复合函数

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复合函数

复合函数是中学数学里，深化函数概念、提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历年高考常考不衰的热点。但高中数学教材未作介绍，而其他教辅资料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中，介绍有关内容很有必要。

一、复合函数的概念

我们常见的复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u又是x的函数，即yf(u)，

ug(x)，那么y关于x的函数yf[g(x)]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。例如ysin2x它与ysinx不同，不是基本初等函数，而是由三角函数ysinu和一次函数u2x经过

“复合”而成的一个函数。由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。

1、由字面理解

“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来，得到的形如af(x)bg(x)或af(x)bg(x)的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射，构作的一个复合映射确定的函数。这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂运算、指数运算、对数运算、三角运算、反三角运算等。自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。例如，复合函数ysin2x是自变量x先“乘2”（第一

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次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数ysin2x，因此有人说复合函数是函数的函数。

为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数。从外向内看，函数yf[g(x)]中，称f定义的函数yf(u)为外层函数（外函数），称g定义的函数ug(x)为内层函数（内函数），且称函数yf[g(x)]为函数f和g复合一次得到。这里外层函数的映射法则f和内层函数的映射法则g，构作的复合函数的映射法则称为复合映射fg（注意：不能把fg读作“f乘g”，因为复合映射不具有交换律，即fggf，这是复合映射很重要的一个基本特征）。有人形容复合映射fg是具有传递性的两个映射f和g的链条，可以帮助我们理解复合函数的内涵。

2、从函数定义理解

既然函数yf[g(x)]可视为函数yf(u)和函数ug(x)复合得到，因此它们都必须符合函数的定义，这才是复合函数定义的关键所在。除前面对复合映射结构特征的分析外，我们还须从定义域和值域都是非空的数集出发，考察复合函数定义的相应要求。

设函数ug(x)的定义域是D，值域是M；再设yf(u)的定义域是N，值域是R，则

D、M、N、R都是非空的数集。从“复合”中我们发现，内层函数ug(x)具有两重性：一方面

它是自变量为x的函数，当xD时，则有g(x)M；另一方面它又是函数yf(u)的自变量，当

g(x)uN时，则有yf(u)R。要使yf(u)仍然是函数，就要求ug(x)的值域M和yf(u)的定义域N必须有交集（非空数集）。MN∅是复合函数的一个必要但不充分的条件，也就是说，函数yf(u)的定义域N，既受到外层函数的映射法则f的制约，又受到内层函数ug(x)的值域M的限定。只看一面，不看另一面就会犯概念的错误。有的同学不加分析地认为，任何

2yarccos(x2)等都yln(sinx2)两个函数都可以复合成一个复合函数，事实却不然，例如，

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不是复合函数，因为ylnu是对数函数，定义域N必须符合u0(uN)，但usinx2,而

|sinx|1，因此sinx21,于是可得MN{u|u0}{sinx2|sinx21}∅,故yln(sinx2)2yarccos(x2)也不能构成复合函数（它们都不是函数）不能构成复合函数。同理，。

据此，反思前面给出的定义，我们发现这个定义是不严谨的，它忽视了构造复合函数

yf[g(x)]过程中，各层子函数及它们复合后的整体都必须适合函数的定义。为此，我们把定

义补充为：如果y是u的函数yf(u)，而u又是x的函数ug(x)，且对于x值所对应的u值，函数yf(u)是有定义的，即yf(u)，uN，ug(x)，g(x)M，MN∅，则y关于x的函数

yf[g(x)]叫做f和g的复合函数。

3、从结构特征理解

除最内层函数允许对自变量施行加、乘运算外，每一次复合都是把内层函数的整体，作为自变量施行新的映射，这样，像穿衣服一样，从内到外逐次添加映射，直至构造出所需函数。这一独特的发生过程，不仅给出了复合函数的结构特征，使我们能迅速判断已知函数式是不是一个复合函数，而且也使我们明白了，复合函数不是一类新的独立的基本初等函数，而是几个简单函数的特殊构造，因次，我们可以先分析参与复合的简单函数的性态，来研究复合函数的相应属性。

4、从穿脱原理理解

穿脱原理是复合函数与简单函数相互转化的工具，由它可将简单函数构造成复合函数，也可将复合函数分拆为简单函数。

uy3先看复合，例如由，usinv，vx，欲得到复合函数，可从外层函数开始，逐次代

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usinvsiny333换添加映射，每代换一次增加一个映射，即x，最后得到y关于x的复合函数y3sinx。

