二次函数中的面积计算问题包含铅垂高

题

[典型例题]

例.如图，二次函数yx2bxc图象与x轴交于A,B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C，顶点为M，MAB为直角三角形,图象的对称轴为直线x2，点P是抛物线上位于A,C两点之间的一个动点，则PAC的面积的最大值为（C）

yCA．

271127B．C．D．3 428AMBOx二次函数中面积问题常见类型：

一、选择填空中简单应用 二、不规则三角形面积运用S= 三、运用

四、运用相似三角形

五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形

例1.如图1，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH,

设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是

（B）

例2.解答下列问题：

如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B. （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；

（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

98

思路分析 此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图图2

图1 12我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABCah即三角形面积等于水平宽与铅垂

2高乘积的一半.掌握这个公式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，

2

答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为y1＝a(x－1)＋4(a≠0)．把A(3，0)代入解析式求得a＝－1，

∴抛物线的解析式为y1＝－(x－1)＋4，即y1＝－x＋2x＋3． 设直线AB的解析式为y2＝kx＋b，

由y1＝－x＋2x＋3求得B点的坐标为(0，3)．把A(3，0)，B(0，3)代入y2

＝kx＋b，解得k＝－1，b＝3．

∴直线AB的解析式为y2＝－x＋3． （2）∵C(1，4)，∴当x＝1时，y1＝4，y2＝2．

∴△CAB的铅垂高CD＝4－2＝2．

2

2

2

S△CAB＝×3×2＝3(平方单位)． （3）解：存在．

设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h． 则h＝y1－y2＝(－x＋2x＋3)－(－x＋3)＝－x＋3x 由S△PAB＝S△CAB得：×3×(－x2＋3x)＝×3． 2

2

2

12981298整理得4x－12x＋9＝0，解得x＝．

3215． 432把x＝代入y1＝－x＋2x＋3，得y1＝

3215)． 42

图2

∴P点的坐标为(，

例3.（贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），

O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)经过C、D、B三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积；

（3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2

y 5 思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和△PAB的面积很容易求出。第（3）问是二次4 3 函数中常见的动点问题，由于点M是抛物线上的一个不确定点，点M可以处于不同的位置，2 1 是由于点的不确定性而导致图形的形状发生特征上的变化，故而用分类讨论的思想解决问题。

-3 -2 -1 -1 x 答案:（1）由题意知C（－2，0），D（0，4）．

∵抛物线经过B（4，0），C（－2，0）．∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)

将D（0，4）代入上式，解得a＝－．

1∴该抛物线的解析式为y＝－(x＋2)(x－4) 212y 5 4 3 2 1 即y＝－x＋x＋4．

122

122

（2）∵y＝－x＋x＋4＝－(x－1)＋．

92122

92-3 -2 -1 -1 x ∴抛物线的顶点P的坐标为（1，）． 过点P作PE⊥y轴于点E，如图．

则S△PAB＝S四边形PEOB－S△AOB－S△PEA

＝×(1＋4)×－×4×2－×(－2)×1＝6．

1292121292（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）．

则S△MBC＝|y|×6＝S△PAB＝6

12即|y|×6＝6，∴y＝±2．

129212当y＝2时，－(x－1)＋＝2，解得x＝15；

122

2

当y＝－2时，－(x－1)＋＝－2，解得x＝113．

92∴存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，其坐标为：

M1（1＋5，2），M2（1－5，2），M3（1＋13，－2），M4（1－13，－2）．

例4．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x－2x－8＝0的两个根．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；

（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）解方程x－2x－8＝0，得x1＝－2，x2＝4．

∴A（4，0），B（－2，0）．∵抛物线与x轴交于A，B两点，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)（a≠0）

又∵抛物线与y轴交于点C（0，4），∴a×2×(－4)＝4，∴a＝－． 12122

2

2

12∴抛物线的解析式为y＝－(x＋2)(x－4)，即y＝－x＋x＋4

（2）设点P的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图． ∵A（4，0），B（－2，0），∴AB＝6，BP＝m＋2． ∵PE∥AC，∴△BPE∽△BAC． ∴

EGBPEGm＋22m＋4，∴，∴EG＝ ＝＝

COAB463∴S△CPE＝S△CBP－S△BPE

＝BP·CO－BP·EG

122m＋4) 31212＝(m＋2)(4－

132

＝－(m－1)＋3

又∵－2≤m≤4，∴当m＝1时，S△CPE有最大值3． 此时点P的坐标为（1，0）

（3）存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，点Q的坐标为：

4＋19)，Q5(1，4－19) －11)，Q4(1，Q1(1，1)，Q2(1，11)，Q3(1，

设点Q的坐标为（1，n）．

∵B（－2，0），C（0，4），∴BC＝(－2)＋4＝20． ①当QB＝QC时，则QB＝QC．

即(－2－1)＋y＝(－1)＋(4－y)，∴y＝1． ∴Q1(1，1)

