高三新高考备考监测联考 数 学 2019.10
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语,函数与导数,三角函数与解三角形,平面向量,数列.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共13小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的四个选项中,第1~10题只有一项符合题目要求;第11~13题,有多项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的不得分. 1.若集合M={x|-1<2-x≤1},N={x|x2-6x+8<0},则M∪N=
A.(2,3] B.(2,3) C.[1,4) D.(1,4) 2.若
=(1,2),
=(1,0),则
=
A.(2,2) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) 3.函数f(x)=
+ln|x|的定义域为
A.[-1,+∞) B.[-1,0)∪(0,+∞) C.(-∞,-1]
D.(-1,0)∪(0,+∞)
4.若{an}是首项为1的等比数列,则“>9”是“a2>3”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知两个单位向量e1,e2的夹角为60°,向量m=5e1-2e2,则|m|=
A.
B.
C.2
D.7
6.在△ABC中,AC=3,AB=4,BC=6,则△ABC的最大内角的余弦值为
A. B.- C.- D.-
7.已知cos 27°≈0.891,则(cos 72°+cos 18°)的近似值为
A.1.77 B.1.78 C.1.79 D.1.81
8.函数f(x)=在[-π,π]上的图象大致为
9.将曲线y=2sin(4x+)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得曲线关于y轴对称,最后得到的曲线的对称轴方程为
A.x=+(k∈Z) B.x=-+(k∈Z)
C.x=+(k∈Z) D.x=-+(k∈Z)
10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且f(x)的图象关于点(3,0)对称,当
1≤x≤2时,f(x)=2x+log3(4x+3),则f(
A.-4
B.4 C.-5 D.5
)=
11.下列有四个关于命题的判断,其中正确的是
A.命题“∃x0∈(0,+∞),3x0+cos x0<1”是假命题 B.命题“若xy≠100,则x≠4或y≠25”是真命题
C.命题“∀x∈N,lg(x+1)>0”的否定是“∃x0∉N,lg(x0+1)>0” D.命题“在△ABC中,若
·
<0,则△ABC是钝角三角形”是真命题
12.已知函数f(x)=,则
A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的最大值为2
C.f(x)的值域为(-2,2) D.f(x)的图象关于(-,0)对称
13.若函数f(x)=2x3-ax2(a<0)在(,
A.-6
B.-5 C.-4 D.-3
)上有最大值,则a的取值可能为
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡中的横线上.
14.设函数f(x)=则f(-f(10))= ▲ .
15.直线2y+1=0与曲线y=cos x在(-,)上的交点的个数为 ▲ .
16.张军自主创业,在网上经营一家干果店,销售的干果中有松子、开心果、腰果、
核桃,价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元/千克,为增加销量,张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元,顾客就少付x(2x∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后,张军会得到支付款的80%.
①若顾客一次购买松子和腰果各1千克,需要支付180元,则x= ▲ ; ②在促销活动中,为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 ▲ .(本题每空2分)
17.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则自上而下的第1节的容积为 ▲ ,这9节竹子的总容积为 ▲ . (本题每空2分)
三、解答题:本大题共6小题,共82分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=30°,a=8,b=8. (1)求tan B;
(2)若△ABC不是直角三角形,求△ABC的面积. 19.(12分)
已知函数f(x)=x-aeax(a>0).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)若f(x)<0恒成立,求a的取值范围. 20.(14分)
设数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an-1. (1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=21.(14分)
,求{bn}的前n项和Tn,并比较Tn与的大小.
将函数g(x)=4sin xcos(x+)的图象向左平移φ(0<φ≤)个单位长度后得到f(x)的图象. (1)若f(x)为偶函数,tan α>2,求f(α)的取值范围;
(2)若f(x)在(π,)上是单调函数,求φ的取值范围. 22.(15分)
已知函数f(x)=x(1-sin x).
(1)求函数f(πx)在(-20,20)上的零点之和; (2)证明:f(x)在(0,)上只有1个极值点. 23.(15分)
已知函数f(x)= ax2-x+2a2ln x(a≠0). (1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:
<+.
数学试题参考答案
1.C 【解析】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法,考查运算求解能力.
∵M=[1,3),N=(2,4),∴M∪N=[1,4).
2.C 【解析】本题考查平面向量的线性运算,考查运算求解能力. =
+
=
-=(0,2).
