期权定价模型在资产价值评估中的应用

一、练习题

1、三周前你买了一份100股看涨期权合约。该看涨期权的到期日自今天算起还有五周。在那天，标的股票的价格将是120元或95元。两种状态的出现是等可能的。目前，该股票售价为96元；其执行价格是112元。你能够购买32股股票。你能以10%年利率借到钱。你的看涨期权合约的价值是多少？

2、假设戴尔塔运输公司股票在今天算起的一年后到期时只存在两种状态。到那天戴尔塔公司股票的价格将是60元或40元。今天戴尔塔股票以55元交易。看涨期权的执行价格是50元。你能以9%的利率借款。你愿意为此看涨期权支付的款额是多少？

3、现有计算机普拉斯公司股票的看涨期权。该期权将于今天起的一年后到期，执行价格是35元。无风险利率是7%。计算机普拉斯公司股票正以每股37元出售，而你对股票收益方差的估计值是0.004。 (1)利用布莱克-模型为该看涨期权定价。

(2)你发现方差的估计值应该修改为0.0064。看涨期权的新价格应是多少？ (3)在公布该公司即将关闭其在加利福尼亚的三家工厂后，股票价格跌至35元。利用(2)中的结果，该期权的新价格应该是多少？ 4、你已应顾客的要求确定他们将愿意为购买金斯利看涨期权而支付的最高价格。该期权具有执行价格25元，且在120天后到期。金斯利股票的现行价格是27元，无风险年利率是7%，股票的估计方差是0.0576。预期在下六个月期间没有任何股利被宣布。你的顾客应该支付的最高价格是多少？

5、环球不动产合伙有限公司正在进行一个新项目。若该项目成功，一年后公司的价值将是6.5亿元，但若最终失败，公司将只值2.5亿元。公司的现有价值是4亿元。公司已公开发行的一年期债券的总面值为3亿元。短期国库券利率是7%。权益的价值是多少？负债的价值是多少？

6、假设上一题中的环球不动产合伙有限公司决定实施一项较有风险的项目：一年后公司的价值要么是8亿元，要么是1亿元，这取决于计划是否成功。权益的价值是多少？负债的价值是多少？债权人更喜欢哪一个项目？

7、某公司发行了５亿元的零息票债券，５年后到期。公司近些年来的利息和税前收入（EBIT）约为4亿元（税率为40%）。预计收入以每年5%的速度永续增长。公司不付红利。公司的股权资本成本为12%，加权资本成本为10%。可比公司价值波动的年标准差为12.5%（5年期国债利率为5%）。请你用贴现现金流和期权定价两种方法计算该公司的股权资本的价值。

二、参考答案 1、

期权的有效期限为八周。假设到期日时股票价格是95元，则策略1放弃执行看涨期权；相应的与之等值的策略2的合计额也应该是0，由此我们可以计算出 复制的借贷金额本金是2994元，而期权的有效期限为八周，借贷金额年利为10%。具体计算见表9-1。 表9-1 初始交易 到期日盈利 若股票价格是120元 若股票价格是95元 策略1： 购进看涨期权 （含100股的合约） 策略2： 购进32股股票 借贷2994元 策略2的合计 执行看涨期权 放弃看涨期权 100×（120-112）=800 0 32×120 = 3840 3295 = 3040 -2994(1+10%×8/52) = -3040 2994(1+10%×8/52) =-3040 800 0 由于采取的是复制资产组合，且绝无套利可能，因此两个策略有相同的成本，得出看涨期权合约的价值C=3296299478元。 另外一种计算方法从两策略的净收益相同出发。 策略1的净收益=800-C，

策略2的净收益=32（120-96 ）-299410%*8/52（利息支出）

= 3224-46=722元

因此看涨期权合约的价值C=800-722=78元 2、

期权的有效期限为一年。假设到期日时股票价格是40元，则策略1放弃执行看涨期权；相应的与之等值的策略2的合计额也应该是0，由此我们可以计算出 复制的借贷金额本金是1835元，而期权的有效期限为一年，借贷金额年利率为9%。具体计算见表9-2。 表9-2

初始交易 到期日盈利 若股票价格是60元 若股票价格是40元 1、购进看涨期权 100（60-50） =1000 放弃看涨期权 （含100股的合约） 2、购进50股股票 5060 = 3000 5040 = 2000 借贷2994元 -1835(1+9%) =-2000 -1835(1+9%) =-2000 策略2的合计 1000 0