②当BC＝BQ时，则BQ＝BC． 即(－2－1)＋y＝20，∴y＝11．

－11)． ∴Q2(1，11)，Q3(1，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2Q4 Q2 Q1 Q5 Q3 ③当QC＝BC时，则QC＝BC． 即1＋(4－y)＝20，∴y＝419． ∴Q4(1，4＋19)，Q5(1，4－19)．

2

2

例5．如图1，抛物线y＝x－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）．（图2、图3为解答备用图）

（1）k＝_____________，点A的坐标为_____________，点B的坐标为_____________； （2）设抛物线y＝x－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求

出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在抛物线y＝x－2x＋k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

22

2

y 解：（1）－3，（－1，0），（3，0）； y y A OMO，如图 B 1x （2）连结．A O B x A O C B x y C 2C 2

∵y＝x－2x＋k＝(x－1)－4

图1

图2

∴抛物线的顶点M的坐标为（1，－4）．

图3

A O C M

B x S四边形ABMC＝S△AOC＋S△COM＋S△MOB

＝×1×3＋×3×1＋×3×4

121212图1

＝9

说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求 一个梯形与两个直角三角形面积的和． （3）设D（m，m－2m－3），连结OD，如图2．

2

y A O 则0＜m＜3，m－2m－3＜0．

2

B x D

C 图2

S四边形ABDC＝S△AOC＋S△COD＋S△DOB

＝×1×3＋×3×m＋×3×[－(m－2m－3)]＝－m＋m＋

6

1212122

322

92＝－(m－)＋

32322

75． 83当m＝时，四边形ABDC的面积最大．

2Q1 y E A O C 图3

32315此时m－2m－3＝()－2×－3＝－．

2242

B x 315∴存在点D（，－），使四边形ABDC的面积最大．

24（4）有两种情况：

如图3，过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C． ∵在Rt△COB中，OB＝OC＝3，∴∠CBO＝45°，∴∠EBO＝45°，OB＝OE＝3． ∴点E的坐标为（0，3）． ∴直线BE的解析式为y＝－x＋3． 令－x＋3＝x－2x－3，解得2

x1 ＝ －2x2 ＝ 3，

y ＝ 0y ＝ 521∴点Q1的坐标为（－2，5）．

y 如图4，过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2． ∵∠CBO＝45°，∴∠CFB＝45°，∴OF＝OC＝3．

F A O C Q2 图4

B x ∴点F的坐标为（－3，0）． ∴直线CF的解析式为y＝－x－3． 令－x－3＝x－2x－3，解得2

x1＝1x＝0，2 y＝－4y＝－312∴点Q2的坐标为（1，－4）．

综上所述，在抛物线y＝x－2x－3上，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形的点Q有两个，分别是：Q1（－2，5）和Q2（1，－4）．

2

[精选练习]

1.如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP于PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为（）

k

（k＞0，x＜0）x

2．如图，已知A、B是反比例函数y图象上

y C N B A P M

x

（第2题图）

的两点，BC∥x轴，交y轴于点C。动点P从坐标原点沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N。设四

O出发，点为C。边形数图象

O

OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函大致为

S S S S O

A．

t O

B．

t O

C．

t O

D．

t

3.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，

设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是

4.如图，两条抛物线y1=-121χ+1、y2=χ2-1与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于22y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为

5．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

6.如图，抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． （1）求该抛物线的解析式；

2

（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存

在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．

y 2

7．如图，已知抛物线y＝ax＋bx－4与直线y＝x交于点A、B两点，C A、B的横坐标分别为－1和4．

（1）求此抛物线的解析式．

B O A x （2）若平行于y轴的直线x＝m（0＜m＜5＋1）与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点

N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）．

（3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．

2

x＝m y＝x 8．已知二次函数y＝x＋ax＋a－2．

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点； （2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式； （3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为

313？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 22

9．已知：t1，t2是方程t＋2t－24＝0，的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y＝x＋bx＋c的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）．

232

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由． y 10．如图，已知抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A、B B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x－5xA O x ＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1． 2

2

Q P （1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的解析式；

（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A＝90°，AD＝6厘米，DC＝4厘米，BC的坡度i＝3:4．动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B→C→D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．

（1）求边BC的长；

（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；

（3）连结PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，

求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

12．如图①，已知抛物线y＝ax＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 2y y 3 3(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为13．如图，已知抛物线y＝a(x－1)＋CD，C 过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．

B M O A x B O A x （1）求该抛物线的解析式； （图①）（图②）

（2）若动点P从点O出发，以每秒1 个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的

时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单

位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随

之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

14．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝－3x＋m与x轴交于点E． 3（1）求点E的坐标；

（2）求过A、O、E三点的抛物线解析式； （3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值． 15．已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x=4.设顶点为

点P，与x轴的另一交点为点B.

