第３８卷 第３期 西南师范大学学报（自然科学版） ２０１３年３月 Ｗｏ１．３８ Ｎｏ．３ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ Ｃｈｉｎａ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｍａｒ． ２０１３ 文章编号：１０００—５４７１（２０１３）Ｏ３—０００１—０５ 基于算术平均贴近度的加权几何平均组合预测① 王丰效 （喀什师范学院数学系，新疆喀什８４４０００） 摘要：引入和讨论了基于算术平均贴近度的加权几何平均组合预测模型及其性质．针对该模型定义了非劣性组合 预测模型、优性组合预测模型以及组合预测冗余度的概念，讨论了在一定条件下，该组合预测模型存在非劣性及优 性组合预测的条件，给出了判定冗余组合预测方法的判定定理．通过实例分析说明了基于算术平均贴近度的非线 性组合预测模型的有效性． 关键词：组合预测；加权几何平均；优性组合预测；算术平均贴近度 中图分类号：Ｏ２１１．６７ 文献标志码：Ａ 组合预测方法是对各单项预测方法采取适当的加权平均形式在某种准则下构成加权系数的最优化问 题，它可以充分利用各种单项预测方法的有效信息，提高预测问题的精度．组合预测将各种预测效果进行 总体性综合，比单项预测模型更系统、更全面．组合预测的研究［１ 受到了国内外许多学者的重视．目前常 见的组合预测有加权算术平均组合预测、加权几何平均组合预测和加权调和平均组合预测．文献［７３首次 将相关性应用到组合预测中，提出了４种相关性的组合预测模型．文献Ｅ８］研究了基于相关系数的加权几何 平均组合预测模型及其性质．文献［９］讨论了基于灰色关联度的加权几何平均组合预测模型．本文将模糊 贴近度的概念应用于加权几何平均组合预测模型，建立了基于算术平均贴近度的加权几何平均组合预测模 型，提出了优性组合预测、冗余度等概念，讨论了它们的性质． １ 基本概念 设某预测问题的原始数据序列为｛ ，ｔ一１，２，…，ｎ），假定有ｍ种预测方法对其进行预测，ｚ 为第ｉ种 预测方法第ｔ时刻的预测值，ｚ ＞０，ｔ一１，２，…， ，ｉ一１，２，…，ｍ． 定义１ 称 一ｚａＩ ａ１２：…ｚ ｔ一１，２，…， （１） 为加权几何平均计算公式，主 为Ｘ 的加权几何平均组合预测值，其中 一（ ， ，…， ） 为相应单项预 测模型的加权系数，且有∑ 一１， ≥０，ｉ一１，２，…， ，其对数形式为 ｌ ：＝＝ ｆｌｎｘ ｔ一１，２，…， 定义２ 称ｅ 一ｌｎｘ 一ｌｎｘ 为第ｉ种预测方法预测值在第ｔ时刻的对数误差，称ｅ 一ｌｎｘ 一ｌｎ壬 为组 合预测方法预测值在第ｔ时刻的对数误差．显然有 一ｌｎｘ 一１ ＝ｌｎｘ 一∑ ｌｎｚ 一∑ ①收稿日期：２０１２—０３—２５ 基金项目；国家社会科学基金西部项目（Ｉ１ＸＴＪ００１）． 作者简介：王丰效（１９６４一），男，陕西礼泉人，教授，硕士生导师，主要从事随机序与灰色预测理论的研究 ２ 西南师范大学学报（自然科学版） 第３８卷 定义３ 称 （ｚ ，ｚ ）为第ｉ种预测方法预测值与实际值的算术平均最小贴近度，ｒｔ（ｚ ，王 ）为组合预 测方法预测值与实际值的算术平均最小贴近度，其中 ／ 五 ｒ一１一 ） ∑ｌｅ！ｌ ——一一１— ∑Ｉ∑ １ — ＿—一 一 ∑（１ｎｘ ＋ｌ ） ｃ＝１ ∑（１ｎｘ ＋∑ ｌｎｘ ） ｔ＝１ ｉ一１ 记／＇ｍｉ 一ｍｉｎ｛／＂１，Ｆ２，…， 一），／＇ｍ 一ｍａｘ｛／＂１，ｒ２，…， ｝． 组合预测值与实际值的算术平均贴近度Ｉ１为各个单项预测模型加权系数 一（ ， ，…， ） 的函数， 记为ｒ（ ， ，…， ）．显然Ｉ１（ ， ，…， ）越大表明组合预测方法越有效．因此，在算术平均贴近度下 构造如下的最优加权几何平均组合预测模型 ｆｍａＸＩ１—１一∑Ｉ∑ ｌ（∑（Ｌｎｘ ＋∑ Ｌｎｘ ）） ｊ１ 一 一 ＝ 优 （２） ｌ ｓ．ｔ． 、 ∑ 一１， ≥ｏ，ｉ一１，２，…，ｍ ｉ一１ 定义４ 若ｒ（ ， 。，…， ）＜ ｉ ，则称加权系数 一（ ， ，…， ） 确定的加权几何平均组合 预测模型为劣性组合预测模型．若 ｉ ≤工１（ ， ，…， ）≤Ｆｍ ，则称该模型为非劣性组合预测模型．若 ｒ（ ， ，…， ）＞Ｆｍ ，则称该模型为优性组合预测模型． 定义５ 若第Ｊ种与第ｋ种单项预测满足 Ｉ ｅ， ｌ≤ｌ ｅ ｌ ｌｎｘ ≥ｌｎｘｎ ｔ一１，２，…， （３） 则称在算术平均最小贴近度下第Ｊ种单项预测方法优超于第ｋ种单项预测方法．