3.B 【解析】本题考查函数的定义域,考查运算求解能力.
∵∴x∈[-1,0)∪(0,+∞).
4.B 【解析】本题考查充分条件、必要条件,考查推理论证能力.
若>9,则q2>9,则a2=q<-3或a2>3;若a2=q>3,则=q2>9.故选B. 5.A 【解析】本题考查平面向量的数量积与模,考查运算求解能力.
|m|====.
6.D 【解析】本题考查余弦定理的应用,考查运算求解能力.
因为BC边最长,所以A最大,且cos A==-.
7.B 【解析】本题考查三角恒等变换,考查运算求解能力. cos 72°+cos 18°=sin 18°+cos 18°=sin(18°+45°)=sin 63°=cos 27°, (cos 72°+cos 18°)≈2×0.891=1.782,所以(cos 72°+cos 18°)的近似值为1.78. 8.A 【解析】本题考查函数图象的识别,考查推理论证能力.
易知f(x)为偶函数,排除C.因为f()<0,f(π)=->->-1,所以排除B,D,故选A.
9.D 【解析】本题考查三角函数图象的周期变换与对称性,考查运算求解能力. 将曲线y=2sin(4x+)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线y=2sin(2x+),
再将所得曲线关于y轴对称,得到曲线y=2sin(-2x+),令-2x+=-kπ(k∈Z),得x=-+(k∈Z).
10.C 【解析】本题考查函数的对称性与周期性,考查推理论证能力与抽象概括能力.
因为f(x)的图象关于点(3,0)对称,所以f(x)+f(6-x)=0.又f(x)=f(2-x),所以
f(2-x)+f(6-x)=0,所以f(x)=-f(x+4),则f(x)=f(x+8),所以f()=f(+100×8)=f().因为
f()+f(6-)=0,f()=-f()=-(3+log39)=-5,所以f()=-5.
11.AB 【解析】本题考查命题的否定与命题真假的判断,考查推理论证能力. 设f(x)=3x+cos x(x>0),则f'(x)=3-sin x>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(0)=1,从而命题“∃x0∈(0,+∞),3x0+cos x0<1”是假命题.
若x=4且y=25,则xy=100,所以命题“若xy≠100,则x≠4或y≠25”是真命题. 易知选项C是错误的.在△ABC中,若
·<0,则
·>0,则B为锐角,从而不能判
断△ABC是钝角三角形,所以选项D也是错误的.
12.ACD 【解析】本题考查三角恒等变换及三角函数图象的性质,考查运算求解能力.
∵f(x)==-2sin(2x+),cos(2x+)≠0,
当且仅当cos(2x+)=0时,|sin(2x+)|=1,∴f(x)的值域为(-2,2),
f(x)的最小正周期为π,f(x)的图象关于(-,0)对称.
13.ABC 【解析】本题考查导数的综合应用,考查化归与转化的数学思想及运算求解能力.
令f'(x)=2x(3x-a),得x1=0,x2= (a<0), 当 从而f(x)在x=处取得极大值f()=-. 由f(x)=-,得(x-)2(2x+)=0,解得x=或x=-. ∵f(x)在(,)上有最大值,∴<≤-,∴a≤-4. 14.16 【解析】本题考查分段函数求值,考查运算求解能力. f(-f(10))=f(-2)=42=16. 15.3 【解析】本题考查三角函数的图象及函数与方程,考查数形结合的数学方法. ∵cos(-)=-<-,∴直线2y+1=0与曲线y=cos x在(-,)上有3个交点. 16.10;18.5 【解析】本题考查数学在生活中的实际应用,考查数学建模的数学核心素养. 顾客一次购买松子和腰果各1千克,需要支付120+70-x=180元,则x=10. 设顾客一次购买干果的总价为M元,当0 升 【解析】本题考查数学文化与等差数列,考查运算求解能力与应用意 将自上而下各节竹子的容积分别记为a1,a2,…,a9, 依题意可得a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4, 即4a1+6d=3①,3a1+21d=4②,②×4-①×3,得66d=7,解得d=, 把d=代入①,得a1=,S9=9a5=9×=升. 18.解:(1)由=,得sin B=5分 =, 3分 则B=60°或120°, 故tan B=±. 