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出

点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度

的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N.将△PMN沿直线

MN对折，得到△P1MN.在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒.求S关于t的函数关系式.

二次函数

中的面积计算问题参

图1

图2

1.D2.A3.y22x4.8 55.解：（1）如图1，过点B作BM⊥x轴于M．

由旋转性质知OB＝OA＝2． ∵∠AOB＝120°，∴∠BOM＝60°．

∴OM＝OB·cos60°＝2×＝1，BM＝OB·sin60°＝2×123＝3． 2∴点B的坐标为(1，3)．

（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y＝ax＋bx＋c ∵抛物线过原点，∴c＝0．

3a4a2b03∴解得 ab323b32图1

∴所求抛物线的解析式为y＝

33x＋

2

23x． 3（3）存在．

为所求．如图2，连接AB，交抛物线的对称轴于点C，连接OC．

∵OB的长为定值，∴要使△BOC的周长最小，必须BC＋OC的长最小． ∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称，∴OC＝AC． ∴BC＋OC＝BC＋AC＝AB．

由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时BC＋OC最小，点C的位置即

设直线AB的解析式为y＝kx＋m，将A(－2，0)，B(1，3)代入，得

32km0k3m3解得k23

m3∴直线AB的解析式为y＝

3233x＋3． 23抛物线的对称轴为直线x图2

＝3＝－1，即x＝－1．

233将x＝－1代入直线AB的解析式，得y＝

32333×(－1)＋3＝

3． ∴点C的坐标为(－1，

33)． 4）△PAB有最大面积．

（如图3，过点P作y轴的平行线交AB于点D． ∵S△PAB＝S△PAD＋S△PBD

＝(yD－yP)(xB－xA)

123233x＋)－(33323x)](1＋2) 312＝[(

3＝－

2x＋

2

x－

2

3x＋3 2图3

31293x ＝－(＋)＋282∴当x＝－时，△PAB的面积有最大值，最大值为

3312231． ×(－)＋×(－)＝－

334221293． 8此时yP＝

∴此时P点的坐标为(－，－

123)． 42

6.解：（1）将A(1，0)，B(－3，0)代入y＝－x＋bx＋c得

－1＋b＋c＝0b＝－2解得 －9－3b＋c＝0c＝3∴该抛物线的解析式为y＝－x－2x＋3． （2）存在．

该抛物线的对称轴为x＝－

－2＝－1

2(－1)2

∵抛物线交x轴于A、B两点，∴A、B两点关于抛物线的对称轴x＝－1对称． 由轴对称的性质可知，直线BC与x＝－1的交点即为所求的Q点，此时△QAC的周长最小，如图1．

y 将x＝0代入y＝－x－2x＋3，得y＝3．

2

C ∴点C的坐标为(0，3)． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b1， 将B(－3，0)，C(0，3)代入，得

－3k＋b1＝0k＝1解得 b＝3b＝311Q B A O x ∴直线BC的解析式为y＝x＋3．

联立x＝－1x＝－1解得 y＝x＋3y＝2∴点Q的坐标为(－1，2)．

（3）存在．

设P点的坐标为（x，－x－2x＋3）（－3＜x＜0），如图2． ∵S△PBC＝S四边形PBOC－S△BOC＝S四边形PBOC－×3×3＝S四边形PBOC－

12922

当S四边形PBOC有最大值时，S△PBC就最大．

∵S四边形PBOC＝SRt△PBE＋S直角梯形PEOC

＝BE·PE＋(PE＋OC)·OE

12112y ＝(x＋3)(－x－2x＋3)＋(－x－2x＋3＋3)(－x) P 222

12C ＝－(x＋)＋＋

32322

9227 8Q B A E O x 当x＝－时，S四边形PBOC最大值为＋

9227927－＝． 82832329227． 8∴S△PBC最大值＝＋

322

当x＝－时，－x－2x＋3＝－(－)－2×(－)＋3＝

3215) 42

2

3215． 4∴点P的坐标为(－，

7.解：（1）由题意知A（－1，－1），B（4，4），代入y＝ax＋bx－4，得

a － b － 4 ＝ － 1a ＝ 1解得 16a ＋ 4b － 4 ＝ 4b ＝ －2x＝m 2

y＝x ∴所求抛物线的解析式为y＝x－2x－4 · 3分 由x＝m和y＝x，得交点N（m，m） 同理可得M（m，m－2m－4），P（m，0） ∴PN＝|m|，MP＝|m－2m－4| ∵0＜m＜5＋1