若对任意ｔ均有严格不等式 成立，则称第Ｊ种单项预测方法严格优超于第ｋ种单项预测方法． 定义６ 若某种单项预测方法在加权几何平均组合预测模型中最优权系数为０，则称该单项预测方法 为冗余预测方法．如果在一个ｍ种单项模型构成的组合预测模型中冗余预测方法的个数为ｍ ，则称ｋ—ｍ— ｉ 为该组合预测模型的冗余度．显然有０≤ｋ≤ 型． ２ 非劣性组合预测和优性组合预测的存在性 定理１ 基于算术平均最小贴近度的加权几何平均组合预测模型（２）的任一满足约束条件的可行解对 应的组合预测模型至少是非劣性的组合预测模型． 证 设Ａ一（ ， ，…， ） 是组合模型（２）的任一可行解，则∑ 一１， ≥０，ｉ一１，２，…，ｍ．该 ｔ一１ 可行解对应的组合预测模型的算术平均贴近度为 ∑ｌ∑ ｌ Ｉ１—１一 — —一一１一 ∑ ｔ＝１ ∑（１ｎｘ ＋∑ ｌｎｘ ） ｔ＝１ ｉ＝１ ∑∑ （１ｎｘ ＋ｌｎｘ ） ｔ…１ １ 因而有 ∑ １一ｒ一 ｔ一１ ｔ＝１ ＝１ ∑ ∑ ｌ ≤ —三ｌ＿ ——一∑∑ （１ｎｘ －４－ｌｎｘ ） ∑ ∑（１ｎｘ ＋ｌｎｘ ） 第３期 又由于 王丰效：基于算术平均贴近度的加权几何平均组合预测 ３ Ｉ＝（１一 ）∑（１ｎｘ ＋ｌｎｘ ） ￡＝１ 所以 ∑ （１一 ）∑（１ｎｘ ＋ｌｎｘ ） １一ｒ≤ Ｌ —＿ ∑ ∑（１ｎｘ ＋ｌｎｘ ） 故ｒ≥ ｉ ，由定义４知，组合预测模型（２）的任一满足约束条件的可行解对应的组合预测模型至少是非劣 性的组合预测模型．证毕． 由定理１可知，Ａ一（ ， ，…， ） 对应的组合预测模型（２）一定是非劣性组合预测模型． ●●‘ ＩｌＬ ＂＂ＩｌＬ 定理２ 假定基于算术平均贴近度的加权几何平均组合预测模型（２）的冗余度是＜ 解对应的组合预测模型一定是优性组合预测模型． 证 假定 一（ ， ，则其最优 ，…， ） 是组合预测模型（２）的最优解， 一（ ， ｚ，…， ） 是组合预测 ｒ（ ， ，…， ）≥Ｉ１（ 】， ２，…， ） 模型（２）的非最优可行解，则有 ∑ 一１ 一１ 一 １ ≥，．０ ＝Ｌ ≥，≥００，ｉ一１， 一，，２，…，ｍ 由于组合预测模型（２）的冗余度彘＜ ，从而最优解至少有２个非零分量，因此满足条件 一１， 一 ０，Ｊ≠ｉ，Ｊ：１，２，…，仇的解都是非最优的可行解，因此 ｒ（ Ｉ１（ ， ，…， ）≥ｒ（１，０，…，０）一１＂１ ， ，…，Ａ ）≥Ｆ（０，１，…，０）一 １２ ｒ（ ， ，…， ）≥Ｆ（ｏ，ｏ，…，１）一 所以工１（ ， ，…， ）≥ 测方法．证毕． ，也就是 一（ ， ，…， ） 对应的组合预测模型一定是优性组合预 ３ 冗余预测方法的判定 定理３ 基于算术平均最小贴近度的加权几何平均组合预测模型（２）的最优目标函数值是单项预测模 型个数ｍ的单调非减函数． 证 假定 一（ ， ，…， ） 是 个单项模型构成的加权几何平均组合预测模型（２）的最优解， ，…，Ａ ）， 一（ ， ，…， ， 卅 ） 是ｍ＋１个单项模型构成的加权几何 ），下证 ） 对应目标函数值为Ｉ１（Ａ ， 平均组合预测模型（２）的最优解，对应目标函数值为ｒ（ ， 。，…， ， ｒ（ ， ２，…， ， Ｈ）≥ｒ（ ， ，…， 注意到（ ， 而有 ，…， ，Ｏ） 是 ＋１个单项模型构成的加权几何平均组合预测模型（２）的可行解，从 ｒ（ １， ２，…， ， １）≥ｒ（ ， ，…， ，０） 又由于 ∑ ｅ ＋０ｇ卅１Ｉ 一１ ＝ （ ， ，…， ） ∑ ｌｎｘ ＋０・ｌｎｘｍ＋ ） ｛一１ ４ 从而定理成立．证毕． 西南师范大学学报（自然科学版）ｈｔｔｐ：／／ｘｂｂｊｂ．ＳＷＵ．ｃｎ 第３８卷 定理４ 若组合预测模型的对数误差信息矩阵Ｅ一（ ） 中任一列ｍ个元素ｅ ｅ ”，ｅ 符号完全 相同，且第Ｊ种单项预测方法严格优超于第ｋ种单项预测方法，则加权几何平均组合预测模型（２）的冗余度 至少为 ，即至少存在第ｋ种单项预测方法为冗余预测方法． ｍ ２ ● １ ● １ ２ １ ２ ● ２ ● Ｏ ８ ９ ５ ５ ７ ８ ９ ９ ４ ６ ● Ｏ ● ９ ● ４ ２ ４ ３ ３ ５ Ｏ １ ９ Ｏ 证 假定第ｋ种单项预测方法不是冗余预测方法，则加权几何平均组合预测模型（２）的最优解 ２ ７ ８ ４ ５ ４ １ ９ 一 ８ １ Ｏ ３ （ ，…， ，…， ，…， ） 中 ＞０，此最优解对应目标函数为 ∑ｌ∑ ｅ／ｔ【 ｒ（ ，…， ，…， ，…， ）一１一 ＝１ —』 ＿—一ｚ＝１ ２ ２ １ １ ２ ２ ● ２ ● ∑（１ｎｘ ＋∑ ｌｎｘ ） Ｉ１（ ，…， Ｏ ● Ｏ ● ９ ● ９ ● Ｏ ● １ ３ ３ ４ ７ ８ ６ ｌ ２ ８ ４ １ ７ ６ １ ９ ９ ８ ２ ｕ ４ ６ ３ ０ ３ ２ Ｏ ３ ５ １ 显然（ ，…， ＋ ，…，０，…， ） 是加权几何平均组合预测模型（２）的可行解，其对应目标函数值为 ＋ ｆ，…，０，…，Ａ ）．