由于采取的是复制资产组合，且绝无套利可能，因此两个策略有相同的成本，得出看涨期权合约的价值C=50551835915元。 另外一种计算方法从两策略的净收益相同出发。 策略1的净收益=1000-C，

策略2的净收益=50（60-55 ）-18359%（利息支出）

= 505-165=85元

因此看涨期权合约的价值C=1000-85=915元 3、

(1)运用布莱克－斯科尔斯模型计算，公式如下：

C=SN（ｄ1）-Eert N（ｄ2）

ｄ1=[ln(S/E)+(r+1/2ｄ2=ｄ1-2t

2)t]

2t

公式中：S—现行股价, 股票价格S是37元；E—看涨期权的执行价格, 执行价格E是35元；ｒ—连续无风险收益率（年度的）, 无风险利率ｒ是0.07；

2—股票的连续收益之方差（每年）, 普拉斯公司的方差估计为每年0.004；ｔ—至到期日的时间（单位：年）, 我们将以年为单位表示成ｔ＝1。

此外，还有一个统计概念：N（ｄ）即标准正态分布随机变量将小于或等于ｄ的概率。

利用上述五个参数，我们分三个步骤计算期权的布莱克－斯科尔斯值： 步骤1：计算ｄ1和ｄ2。我们可以将参数值直接代入基本公式来确定这两个值。我们有:

ｄ1=[ln(S/E)+(r+1/22)t]

2t

0.0041

=[ln(37/35)+(0.07+1/20.004) 1]=(0.0556+0.072)/0.063 = 2.0254 ｄ2=ｄ1-2t= 2.0254-0.063 = 1.9624

步骤2：计算N(ｄ1)和Ｎ（ｄ2）。值N（ｄ1）和N（ｄ2）可以通过查标准正态分布的概率表得出。

N(ｄ1)= N(2.0254)＝0.9786 N（ｄ2）= N(1.9624)＝0.9751 步骤3：计算C。我们有

C=SN（ｄ1）-Eert N（ｄ2）

=37N（ｄ1）-35e0.071 N（ｄ2）

=370.9786-350.93240.9751

=36.2082-31.8214 =4.3868元

(2)普拉斯公司的方差估计为每年0.0064时:

步骤1：计算ｄ1和ｄ2。我们可以将参数值直接代入基本公式来确定这两个值。我们有:

ｄ1=[ln(S/E)+(r+1/22)t]

2t

0.00641

=[ln(37/35)+(0.07+1/20.0064) 1]=(0.0556+0.0732)/0.08

=1.61

ｄ2=ｄ1-2t =1.61-0.08 =1.53

步骤2：计算N(ｄ1)和Ｎ（ｄ2）。值N（ｄ1）和N（ｄ2）可以通过查标准正态分布的概率表得出。

N(ｄ1)= N(1.61)＝0.9463 N（ｄ2）= N(1.53)＝0.9370 步骤3：计算C。我们有:

C=SN（ｄ1）-Eert N（ｄ2）

=37N（ｄ1）-35e0.071 N（ｄ2）

=370.9463-350.93240.9370

=35.0131-30.5781 =4.435元

(3)普拉斯公司的股票价格S下跌至35元每股。

步骤1：计算ｄ1和ｄ2。我们可以将参数值直接代入基本公式来确定这两个值。我们有:

ｄ1=[ln(S/E)+(r+1/22)t]

2t

0.00641

=[ln(35/35)+(0.07+1/20.0064) 1]=(0+0.0732)/0.08 =0.915 ｄ2=ｄ1-2t =0.915-0.08 =0.835

步骤2：计算N(ｄ1)和Ｎ（ｄ2）。值N（ｄ1）和N（ｄ2）可以通过查标准正态分布的概率表得出。

N(ｄ1)= N(0.915)＝0.8199 N（ｄ2）= N(0.835)＝0.7981 步骤3：计算C。我们有:

C=SN（ｄ1）-Eert N（ｄ2）

=35N（ｄ1）-35e0.071 N（ｄ2） =350.8199-350.93240.7981

=28.6965-26.0452

=2.6513元

4、

股票价格S是27元；执行价格E是25元；无风险利率ｒ是0.07；此外，距到期日的时间ｔ可以很快算出：公式要求ｔ以年为单位来表示，我们将120天以年为单位表示成ｔ＝120/365；金斯利公司的方差估计为每年0.0576。

利用上述五个参数，我们分三个步骤计算期权的布莱克－斯科尔斯值： 步骤1：计算ｄ1和ｄ2。我们可以将参数值直接代入基本公式来确定这两个值。我们有

ｄ1=[ln(S/E)+(r+1/22)t]