∴MN＝MP＋PN＝m－m＋2m＋4＝－m＋3m＋4 （3）过B作BC⊥MN于C

则BC＝4－m，OP＝m

∴S＝S△MON＋S△BMN＝MN·OP＋MN·BC＝MN(OP＋BC)

1212122

2

22

＝2(－m＋3m＋4)

2

＝－2(m－)＋

322

25 2∵－2＜0

∴当m＝时，S有最大值

328.解：（1）∵△＝a－4(a－2)＝(a－2)＋4＞0

∴不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点． （2）设x1、x2是y＝x＋ax＋a－2＝0的两个根

则x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2．

∵此函数图象与x轴的两个交点的距离为13，∴(x1－x2)＝13．

即(x1＋x2)－4x1x2＝13．∴(－a)－4(a－2)＝13，整理得(a＋1)(a－5)＝0，解得a＝－1或a＝5． ∵a＜0，∴a＝－1．

∴此二次函数的解析式为y＝x－x－3． （3）设点P的坐标为（xp，yp）

∵函数图象与x轴的两个交点的距离为13，∴AB＝13． ∴S△PAB＝AB·|yp|＝

1231331313·|yp|＝，即． 2222

2

2

2

2

22

∴|yp|＝3，∴yp＝±3．

当yp＝3时，xp－xp－3＝3，解得xp＝－2或xp＝3； 当yp＝－3时，xp－xp－3＝－3，解得xp＝0或xp＝1．

22

综上所述，在函数图象上存在点P，使得△PAB的面积为

313，P点坐标为： 2P1（－2，3），P2（3，3），P3（0，－3）或P4（1，－3）．

9.解：（1）由t＋2t－24＝0，解得t1＝－6，t2＝4．

∵t1＜t2，∴A（－6，0），B（0，4）．

∵抛物线y＝x＋bx＋c的图象经过点A，B两点

1424－6b＋c ＝ 0b ＝ ∴解得3

c ＝ 4c ＝ 42

232

∴这个抛物线的解析式为y＝x＋

232

14x＋4． 3（2）∵点P（x，y）在抛物线上，且位于第三象限，∴y＜0，即－y＞0．

1又∵S＝2S△APO＝2××|OA|·|y|＝|OA|·|y|＝6|y|

2∴S＝－6y分 ＝－6(x＋

232

232

21472

x＋4)＝－4(x＋7x＋6)＝－4(x＋)＋25 32令y＝0，则x＋

14x＋4＝0，解得x1＝－6，x2＝－1． 3∴抛物线与x轴的交点坐标为（－6，0）、（－1，0） ∴x的取值范围为－6＜x＜－1．

（3）当S＝24时，得－4(x＋)＋25＝24，解得：x1＝－4，x2＝－3．

722

代入抛物线的解析式得：y1＝y2＝－4．

∴点P的坐标为（－3，－4）、（－4，－4）．

当点P为（－3，－4）时，满足PO＝PA，此时，□OPAQ是菱形．

当点P为（－4，－4）时，不满足PO＝PA，此时，□OPAQ不是菱形

要使□OPAQ为正方形，那么，一定有OA⊥PQ，OA＝PQ，此时，点的坐标为（－3，－3），而（－3，－3）不在抛物线y＝x＋形．

2

232

14x＋4上，故不存在这样的点P，使□OPAQ为正方310．解：（1）∵OA、OC的长是方程x－5x＋4＝0的两个根，OA＜OC．

∴OA＝1，OC＝4．

∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴 ∴A（－1，0），C（0，－4）．

∵抛物线y＝ax＋bx＋c的对称轴为x＝1 ∴由对称性可得B点坐标为（3，0）．

∴A、B、C三点的坐标分别是：A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）． （2）∵点C（0，－4）在抛物线y＝ax＋bx＋c图象上，∴c＝－4．