一般地，由yf(u)，ug(v)，v(x)的复合过程可记为yf(u)f[g(v)] f{g[(x)]}。

11x2可以从外层函数开始逐层分拆为简单函数，每拆一层，

12再看分拆，例如函数

ylnsin设一个中间变量，即最外层函数记为ylnu，第二层记为usinv，第三层记为vt，第四层记为t1x。上述多次令中间变量进行的代换，叫做连续代换或锁链代换，实质上是换元法。

2穿脱原理从发生过程深化了复合函数的概念，在复合函数的性态研究中，具有重要作用。例如求复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、极值、反函数时都需要它，一些重要运算，如求导、微分等更要依靠它。

二、复合函数的简单性质

在中学，我们可以探讨复合函数的哪些性质呢？和常见的基本初等函数一样，我们可以探讨复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、极值与最值。探讨过程中，最关键的是要注意复合映射的多层制约，是否使复合函数仍有定义，研究它的每一层映射对复合函数性质的影响。

1、求定义域 因为多层复合映射结构复杂，所以使得求复合函数定义域的题型形式多样，现列举主要题型如下。

（1）已知复合函数的表达式，求复合函数的定义域。

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将已知复合函数正确地拆成几个常见的简单函数，根据使函数解析式有定义的要求，由外到内，列出所有限制条件对应的不等式，所得不等式组的解集就是复合函数的定义域。

①求函数

ylog1(log2(x21))2的定义域。

解：要使函数

ylog1(log2(x21))2有意义，须满足

log1(log2(x21))02（使根式有意义），

log2(x21)0（使对数有意义），

x210（使对数有意义），

解得1x0或0x1，

故所求函数的定义域为[1,0)(0,1]。

（2）已知函数yf(x)的定义域，求复合函数yf[g(x)]的定义域。

因为f代表同一映射，只需用代换法则，先将原函数的定义域写成x的不等式，再将x换成中间变量g(x)，解所得不等式即可。

②已知函数yf(x)的定义域是[0,1]，求函数 yf(sinxcosx)的定义域。

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02sin(x)14解：由题设知，0sinxcosx1，即 ，

2k4x2k2，或

(2k1)x(2k1)4，kZ。

故函数yf(sinxcosx)的定义域是

[2k,2k][(2k1),(2k1)](kZ)424。

（3）已知复合函数的定义域，求外层函数的定义域。

实质是从已知复合函数中x的取值范围，求出这个复合函数的中间变量的范围（或内层函数的值域）。

1)lgx1的定义域是[100,1000]，求函数yf(x)的定义域。

③已知函数

yf(解：由100x1000得，2lgx3，

1111lgx12 ， 2lgx1，

1[,1]故函数yf(x)的定义域是2。

2、求函数表达式 中学阶段，求复合函数表达式大致可归纳为两种题型，一是已知各层

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子函数的映射法则，求复合函数的表达式；二是已知复合函数适合的函数方程，求复合函数的表达式。

（1）已知中间变量，求复合函数

用代换法则像求函数值一样，从内向外逐次将内层函数的表达式，代换外层函数的自变量解出。每次代换只看一层，只代换一个中间变量。函数的映射法则是对自变量单x定义的，故复合函数的表达式最终也须将表达式用单x的运算表示。

