高中数学函数知识点总结(全)

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合Ax|x22x30，Bx|ax1 若BA，则实数a的值构成的集合为3. 注意下列性质：

（1）集合a1，a2，……，an的所有子集的个数是2n；

要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2, a3,……an,都有2种选择，所以，总共有2n种选择， 即集合A有2n个子集。

当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2n1，非空真子集个数为2n2

（2）若ABABA，ABB；

（3）德摩根定律：

CUABCUACUB，CUABCUACUB

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式ax50的解集为M，若3M且5M，求实数a

x2a的取值范围。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。

如：若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}；问：A到B的映射有 个，B到A的映射有 个；A到B的函数有 个，若A{1,2,3}，则A到B的一一映射有 个。

函数y(x)的图象与直线xa交点的个数为 个。

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数yx4xlgx32的定义域是

函数定义域求法：  分式中的分母不为零；  偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定 义域是_____________。

例 若函数yf(x)的定义域为,2，则 的定义域为 。

2

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=

11的值域 x2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=x2-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

b型：直接用不等式性质2k+xbxb. y2型,先化简，再用均值不等式xmxnx11 例：y121+x2x+xx2mxnc.. y2型 通常用判别式xmxnx2mxnd. y型 xn 法一：用判别式a. y 法二：用换元法，把分母替换掉2x2x1（x+1）（x+1）+1 1 例：y（x+1）1211x1x1x1

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。

例 求函数y=x+x1的值域。

8 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：求函数y=

倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y=

12. 求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？

切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，

与到手的满分失之交臂 如：f(x2)2+

(x8)2的值域。

x2的值域 x3x1exx，求f(x).



15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：

根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系

可以变形为求

f(x1)f(x2)f(x1)的正负号或者与1的关系

x1x2f(x2)

(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）

②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：

偶函数）

(3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。 ③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘） ⑤函数f(x)与

1f(x)在f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）

－1

⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。

f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正 数 增 增 增 增 增 增 减 减 / / 减 增 减 / / 减 减 增 减 减

17. 函数f(x)具有奇偶性的条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称 若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

（3）f（x）是定义域在（-6,0），（0，6）上的奇函数，若x＞0时f（x）= 求x＜0时f（x） 判断函数奇偶性的方法

一、 定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、 奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f(x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数 f(x)1 偶函数 f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)三、 复合函数奇偶性

f(g) 奇 奇 偶 偶 g(x) 奇 偶 奇 偶 f[g(x)] 奇 偶 偶 偶 f(x)+g(x) 奇 非奇非偶 非奇非偶 偶 f(x)*g(x) 偶 奇 奇 偶

18.（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期函数，T是一个周期。） 如：若fxaf(x)，则

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推

f(x)f(xt)0导：f(xt)f(x2t)0f(x)f(x2t)，

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)f(x)f(2ax)f(2ax)f(2bx)f(x)f(2bx)令t2ax,则2bxt2b2a,f(t)f(t2b2a)即f(x)f(x2b2a)所以,函数f(x)以2|ba|为周期(因不知道a,b的大小关系,为保守起见,我加了一个绝对值 如：

19. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称 联想点（x,y）,(-x,y) f(x)与f(x)的图象关于x轴对称 联想点（x,y）,(x,-y) f(x)与f(x)的图象关于原点对称 联想点（x,y）,(-x,-y) f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称 联想点（x,y）,(y,x)

f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称 联想点（x,y）,(2a-x,y) f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称 联想点（x,y）,(2a-x,0) 将yf(x)图象左移a(a0)个单位右移a(a0)个单位yf(xa)

yf(xa)上移b(b0)个单位yf(xa)b 下移b(b0)个单位yf(xa)b 注意如下“翻折”变换：

f(x)|f(x)|把x轴下方的图像翻到上面 f(x)f(|x|)把y轴右方的图像翻到上面 19.

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a （1）一次函数：ykxbk0 （2）反比例函数：y的双曲线。

(k为斜率，b为直线与y轴的交点)

kkk0推广为ybk0是中心O'(a，b) xxa2b4acb2 （3）二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线 2a4a2b4acb2b， 顶点坐标为，对称轴x

4a2a2a 开口方向：a0，向上，函数ymin4acb2

4a

a0，向下，ymax4acb2

4a根的关系：xb2abc x1x2,x1x2,|x1x2|aa|a|

二次函数的几种表达形式：f(x)ax2bxc(一般式)f(x)a(xm)2n(顶点式，（m，n）为顶点f(x)a(xx1)(xx2)(x1,x2是方程的2个根）f(x)a(xx1)(xx2)h(函数经过点（x1,h)(x2,h) 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

b） fmaxf(m),fminf(n)2ab区间在对称轴右边（m） fmaxf(n),fminf(m)2abm） 区间在对称轴2边 （n 2a4acb2 fmin,fmaxmax(f(m),f(n))4a也可以比较m,n和对称轴的关系， 距离越远，值越大区间在对称轴左边（n(只讨论a0的情况） ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

0b2 如：二次方程axbxc0的两根都大于kk

2af(k)0 y (a>0) O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0

0bnm在区间（m，n）内有2根2ax （4）指数函数：yaa0，a1 f(m)0f(n)0在区间（m，n）内有1根f(m)f(n)0

（6）“对勾函数”yxkk0 x 利用它的单调性求最值

y k O k x

21. 如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令xy0f(0)0再令yx，……）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令xytf(t)(t)f(t·t) ∴f(t)f(t)f(t)f(t) ∴f(t)f(t)……）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2……



（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、 代y=x，

2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1

几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y） 2. 幂函数型的抽象函数

f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（

xf(x)）＝ yf(y)例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)

在区间[－2,1]上的值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1]. （1） 判断f（x）的奇偶性； （2） 判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明； （3）

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求： （1） f（0）； （2） 对任意值x，判断f（x）值的符号.

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求： （1） f（1）； （2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.

例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.

例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y）， （1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0； （2） 求证：f（x）为偶函数； （3）

若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范围.

1）≤0. 2

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证： （1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1； （2） f（x）在x∈R上是减函数.

练习题：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ） （A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1 （C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对 2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ） （A）f（1）＝0 （B）f（

1）＝ f（x） x（C）f（

x）＝ f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N） y3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（ ） （A）（1，＋∞） （B）（－∞，1） （C）（0，1） （D）（－1，＋∞）

4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有 f（x1－x2）＝

f(x1)f(x2)，则f（x）为（ ）

1f(x1)f(x2)（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数

5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（ ） （A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 函数

1. 函数的奇偶性

（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=（2）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则

;

（可用于求参数）；

（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 （f(x)≠0）;

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；

（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； 2. 复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：若已知

的定义域为［a，b］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若

已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定； 3.函数图像（或方程曲线的对称性）

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然； （3）曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0); （4）曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;

（5）若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；

（6）函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x= 对称；

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x－a) 或f(x－2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数； （2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数； （3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数； （4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2

的周期函数；

的周期函数；

（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2

（6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= 5.方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域)； 6.a≥f(x) 恒成立 a≥［f(x)］max,; a≤f(x) 恒成立

，则y=f(x)是周期为2 的周期函数；

a≤［f(x)］min;

7.（1） (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 ); 8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A中元素必须都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；

9. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。 10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f(x)

－－

与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f-1(x)]=x(x∈B),f-1[f(x)]=x(x∈A).

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

12. 依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：

(或

（或 ）；

13. 恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；