最新版精编2019高考数学《导数及其应用》专题考试题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷

导数及其应用

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

一、选择题

1．f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是（ ）

32(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4(2006浙江文)

2．已知函数f(x)xcosx，则f(0.6),f(0),f(0.5)的大小关系是( ) （A）f(0)f(0.6)f(0.5) (B) f(0)f(0.5)f(0.6) (C) f(0.6)f(0.5)f(0) (D) f(0.5)f(0)f(0.6) 3．若f(x)xxlnx，则f'(x)的解集为

2（-，）（，+） A. (,) B. C. (,) D. (-,)

4．函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象

如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 （ ）

y

A．1个 B．2个 答案 A

a yf(x)

bO xC．3个 D． 4个

解析 函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示， 函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值 为由负到正的点，只有1个，选A. 5．设曲线yx12)处的切线与直线axy10垂直，则a________ 在点(3，x1

二、填空题

6．若曲线yx1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________.（2013年高考江西卷（文））

7．已知可导函数f(x)(xR)的导函数f(x)满足f(x)＞f(x)，则不等式

ef(x)xf(1)e的解集是 ▲ ．

38．设直线l是曲线f(x)x3x2上的一条切线，则切线l斜率最小时对应的倾斜角

为 ▲ ．

9．已知函数f(x)的导函数f(x)是二次函数，右图是yf(x)的图象， 若f(x)的极大值与极小值之和为2，则f(0)的值为 ．

3

10．已知过点P(9,3)的直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点， 则距离AB最小值为 。

11．曲线yxx1在点（1，3）处的切线方程是 。

12． 曲边梯形由曲线yex,y0,x1,x5所围成，过曲线yex,x[1,5]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P的坐标是____________．

13．若函数f(x)lnx

三、解答题 14．设函数f(x)3y yf(x)

－2 O 2 x （第34题图）

a3在[1,e]上的最小值为，则实数a的值为 ▲ ． x212xlnx(x0)，其中a为非零常数。 2a（1）当a1时，求函数f(x)的单调递减区间；

（2）若a0，过点P(a,0)作函数yf(x)的导函数yf'(x)的图像的切线，问这样的切线可作几条？并证明你的结论。

（3）当x[1,2]时，若不等式f(x)2恒成立，求a的取值范围。 15．设常数a≥0，函数f(x)xlnx2alnx1(x(0,)).

(1）令g(x)xf(x)(x0)，求g(x)的最小值，并比较g(x)的最小值与零的大小； (2）求证：f(x)在(0,)上是增函数；

(3）求证：当x1时，恒有xlnx2alnx1．

16．已知函数f(x)axlnxbxc(x0)在x1处取得极值3c，其中a,b,c为常数.

(1）试确定a,b的值； (2）讨论f(x)的单调区间；

(3）若对任意x0,不等式f(x)2c恒成立，求c的取值范围.

24422

17．已知函数f(x)axlnx，x(1,e)，且f(x)有极值． (1）求实数a的取值范围；

(2）求函数f(x)的值域；

3(3）函数g(x)xx2，证明：x1(1,e)，x0(1,e)，使得g(x0)f(x1)成

立．

18．已知函数f(x)x3ax1,a0

3求f(x)的单调区间；

若f(x)在x1处取得极值，直线y=m与y的取值范围。

f(x)的图象有三个不同的交点，求m

关键字：多项式函数；求单调区间；已知极值点；已知交点个数 19．已知关于x的函数f(x)＝

1x3＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+(x).令g(x)＝∣f+(x) ∣, 3记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M. (Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-

4，试确定b、c的值： 3 （Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2: (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分） （I）解析

f'(x)x22bxc，由f(x)在x1处有极值4 3f'(1)12bc0可得14

f(1)bcbc33解得b1b1 ,或c1c322若b1,c1，则f'(x)x2x1(x1)0，此时f(x)没有极值； 若b1,c3，则f'(x)x2x3(x1)(x1) 当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：

2x f'(x) (,3) 3 0 (3,1) + 1 0 极大值(1,)   4 3 f(x) 极小值12 当x1时，f(x)有极大值4，故b1，c3即为所求。 3（Ⅱ）证法1：g(x)|f'(x)||(xb)bc|

当|b|1时，函数yf'(x)的对称轴xb位于区间[1.1]之外。

22f'(x)在[1,1]上的最值在两端点处取得

故M应是g(1)和g(1)中较大的一个

2Mg(1)g(1)|12bc||12bc||4b|4,即M2

证法2（反证法）：因为|b|1，所以函数yf'(x)的对称轴xb位于区间[1,1]之外，

f'(x)在[1,1]上的最值在两端点处取得。

故M应是g(1)和g(1)中较大的一个 假设M2，则

g(1)|12bc|2

g(1)|12bc|2将上述两式相加得：

4|12bc||12bc|4|b|4，导致矛盾，M2

（Ⅲ）解法1：g(x)|f'(x)||(xb)bc| （1）当|b|1时，由（Ⅱ）可知M2；

（2）当|b|1时，函数yf'(x）的对称轴xb位于区间[1,1]内， 此时Mmaxg(1),g(1),g(b)

由f'(1)f'(1)4b,有f'(b)f'(1)b(1)0

①若1b0,则f'(1)f'(1)f'(b),g(1)maxg(1),g(b)， 于是Mmax|f'(1),|f'(b)|2221111(|f'(1)|f'(b)|)|f'(1)f'(b)|(b1)2 2222②若0b1，则f'(1)f'(1)f'(b),g(1)maxg(1),g(b) 于是Mmax|f'(1)|,|f'(b)|1111(|f'(1)||f'(b)|)|f'(1)f'(b)|(b1)2 2222综上，对任意的b、c都有M而当b0,c1 2111时，g(x)x2在区间[1,1]上的最大值M