12x，求函数f[f(x)]的表达式。

④已知函数

f(x)解：

f(x)12x，

f[f(x)]f(112x)12x32x22x

（2）已知复合函数，求原函数

关键是沟通中间变量与复合函数表达式间的映射关系，找到原函数，用中间变量的整体作自变量的映射法则，常用配凑法、换元法、待定系数法等。

2f(cosx1)cosx，求f(x)。 ⑤已知

2f(t)(t1)tcosx1cosxt1解：令，则，所以；

1cosx1，2cosx10，即2t0，

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2f(x)(x1)故，(2x0)。

（3）已知复合函数适合的函数方程，求复合函数的表达式

中学只涉及简单的函数方程，因此，关键是将所求复合函数看作未知变量，根据函数方程的结构特征，采用代换方法建立方程组，消元解之。

nnaf(x)f(x)bx，其中a1，n为奇数，求函数f(x)。 ⑥已知

解：由题意可知，令xx，由于n为奇数，故有

af(xn)f(xn)bx；

结合已知条件，可解得

f(xn)bxa1，

bnxf(x)a1。 a1n又因为，为奇数，故

（4）已知复合函数，求与外层函数映射法则相同的另一复合函数

先由已知的复合函数求原函数，再由原函数求另一复合函数。

2f(x3)x2x1，求函数f(x3)。 ⑦已知

22f(t)(t3)2(t3)1(t2)tx3xt3解：设,则，有，

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f(x)(x2)2；

22f(x3)[(x3)2](x5)故。

3、求值域 在复合函数定义域内，先求出最内层函数的值域，再用它作为中间函数的“自变量”，求出中间函数值域，依次外推直至求出最外层函数的值域。

32)3的值域。

⑧求函数yarccos(sinx)，

(x解：

3x32sinx123， ；

又yarccosu是减函数，

0arccos(sinx)56

故所求函数的值域是

[0,5)6。

4、判断函数奇偶性 通常方法是根据奇偶性的定义进行判断，容易产生的一类负迁移是：认为构成复合函数的每层简单函数都要有奇偶性时，复合函数才有奇偶性，这是错误的。例如函数ylgcosx，可拆成ylgu，ucosx，易知外层函数ylgx不具有奇偶性，但内层函数

ucosx是偶函数，由定义可知ylgcosx是偶函数。

当复合函数各层子函数都有奇偶性时，可用下列法则判断它的奇偶性。

定理1 当内层函数u(x)为偶函数时，复合函数yf[(x)]为偶函数（此时f可为任意函

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数），简记为“内偶则偶”。

定理2 当内层函数u(x)为奇函数时，若外层函数yf(u)为奇函数，则复合函数

yf[(x)]为奇函数；若外层函数yf(u)为偶函数，则复合函数yf[(x)]为偶函数，简记为

“内奇外奇则为奇”、“内奇外偶则为偶”。

5、判断函数单调性 通常做法仍然是由函数单调性的定义判断，但若其中某层中间变量没有单调性时，则复合函数无单调性。只有复合函数的各层子函数在定义域上均为严格单调函数时，复合函数才具有单调性，并可用下列法则判断复合函数的单调性。

定理1 当yf(u)，ug(x)均为增函数时，则复合函数yf[g(x)]为增函数；当yf(u)，

ug(x)均为减函数时，则复合函数yf[g(x)]为增函数，简记为“同向为增”。

定理2 当yf(u)为增函数，ug(x)为减函数，或yf(u)为减函数，ug(x)为增函数时，则复合函数yf[g(x)]为减函数，简记为“异向为减”。

以上定理可推广至n层复合函数，即：

定理3 若有限次复合函数的每层子函数均有意义且严格单调，则减函数的层数为偶数时，复合函数为增函数；减函数的层数为奇数时，复合函数为减函数。

6、求函数周期性

（1）由周期函数的定义易知，关键是最内层函数是否有周期性，当最内层函数为周期函数时，复合函数必为周期函数，但最小正周期可能改变。

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22yuycosx例如函数，由，ucosx复合得到，内层函数ucosx为周期函数，T2，

2ycosx仍为周期函数，但T。 则

若外层函数yf(u)为严格单调函数，内层函数ug(x)是以T为周期的函数，并且有最小正周期T0，则复合函数yf[g(x)]是周期函数，并且有最小正周期T0。

（2）当内层函数无周期性，外层函数有周期性时，应由周期函数的定义判断。特殊情形可由下列定理判断：

定理1 若外层函数yf(u)是以T为周期的函数，且uaxb则复合函数yf(axb)是周

T期函数，周期为|a|。

定理2 若外层函数yf(u)为周期函数，且函数yf(u)为偶函数，u|x|，则复合函数

yf(|x|)是周期函数。

7、求函数的最值

（1）已知复合函数的表达式，求复合函数的最值

若外层函数是严格单调函数，内层函数有最值时，内层函数的最值点就是复合函数的最值点；若外层函数有最值时，外层函数的最值点就是复合函数的最值点。

若外层函数yf(u)与内层函数ug(x)都是严格单调函数时，复合函数yf[g(x)]的值域为开区间，则复合函数无最值；值域为闭区间，则复合函数既有最大值，也有最小值；值域为半开半闭区间，则复合函数只有最大值而无最小值，或只有最小值而无最大值。

