点Q作QH⊥y轴于点H，

1

4321212

由点B、C的坐标知，CO＝2，OB＝4，则tan∠CBO=

√5𝐶𝑂1

==tan∠CQH，则sin∠CQH=𝐵𝑂25，

√5则CH＝CQsin∠CQH=则PQ+

1

√55CQ＝CH＝yC﹣yH＝2﹣（−m+2）=m，

321212143212125CQ＝（−m2+m+2）﹣（−m+2）+m=−m2+m，

√514∵−4＜0，故PQ+5CQ有最大值，

当m＝3时，PQ+5CQ最大值为，此时点P（3，）；

44

（3）将抛物线沿射线BC的方向平移√5个单位长度，则向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，

则抛物线的抛物线为y=−4（x+1）2+2（x+1）+2+1=−4x2−2x+3②； 𝑥=19

9，故点G（1，）联立①②并解得{， 𝑦=44设点N的坐标为（x，−x2−x+3）， ①当CG是边时，

将点C向上平移个单位得到点G，则点N（M）向上平移个单位得到M（N），

4

4

1

1

1

4121

3

1

1

√595

即−4x2−2x+3±=0，解得x＝﹣1±√10或1±2√2，

4

11

1

故点N的坐标为（﹣1+√10，）或（﹣1−√10，）或（﹣1+2√2，−4）或（﹣1﹣2√2，

4

4

11

1

−）；

②当CG是对角线时，

由中点公式得：（2+4）=2（−4x2−2x+3），

21

9

1

1

1

14整理得：x2+2x+5＝0， ∵△＜0，故该方程无解；

综上，点N的坐标为（﹣1+√10，）或（﹣1−√10，）或（﹣1+2√2，−4）或（﹣1﹣

4

4

1

1

1

2√2，−4）．

【变式训练3】如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． （1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若

𝐶1𝐶2

1

=，求m的值；

5

6

（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E'A、E'B，求E'A+E'B的最小值．

2

3

【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0， ∴（x+1）（ax+3）＝0， ∴x＝﹣1或−𝑎，

∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0）， ∴−𝑎=4， ∴a=−4．

∵A（4，0），B（0，3），

33

3

𝑏=3

设直线AB解析式为y＝kx+b，则{，

4𝑘+𝑏=0解得{𝑘=−4，

𝑏=3

∴直线AB解析式为y=−4x+3；

（2）如图1，

3

3

∵PM⊥AB，PE⊥OA， ∴∠PMN＝∠AEN， ∵∠PNM＝∠ANE， ∴△PNM∽△ANE， ∴

𝑃𝑁𝐴𝑁

=，

5

6

∵NE∥OB， ∴

𝐴𝑁𝐴𝐵

=

𝐴𝐸𝑂𝐴

，

∴AN=（4﹣m），

∵抛物线解析式为y=−4x2+4x+3，

∴PN=−4m2+4m+3﹣（−4m+3）=−4m2+3m， ∴

−𝑚2+3𝑚

3

45(4−𝑚)4

39

3933

=，

5

6

解得m＝2或4，

经检验x＝4是分式方程的增根， ∴m＝2；

（3）如图2，在y轴上 取一点M′使得OM′=，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．

43

∵OE′＝2，OM′•OB=∴OE′2＝OM′•OB， ∴

𝑂𝐸′𝑂𝑀′

4

×3＝4， 3=

𝑂𝐵

𝑂𝐸′

，

∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB， ∴

𝑀𝐸′𝐵𝐸′

=

𝑂𝐸′𝑂𝐵23=，

3

2

∴M′E′=BE′，

∴AE′+3BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+3BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），

最小值＝AM′=√42+(3)2=

4

4√10． 32

2