222故Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为解法2：g(x)|f'(x)||(xb)bc| （1）当|b|1时，由（Ⅱ）可知M2；

221。 2（2）当|b|1时，函数yf'(x)的对称轴xb位于区间[1,1]内， 此时Mmaxg(1),g(1),g(b)

4Mg(1)g(1)2g(h)|12bc||12bc|2|b2c| |12bc(12bc)2(b2c)||2b22|2，即M下同解法1

1 20],x2[1,2]. 20．设函数fxx3bx3cx在两个极值点x1、x2，且x1[1，32（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点b,c的区域；

(II)证明：10fx21 2分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。 大部分考生有思路并能够得分。

fx3x26bx3c由题意知方程fx0有两个根x1、x2

且x1[1，0],x2[1,2].则有f10，

f00，f10，f20故有

右图中阴影部分即是满足这些条件的点b,c的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标fx2x23bx23cx2中的b，（如果消 c会较繁

32琐）再利用x2的范围，并借助（I）中的约束条件得c[2,0]进而求解，有较强的技巧性。

解析 由题意有fx23x26bx23c0．．．．．．．．．．．．①

2又fx2x23bx23cx2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

32消去b可得fx2又

133cx2x2． 221x2[1,2]，且c[2,0] 10f(x2)

221．某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图1、图2、图3所示，其中图1中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图2中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）

(1）分别写出国内市场的日销售量f(t)，国外市场的日销售量g(t)与第一批产品A的上市时间的关系式；

(2）每一批产品A上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少？ 60

国内市场 国外市场

O 30 40 t (天) O

20 40

O 20 40

t (天)

t (天)

y日销售量(万60 y日销售量(万60 y日销利润(元/ 图1 图2 图3 3．

22．某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是一呈水平状态的圆环，其半径为2m，通过金属杆BC,CA1,CA2,CA3支撑在地面B处（BC垂直于水平面），A1,A2,A3是圆环上

的三等分点，圆环所在的水平面距地面10m，设金属杆CA1,CA2,CA3所在直线与圆环所在水平面所成的角都为。（圆环及金属杆均不计粗细）

（1）当的正弦值为多少时，金属杆BC,CA1,CA2,CA3的总长最短？

（2）为美观与安全，在圆环上设置A1,A2,,Ann4个等分点，并仍按上面方法连接，若还要求金属杆BC,CA1,CA2,,CAn的总长最短，对比（1）中A2 点位置，此时CC点将会上移还是下移，请说明理由。

A1A3C B123．（本小题满分16分）已知函数f(x)a(x)2lnx(aR)．

x（1）若a2，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （2）求函数f(x)的单调区间； （3）设函数g(x)取值范围．

24．已知函数f(x)x2，g(x)alnx，aR． （1）若x≥1，f(x)g(x)，求实数a的取值范围；

（2）证明：“方程f(x)g(x)ax(a0)有唯一解”的充要条件是“a1”．

25．已知函数f（x）=e＋ax-ex，a∈R.

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P. 【2012高考真题福建理20】（本小题满分14分）

x

2

a．若至少存在一个x0[1,e]，使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的x26．如图，在边长为2 （单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m．

（1）求正四棱锥的体积V（x）；

（2）当x为何值时，正四棱锥的体积V（x）取得最大值？（10分） 考点： 专题： 分（1）由题意求出棱锥的底面面积以及棱锥的高，即可求正四棱锥的体积V（x）； 函数的最大值点，即可求解当x为何值时，正四棱锥的体积V（x）取得最大值． 解（本题满分10分） 由于切去的是等腰三角形，所以AN=在直角三角形AON中，AO=分） 所以V（x）=••[2（1﹣x）]2•分） （不写0＜x＜1扣1分） （2）V′（x）=[（2x﹣2）+]=（x﹣1），…（8分） =（1﹣x）2，（0＜x＜1）． …（6=，NO=1﹣x，…（2分） =，…（4答： 解 （1）设正四棱锥的底面中心为O，一侧棱为AN．则 析： （2）通过（1）棱锥的体积的表达式，利用函数的导数求出函数的极值点，说明是计算题；导数的综合应用；空间位置关系与距离． 利用导数求闭区间上函数的最值；棱柱、棱锥、棱台的体积．. 令V′（x）=0，得x=1（舍去），x=． 当x∈（0，）时，V′（x）＞0，所以V（x）为增函数； 当x∈（，1）时，V′（x）＜0，所以V（x）为减函数． 所以函数V（x）在x=时取得极大值，此时为V（x）最大值． 答：当x为m时，正四棱锥的体积V（x）取得最大值． …（10分） 说明：按评分标准给分，不写函数的定义域扣（1分），没有答扣（1分）． 点 本题以折叠图形为依托，考查空间几何体的体积的求法，通过函数的对数求法函数用． 评： 的值的方法，考查空间想象能力与计算能力；解题中注意函数的定义域，导数的应 27．题目文件丢失！

28．已知函数f(x)x(1a)xa(a2)xb (a,bR)．

(Ⅰ)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值； (Ⅱ)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．

29．已知函数f(x)xsinx.

（1） 设P,Q是函数f(x)图象上相异的两点，求证：直线PQ的斜率大于0； （2） 求使不等式f(x)axcosx在[0,32230．设实数a0,b0，且满足ab1

（1）求alog2ablog2b的最小值； （2）设

]上恒成立的实数a的取值范围。

1ba（9a)(9b) ab,求证：3