一、选择题
平面向量
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(A．AB与AC共线C．AD与AE相等2．下列命题正确的是
(
)．
)．
B．DE与CB共线D．AD与BD相等
(第1题)
A．向量AB与BA是两平行向量B．若a，b都是单位向量，则
a＝b
C．若AB＝DC，则A，B，C，D四点构成平行四边形D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC＝
OA＋
OB，其中
，∈R，且＋＝1，则点C的轨迹方程为(
B．(x－1)＋(y－1)＝5D．x＋2y－5＝0
(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是(
C．
)．
2
2
)．
A．3x＋2y－11＝0 C．2x－y＝0
4．已知a、b是非零向量且满足A．
B．
23
63
D．
56
)．))
5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则AP＝(A．λ(AB＋AD)，λ∈(0，1)C．λ(AB－AD)，λ∈(0，1)
B．λ(AB＋BC)，λ∈(0，D．λ(AB－BC)，λ∈(0，
)．
2222
6．△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则DF＝(A．EF＋EDC．EF＋AD7．若平面向量模为(
)．
B．EF－DED．EF＋AF
a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的
A．2 B．4 C．6 D．12
8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足则点O是△ABC的(
)．
OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，
A．三个内角的角平分线的交点C．三条中线的交点9．在四边形共线，则四边形
B．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点
ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a，b不ABCD为(
)．B．矩形
C．梯形
D．菱形
)．
A．平行四边形10．如图，梯形A．AD与BCC．AC与BD二、填空题
ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是(
B．OA与OBD．EO与OF
(第10题)
11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝
12．已知向量＝
．
13．已知平面上三点
A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋
．
．
2
a＝(x＋3，x－3x－4)与MN相等，其中
M(－1，3)，N(1，3)，则x
BC·CA＋CA·AB的值等于
14．给定两个向量于
．
a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等
15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的
．
16．设平面内有四边形
ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c
．
＝b＋d，则四边形ABCD的形状是
三、解答题
17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点
P在第三象限内？
18．如图，已知△BC的中点，且ABC，A(7，8)，B(3，MN与AD交于F，求DF．
5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，(第18题)
19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向
量证明)．
20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(
3，－1)，则(第19题)
|2a－b|的最大值．
参考答案
一、选择题1．B 解析：如图，向．
2．A
解析：两个单位向量可能方向不同，故
(第1题)
AB与AC，AD与AE不平行，AD与BD共线反
B不对．若AB＝DC，可能A，B，C，D四点
D也不对．
共线，故C不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故
3．D
解析：提示：设
OC＝(x，y)，OA＝(3，1)，OB＝(－1，3)，
OA＋
OB＝(3－，＋3)，
x＝3－y＝＋3
OA＝(3，)，
OB＝(－，3)，又
∴(x，y)＝(3－，＋3)，∴
，又＋＝1，由此得到答案为D．
4．B
解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，
∴(a－2b)·a＝a－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b－2a·b＝0，
∴a＝b，即|a|＝|b|．∴|a|＝2|a||b|cos θ＝2|a|cosθ．解得cos θ＝
2
2
2
2
2
2
1
．2
π
∴a与b的夹角是．
3
5．A
解析：由平行四边形法则，数乘的长度，λ∈(0，1)．
6．D
解析：如图，∵
AF＝DE，
AB＋AD＝AC，又AB＋BC＝AC，由λ的范围和向量
∴DF＝DE＋EF＝EF＋AF．
(第6题)
7．C
解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴|a|－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D 解析：由
OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA,
2
即OA·(OC－OB)＝0，
故BC·OA＝0，BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，∴O是△ABC的三条高的交点．9．C
解析：∵AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2BC，∴AD∥BC且|AD|≠|BC|．∴四边形ABCD为梯形．10．D
解析：AD与BC，AC与BD，OA与OB方向都不相同，不是相等向量．二、填空题11．－
23．
AB，BC共线，
解析：A，B，C三点共线等价于
AB＝OB－OA＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，BC＝OC－OB＝(－k，10)－(4，5)＝(－k－4，5)，又A，B，C三点共线，
∴5(4－k)＝－7(－k－4)，∴k＝－12．－1．解析：∵
M(－1，3)，N(1，3)，
23．
∴MN＝(2，0)，又a＝MN，
∴
x＋3＝2x－3x－4＝0
2
解得
x＝－1x＝－1或x＝4
∴x＝－1．13．－25．解析：思路1：∵
AB＝3，BC＝4，CA＝5，
ABC＝90°，即AB⊥BC，∴AB·BC＝0，
∴△ABC为直角三角形且∠
∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝BC·CA＋CA·AB＝CA·(BC＋AB)＝－(CA)
2
2
＝－CA＝－25．思路2：∵
AB＝3，BC＝4，CA＝5，∴∠ABC＝90°，
BC3∴cos∠CAB＝＝，cos∠BCA＝＝4．55CACA
AB
根据数积定义，结合图(右图)知AB·BC＝0，
4535
)＝－9．
D
(第13题)
BC·CA＝BC·CAcos∠ACE＝4×5×(－CA·AB＝CA·ABcos∠BAD＝3×5×(－
)＝－16，
∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝0―16―9＝－25．14．
23．3
解析：a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)．∵(a＋mb)⊥(a－b)，
∴ (a＋mb)·(a－b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝015．答案：重心．
解析：如图，以OA，OC为邻边作□AOCF交AC于
m＝
233．
(第15题)
点E，则OF＝OA＋OC，又OA＋OC＝－OB，
∴OF＝2OE＝－OB．O是△ABC的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵
a＋c＝b＋d，∴a－b＝d－c，∴BA＝CD．
∴四边形ABCD为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．
解析：设点P的坐标为(x，y)，则AP＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)．AC＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］AB＋λ
＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．
∵AP＝AB＋λAC，
∴ (x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴
xy
2
3
5
xy
5
5
317
即
47554
7
00
要使点P在第三象限内，只需
解得λ＜－1．
18．DF＝(解析：∵
74
，2)．
A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，
AB＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．又D是BC的中点，∴AD＝
＝
1212
(AB＋AC)＝
12
(－4－3，－3－5)72
，－4)．
(第18题)
(－7，－8)＝(－
又M，N分别是AB，AC的中点，∴F是AD的中点，
∴DF＝－FD＝－1AD＝－1(－7，－4)＝(7，2)．
2224
19．证明：设AB＝a，AD＝b，则AF＝a＋∴AF·ED＝(a＋
12
b)·(b－
12a)＝
2
1212
b，ED＝b－a＋
2
12
a．
12
2
b－
2
34
a·b．
又AB⊥AD，且AB＝AD，∴a＝b，a·b＝0．∴AF·ED＝0，∴AF⊥ED．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路
2
(第19题)
1：2a－b＝(2cos θ－
2
3，2sin θ＋1)，
2
∴|2a－b|＝(2cos θ－又4sin θ－4
2
3)＋(2sin θ＋1)＝8＋4sin θ－43cos θ．
3cos θ＝8(sin θcos
π3
－cos θsin
π3
)＝8sin(θ－
π3
)，最大值为8，
∴|2a－b|的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4．思路2：将向量2a，b平移，使它们的起点与原点重合，则的距离．|2a|＝2，所以2a的终点是以原点为圆心，该圆上的一个定点
Q，由圆的知识可知，
|2a－b|表示2a，b终点间
P，b的终点是
2为半径的圆上的动点
4．
|PQ|的最大值为直径的长为
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