6分 (2)由(1)知,当A=30°,B=60°,C=90°时,此时△ABC是直角三角形; 8分 当A=30°,B=120°,C=30°时,此时△ABC不是直角三角形. 故S△ABC=absin C=×8×8×=16. 12分 19.解:(1)f'(x)=1-a2eax, 所以f'(0)=1-a2. 2分 又f(0)=-a,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y+a=(1-a2)x, 即y=(1-a2)x-a. 5分 1分 10分 (2)因为a>0,所以a2>0.令f'(x)=0,得x=- ; 6分 令f'(x)>0,得x<-; 7分 令f'(x)<0,得x>-. 8分 所以f(x)max=f(-)=-. 10分 因为f(x)<0恒成立,所以-<0,因为a>0,所以a>, 故a的取值范围为(,+∞). 12分 20.解:(1)因为2Sn=3an-1,所以2S1=2a1=3a1-1,即a1=1. 1分 当n≥2时,2Sn-1=3an-1-1,则2Sn-2Sn-1=2an=3an-3an-1, 3分 整理得则数列 =3(n≥2), 4分 是以1为首项,3为公比的等比数列, 5分 故an=a1qn-1=3n-1.6分 (2)因为bn= ,所以bn= =×( -), 9分 所以Tn=×[(-)+(-)+(-)+…+(-)], 11分 即Tn=×(-)=-. 12分 因为Tn<<,所以Tn<. 14分 21.解:(1)∵g(x)=4sin x(cos x-sin x)==2sin(2x+)-1, 3分 sin 2x-(1-cos 2x) ∴f(x)=2sin(2x++2φ)-1. 4分 又f(x)为偶函数,则+2φ=+kπ(k∈Z),∵0<φ≤,∴φ=, 5分 ∴f(x)=2sin(2x+)-1=2cos 2x-1=-1=-1. 6分 ∵tan α>2,∴f(α)=-3<-3=-, 7分 又f(α)=-3>-3,∴f(α)的取值范围为(-3,-). 8分 (2)∵x∈(π,),∴2x++2φ∈(2π++2φ,2π++2φ). 9分 ∵0<φ≤,∴+2φ∈(,],+2φ∈(,]. 10分 ∵f(x)在(π,)上是单调函数,∴∴φ∈[,]. 14分 12分 22.(1)解:令f(πx)=πx(1-sin πx)=0,得x=0或sin πx=1, 2分 即x=0或πx=+2kπ(k∈Z),即x=0或x=+2k(k∈Z), 4分 所以f(πx)在(-20,20)上的零点之和为----…-+0+++…+ ==-10. 7分 (2)证明:设g(x)=f'(x),g'(x)=xsin x-2cos x, h(x)=g'(x),h'(x)=xcos x+3sin x, 8分 当x∈(0,)时,h'(x)>0,则h(x)=g'(x)为增函数. 9分 因为g'(0)=-2<0,g'()=>0,所以∃m∈(0,),g'(m)=0, 10分 所以当x∈(0,m)时,g'(x)<0;当x∈(m,)时,g'(x)>0, 11分 从而g(x)在(0,m)上单调递减,在(m,)上单调递增. 又g(0)=1>0,g()=0,所以必存在唯一的x0∈(0,),使得g(x0)=0, 当x∈(0,x0)时,g(x)>0;当x∈(x0,)时,g(x)<0. 故f(x)在(0,)上只有1个极值点x0. 15分 14分 13分 23.(1)解:f'(x)=ax-1+=,x∈(0,+∞). 1分 设p(x)=ax2-x+2a2(x>0),Δ=1-8a3, 当a≥时,Δ≤0,p(x)≥0,则f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增. 3分 当0 ),(,+∞)上单调递增; 5分 令f'(x)<0,得x1 当a<0时,Δ>0,p(x)的零点为,f(x)在(0,)上单调递增, 在(,+∞)上单调递减. 7分 (2)证明:由(1)知,当0 <+,只需证f(x1)-f(x2)> =-, 10分 只需证 (x1-x2)[a(x1+x2)-2]+2a2ln=- (x1-x2)+2a2ln>-, 11分 即证2a2ln-+> (x1-x2). 12分 设t=(0 因为Δ'=4a4-4<0,所以t2-2a2t+1>0,g'(t)<0, 13分 所以g(t)在(0,1)上单调递减,则g(t)>g(1)=0. 14分 又 (x1-x2)<0,则g(t)>0> (x1-x2),则2a2ln-+> (x1-x2), 从而<+. 15分 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容