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⑨已知0a2，求函数y(sinxa)(cosxa)的最值。 2y(sinxa)(cosxa)sinxcosxasinxacosxa解：

(sinxcosx)21(sinxcosx)aa22 ，

sinxcosx2sin(x)4知|t|2， 令tsinxcosx，由

t2111yata2(ta)2(a21)222，

当ta时，

y最小12(a1)2；

当t2时，

y最大a22a12。

（2）已知复合函数，求原函数的最值

先由复合函数求得原函数，再求原函数的最值。

8x74x24x2，求函数f(x)的最值。

⑩已知

f(2x1)解：令t2x1，则

xt14t3f(t)22，于是得t1，

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f(x)4x3y2x1，(xR)；

2yx4xy30， 即

当y0时，

x34；当y0时，因xR，故164y(y3)0，

1y4，且当

x12时,f(x)max4；当x2时,f(x)min1。

8、求反函数 当复合函数yf[g(x)]的各层子函数均为严格单调函数时，有反函数。一般先逐层求出各层子函数的反函数，然后复合为原函数的反函数，或用穿脱原则从外到内依次取原映射的逆映射。注意由原函数的值域写出它的反函数的定义域。

y2arctan(2x)2的反函数。 例题 求函数

1y1xy2arctan(2x)x(tan)ytan)2，222，故224， 解:

又

arctan(2x)2arctan(2x)222，2，

故所求反函数为

y1xtan)224，(x)。

三、复合函数的图象

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作复合函数的图象一般都比较复杂，这里仅介绍用图象变换法作复合函数的图象。当复合函数yf[g(x)]可视为由常见的简单函数经过平移、伸缩、对称等变换得到时，可由简单函数的图象施行图象变换作出复合函数的图象。

1y2lg(x1)23例题 作函数的图象。

1y2lg(x1)23解：原函数的图象可由函数ylgx的图象经过下列变换得到：

1ylg(x1)x轴伸长3倍后，向右平移3个单位ylgx沿3

11ylg[(x1)]y2lg[(x1)]关于x轴对称x3对称y轴方向伸长2倍关于直线沿 33111y2lg[(x1)]沿y轴向下平移2个单位y2lg[(x1)]22lg(x1)2333。

图象 略。

四、复合函数的符号语言

对复合函数的符号语言，应从函数定义与函数符号出发，准确理解，不可误读误写误用。

（1）f(x)与f(x)的区别

f(x)是简单函数的记号，而f(x)则为复合函数的记号，yf(x)由yf(u)，ux复合

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而成。

（2）yf[g(x)]与yg[f(x)]的区别

由于复合映射fg不具有交换律，即fggf，所以它们是两个不同的复合函数，不是

111yf[f(x)]yf[f(x)]yf[f(x)]x,这里同一个复合函数。因此与也不是同一个函数；比如1yf[f(x)]x，这里的x却表示函数yf(x)定义yf(x)x的表示函数值域中的任一个值，而

域中的任一个值。例如ysin(arcsinx)x，x[1,1]；yarcsin(sinx)x，xR。

111（3）yg[f(x)]与yf[g(x)]的区别

11yg[f(x)]是复合函数yf[g(x)]的反函数，它们的图象关于直线yx对称。而函函数

1yf[g(x)]不是f[g(x)]的反函数，它们的图象关于直线yx不对称，严格地说它们是关于数

中间变量ug(x)成反函数关系，它们的图象应由外层函数的反函数关系，结合内层函数施行相应的几何变换或代数变换而得到。

1yf(x4)的图象过点( )。 yf(x)(0,1)例题 已知函数的图象过点，则函数

错解：因函数yf(x)的图象过点(0,1)，而函数yf(x4)的图象可由函数yf(x)的图象

1yf(x4)yf(x4)(4,1)4向左平移个单位得到，故的图象必过点，再由反函数定义知函数

的图象必过点(1,4)。

1yf(x)的图象应过点(1,0)，又yf(x4)的图象可yf(x)(0,1)正解：因的图象过点，故11yf(x4)yf(x)的图象向左平yf(x)4由的图象向左平移个单位得到，所以的图象应由1yf(x4)必过点(3,0)。 移4个单位得到，故

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综上所述，我们只有通过做大量的习题，才能掌握复合函数的概念及性质，为后续学习打下坚实的基础。

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