2t

0.0576120/365

=[ln(27/25)+(0.07+1/20.0576) 120/365]=(0.0770+0.0325)/0.1376 =0.7957 ｄ2=ｄ1-2t

=0.7957-0.1376 =0.6581

步骤2：计算N(ｄ1)和Ｎ（ｄ2）。值N（ｄ1）和N（ｄ2）可以通过查标准正态分布的概率表得出。

N(ｄ1)= N(0.7957)＝0.7868 N（ｄ2）= N(0.6581)＝0.7448 步骤3：计算C。我们有

C=SN（ｄ1）-Eert N（ｄ2）

=27N（ｄ1）-25e0.07120/365 N（ｄ2） =270.7868-250.97720.7448

=21.2436-18.1955 =3.0481元

5、

买卖权平价关系用公式可以表述为：

S+p-c=Xer(Tt) 既 S+p=c+Xer(Tt)

公式中：T为期权有效期，t为有效期内已经过去的时间，X为股票期权的执行价格，S为股票的现行价格，r为无风险利率。它表明，具有某一确定执行价格和到期日的欧式看涨期权的价格可根据相同执行价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。

用看涨期权和看跌期权来描述公司的股东权益和负债，我们可以把上述买卖权平价关系改写成： 公司看涨期权价值=公司价值+公司看跌期权价值-无违约债券价值

期权的有效期限为一年。假设到期日时公司价值是2.5亿元，则策略1放弃

执行看涨期权；相应的与之等值的策略2的合计额也应该是0，由此我们可以计算出复制的借贷金额本金是2.044亿元，而期权的有效期限为一年，借贷金额年利率为7%。具体计算见表9-3。 表9-3

初始交易 到期日盈利 若公司价值是6.5亿若公司价值是2.5亿元 元 1、购进看涨期权 放弃看涨期权 6.5亿元-3亿元 =3.5亿元 2、 购进 0.875的公司 0.875 6.5亿元 = 5.6875亿元 2.5亿元0.875=2.1875亿借贷2.044元 元 -2.044亿元(1+7%) =-2.1-2.044(1+7%)=-2.1875亿元 875亿0元 策略2的合计 3.5亿元

由于采取的是复制资产组合，且绝无套利可能，因此两个策略有相同的成本，得出看涨期权合约的价值C=40.8752.0441.456亿元。 另外一种计算方法从两策略的净收益相同出发。 策略1的净收益=3.5-C，

策略2的净收益=(6.5-4) 0.875-2.0447%（利息支出）

= 2.1875-0.143=2.044亿元

因此看涨期权合约的价值C=3.5-2.044=1.456亿元,由前可知, 公司的权益价值=公司看涨期权合约的价值=1.456亿元

在得出公司看涨期权合约的价值后我们用买卖权平价关系公式计算公司看跌期权价值。

代入买卖权平价关系公式S+p-c=Xer(Tt)即 S+p=c+Xer(Tt)此时标的资产是公司本身。 公式中：T为期权有效期，此时是1年；t为有效期内已经过去的时间,此时为0；X为公司看涨期权的执行价格，即公司发行的债券的面值3亿元；S为公司目前的价值4亿元；为无风险利率7%。 求出公司看跌期权价值p=c+Xer(Tt)-S

=1.456+3e0.071-4

=1.456+30.9324-4 =0.2532亿元

公司负债的价值=公司价值-公司看涨期权价值

=4-1.456 =2.544亿元

或者公司负债的价值=无违约债券价值-公司看跌期权价值

=3e0.071-0.2532

=30.9324-0.2532 =2.544亿元

两者的结果是一样的,由此也验证了买卖权平价关系的存在。 6、

期权的有效期限为一年。假设到期日时公司价值是1亿元，则策略1放弃执行看涨期权；相应的与之等值的策略2的合计额也应该是0，由此我们可以计算出复制的借贷金额本金是0.6676亿元，而期权的有效期限为一年，借贷金额年利率为7%。具体计算见表9-4。 表9-4

初始交易 到期日盈利 若公司价值是8亿元 若公司价值是1亿元 1、购进看涨期权 8亿元-3亿元=5放弃看涨期权 亿元 2、 购进 5/7的公司 5/7 8亿元= 40/7亿元 1亿元5/7=5/7亿元 借贷0.6676亿元 -0.6676亿元(1+7%) =-5/7亿元 -0.6676(1+7%)=-5/7亿元 策略2的合计 50 亿元