利用第Ｊ种单项预测方法严格优超于第ｋ种单项预测方法有｝ｅ ｌ≤ Ｆ（Ｍ，…， ＋ ，…，０，…， ）＞ｒ（Ｘｌ＂，…， ，…， ，…， ） ｛ｅ ｌ，ｌｎｘ ≥ｌｎｘ ，ｔ一１，２，…， ，从而通过简单推导可得 这与 ＝＝＝（ ，…， ，…， ，…， ） 是组合模型（２）的最优解矛盾．故加权几何平均组合预测模型 （２）的冗余度至少为 ，即至少存在第忌种单项预测方法为冗余预测方法．证毕． ４ 实例分析 为了说明本文基于算术平均贴近度加权几何平均组合预测模型的可行性和有效性，下面利用文献中的 实例进行分析．文献［８］中的实例给出了自动回归（ＡＲ）模型、灰色模型（ＧＭ）和指数平滑预测的结果，各 个单项预测的结果见表１． 表１ 预测模型拟合结果 时间 实际值 ＡＲ模型 ＧＭ模型 ２０．２０２ ３ １９．４７５ Ｏ １８．７３Ｏ ３ ２Ｏ．６１８ ８ １９．１３８ ２ １９．６８０ ７ １８．８Ｏ１ ３ 指数模型 １９．８４３ ８ １８．５３９ ５ １６．６３１ ９ ２Ｏ．６３５ １ ２０．３０８ ５ １９．２７４ ６ 本文组合模型 ２０．２８６ ７ １９．７６０ ８ １８．９１３ ８ ２Ｏ．Ｏ９５ ９ １９．５２６ １ ２Ｏ．３５６ ９ １８．８６９ Ｏ ２Ｏ．６８７ ９ 利用Ｍａｔｌａｂ编程求解组合预测模型（２）可得最优组合权系数为 一０．４１９ ４， 一０．５６５ ２，工。一 ０．０１５ ４，组合预测模型拟合结果见表１．为了比较单项预测与组合预测方法的效果，分别计算相对误差平 方和（ＲＳＳＥ）以及平均绝对相对误差（ＲＳＥ），计算结果见表２．从表２的计算结果可以看出，组合预测方法 要优于其它３种预测方法．另外，本文的组合预测模型的预测精度也比文献［８］的组合预测模型的精度高． 因此本文提出的组合预测方法是可行的． 表２ 预测结果统计表 ５ 结束语 本文针对基于算术平均最小贴近度的加权几何平均组合预测模型，给出了非劣性组合预测、优性组合 预测的概念，讨论了它们的性质与有效性． 第３期 王丰效：基于算术平均贴近度的加权几何平均组合预测 参考文献： ［Ｉ－Ｉ唐小我，曾勇．组合预测误差校正应用模型的应用分析ＥＪ］．管理科学学报，２００２，５（６）：５３—６４． ［２］王丰效．组合ＧＭ（１，１）幂模型及其应用［Ｊ］．数学的实践与认识，２０１１，４１（２ｏ）：１２４—１２９． ［３］唐小我．组合预测误差信息矩阵研究［Ｊ］．电子科技大学学报，１９９２，２１（４）：４４８—４５４． ［４］陈华友，赵佳宝，刘春林．基于灰色关联度的组合预测模型的性质ＥＪ］．东南大学学报：自然科学版，２００４，３４（１）： １３Ｏ一１３４． Ｅｓ］ 陈华友．基于相关系数的优性组合预测模型研究［Ｊ］．系统工程学报，２００６，２１（４）：３５３—３６０． Ｅ６］ 汤少梁，李南，巩在武．灰色绝对关联度组合预测模型的性质研究［Ｊ］．系统工程与电子技术，２００８，３０（１）：８９—９２． Ｅ７］ 王应明．基于相关性的组合预测方法研究ＥＪ］．预测，２００２，２１（２）：５８—６２．］．系统工程理论与实践，２００９，２９（９）：８４—９１． ［８］ 孙李红，沈继红．基于相关系数的加权几何平均组合预测模型的性质［Ｊ－ｊ］．运筹与管理，２００７，１６（６）：６９—７３． ［９］ 程玲华，陈华友．基于对数灰关联度的加权几何平均组合预测模型的有效性Ｉ ［１０ 杨名桂，杨晓霞．基于灰色预测模型的重庆市入境旅游客流量预测［Ｊ］．西南师范大学学报：自然科学版，２０１０，３５（３）：２５９—２６３． ［１１］ 卜长明，冯国建，彭杜Ｅ１２］ 涛，叶义，等．重庆市城市生活垃圾产生量预测ＥＪ］．西南大学学报：自然科学版，２００９，３１（９）：１３８—１４１． 琰，李洪伟，等．改进灰色模型与偏最小二乘耦合预测城市需水Ｉ－Ｊ］．