由于采取的是复制资产组合，且绝无套利可能，因此两个策略有相同的成本，得出看涨期权合约的价值C=45/70.66762.1895亿元。 另外一种计算方法从两策略的净收益相同出发。 策略1的净收益=5-C，

策略2的净收益=(8-4) 5/7-0.66767%（利息支出）

= 2.8571-0.0467=2.8104亿元

因此看涨期权合约的价值C=5-2.8104=2.1896亿元(两者的微小差异是由于计算中的四舍五入引起的)。

由前可知,公司的权益价值=公司看涨期权合约的价值=2.1895亿元

在得出公司看涨期权合约的价值后我们用买卖权平价关系公式计算公司看跌期权价值。

代入买卖权平价关系公式S+p-c=Xer(Tt) 即 S+p=c+Xer(Tt)此时标的资产是公司本身。 公式中：T为期权有效期，此时是1年；t为有效期内已经过去的时间,此时为0；X为公司看涨期权的执行价格，即公司发行的债券的面值3亿元；S为公司目前的价值4亿元；为无风险利率7%。

求出公司看跌期权价值p=c+Xer(Tt)-S

=2.1895+3e0.071-4

=2.1895+30.9324-4 =0.9867亿元

公司负债的价值 = 公司价值-公司看涨期权价值 = 4-2.1895 = 1.8105亿元 或者公司负债的价值 = 无违约债券价值-公司看跌期权价值

=3e0.071-0.9867

=30.9324-0.9867 =1.8105亿元

两者的结果是一样的,由此也验证了买卖权平价关系的存在。 分析前面的计算结果，我们明显地发现当公司选择风险大的项目时，公司的权益价值增加了，从1.456亿元增加到了2.1896亿元；而公司负债的价值从2.544亿元下降到了1.8105亿元，因此债权人更喜欢风险小的第五题中的项目。（即项目成功公司价值变成6.5亿元,如果项目失败公司价值变成2.5亿元的项目） 7、

(1)采用贴现现金流方法，股权资本成本e为12%，预期增长率g为5%（此处把收入增长率近似看成股权现金流量的增长率）。由于公司发行的是５亿元的零息票债券，因此没有利息支出。

因而股权现金流量CFE= EBIT(1t)=4（1-40%）=2.4亿元 代入股权价值评估中的一阶段模型公式计算股权资本价值。 股权资本价值=

CFE2.434.2857亿元 eg12%5%(2)采用期权定价方法，由于公司的股权资本成本为12%，加权资本成本为10%，公司的债务资本为零（因为发行的是零息票债券）。由计算公司加权资本成本的公式，即公司加权资本成本=公司的股权资本成本E/（D+E）+公司的债务资本D/（D+E），而公司的负债为5亿元可以得出公司目前的账面资产价值为30亿元，公司的股权资本的账面价值为25亿元。

运用布莱克－斯科尔斯模型计算，公式如下：

C=SN（ｄ1）-Eert N（ｄ2） ｄ1=[ln(S/E)+(r+1/2ｄ2=ｄ1-2t

公式中：公司目前资产的价值S是30亿元；执行价格E即零息票债券的面值，此处为5亿元；无风险利率ｒ是与期权期限相同的国库券利率0.05；距到期日的时间ｔ为零息票债券的剩余期限，公式要求ｔ以年为单位来表示，我们将以年为单位表示成ｔ＝5；公司的价值波动的年标准差为0.125，因而2即公司

2)t]

2t

的连续收益之方差为0.015625。

利用上述五个参数，我们分三个步骤计算期权的布莱克－斯科尔斯值： 步骤1：计算ｄ1和ｄ2。我们可以将参数值直接代入基本公式来确定这两个值。我们有

ｄ1=[ln(S/E)+(r+1/22)t]

2t

0.0156255

=[ln(30/5)+(0.05+1/20.015625) 5]=(1.7918+0.2891)/0.2795 =7.4449 ｄ2=ｄ1-2t =7.4449-0.2795 =7.1654

步骤2：计算N(ｄ1)和Ｎ（ｄ2）。值N（ｄ1）和N（ｄ2）可以通过查标准正态分布的概率表得出。

N(ｄ1)= N(7.4449)＝1 N（ｄ2）= N(7.1654)＝1 步骤3：计算C。我们有

C=SN（ｄ1）-Eert N（ｄ2） =30N（ｄ1）-5e0.055 N（ｄ2） =301-50.77881

=26.106亿元