西南师范大学学报：自然科学版， ２０１０，３５（６）：１５７—１６２． Ｏｎ Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ Ｆｏｒｅｃａｓｔ ｏｆ Ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｍｅａｎｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ Ａｖｅｒａｇｅ Ａｐｐｒｏａｃｈ ＷＡＮＧ Ｆｅｎｇ—ｘｉａｏ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｋａｓｈｉ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｋａｓｈｉ Ｘｉｎｊｉａｎｇ ８４４０００，Ｃｈｉｎａ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｆｏｒｅｃａｓｔ ｏｆ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｍｅａｎｓ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｆｏｒｅｃａｓｔ． Ｂａｓｅｄ ｏｎ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ａｖｅｒａｇｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ａｐｐｒｏａｃｈ，ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｍｅａｎｓ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｎｏｎ—ｉｎｆｅｒｉｏｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｆｏｒｅｃａｓｔ，ｓｕｐｅｒｉｏｒ ｃｏｍｂｉ— ｎａｔｉｏｎ ｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ ａｎｄ ｒｅｄｕｎｄａｎｔ ｄｅｇｒｅｅ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ．Ｕｎｄｅｒ ｃｅｒｔａｉｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｔ ｃｏｎ— ｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｎｏｎ—ｉｎｆｅｒｉｏｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｕｐｅｒｉｏｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｆｏｒｅｃａｓｔ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｓｏｍｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｗｈｉｃｈ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｗｈｅｔｈｅｒ ａ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａ ｒｅｄｕｎｄａｎｔ ｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｇｉｖｅｎ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｅｘａｍ— ｐｌｅ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｆｏｒｅｃａｓｔ；ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｍｅａｎｓ；ｓｕｐｅｒｉｏｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ；ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ａｖｅｒａｇｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ａｐｐｒｏａｃｈ 责任编辑张枸