将A（－1，0），B（3，0）代入y＝ax＋bx－4得

4a ＝ a － b － 4 ＝ 03解得 9a ＋ 3b － 4 ＝ 08b ＝ －32

2

2

∴此抛物线的解析式为y＝x－x－4．

432

83（3）∵BD＝m，∴AD＝4－m．

在Rt△BOC中，BC＝OB＋OC＝3＋4＝25，∴BC＝5． ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC． ∴

DEADDE4－m，即． ＝＝

BCAB 22222

∴DE＝

20－5m． 4 过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF＝sin∠CBA＝

OC4＝． BC5∴

EF44420－5m＝，∴EF＝DE＝×＝4－m． DE55 ∴S＝S△CDE＝S△ADC－S△ADE

＝(4－m)×4－(4－m)(4－m)

1212＝－m＋2m

122

＝－(m－2)＋2（0＜m＜4）．

122

∵－＜0

12∴当m＝2时，S有最大值2． 此时OD＝OB－BD＝3－2＝1．

∴此时D点坐标为（1，0）．

11.解：（1）如图1，过C作CE⊥AB于点E，则四边形AECD为矩形．

∴AE＝CD＝4，CE＝DA＝6． 又∵i＝3:4，∴

CE3＝． EB4∴EB＝8，AB＝12．在Rt△CEB中，由勾股定理得： BC＝CE2＋EB2＝10． （2）假设PC与BQ相互平分．

图1

∵DC∥AB，∴四边形PBCQ是平行四边形（此时Q在CD），如图2．∴CQ＝

BP，即3t－10＝12－2t．

解得t＝

2222，即t＝秒时，PC与BQ相互平分． 55（3）①当Q在BC上，即0≤t＜

10时 3如图1，过Q作QF⊥AB于点F，则CE∥QF． ∴

QFBQQF3t9t，即＝＝，QF＝．

CEBC61051212∴S△PBQ＝PB·QF＝(12－2t)·

952

9t 5图2

＝－t＋

952

t． 5即y＝－t＋

292981t．∵y＝－t＋t＝－(t－3)＋ 55555∴当t＝3秒时，y有最大值为

281厘米 5②当Q在CD上，即

12121014≤t≤时 33S△PBQ＝PB·CE＝(12－2t)×6

＝36－6t．

即y＝36－6t．此时y随t的增大而减小． 故当t＝

21010秒时，y有最大值为36－6×＝16厘米． 33综合①②，得y与t的函数关系式如下：

925t5t10（0≤t＜） y＝ 36t361014（≤t≤） 33∵

28181＞16，∴当t＝3秒时，y有最大值为厘米． 5512解：（1）由题意得a ＋ b ＋ 3 ＝ 0

9a － 3b ＋ 3 ＝ 0解得2a ＝－1∴所求抛物线的解析式为y＝－x－2x＋3；

b ＝－2－10) （2）存在符合条件的点P，其坐标为P(－1，10)或P(－1，或P(－1，6)或P(－1，)；

53y C （3）解法一：

2

E 过点E作EF⊥x轴于点F，设E(m，－m－2m＋3)（－3＜a＜B0 ） F 则EF＝－m－2m＋3，BF＝m＋3，OF＝－m．

2

O A x ∴S四边形BOCE＝S△BEF＋S梯形FOCE

＝BF·EF＋(EF＋OC)·OF

122

1212＝(m＋3)(－m－2m＋3)＋(－m－2m＋6)(－m)．

322

122

9分

＝－m－m＋＝－(m＋)＋

32929232322

63 8∴当m＝－时，S四边形BOCE最大，且最大值为

322

63． 8此时y＝－(－)－2×(－)＋3＝

3213215 4∴此时E点的坐标为(－，)．

解法二：过点E作EF⊥x轴于点F，设E(x，y)（－3＜x＜0） 则S四边形BOCE＝S△BEF＋S梯形FOCE

＝BF·EF＋(EF＋OC)·OF

12121212＝(3＋x)·y＋(3＋y)(－x)

233(y－x)(－x－3x＋3) ＝＝22＝－(x＋)＋

3232322

63 8∴当x＝－时，S四边形BOCE最大，且最大值为

322

63． 8此时y＝－(－)－2×(－)＋3＝

3213215 4∴此时E点的坐标为(－，)．

13解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)＋33，得0＝a(－2－1)＋33．

∴a＝－

233∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)＋33 3322

即y＝－

33x＋

2

2383x＋． 33（2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点

2332(－3)3∴xD＝－＝1，yD＝－

232383＝33． ×1＋×1＋

333∴点D的坐标为(1，33)．

如图，过点D作DN⊥x轴于N，则DN＝33，AN＝3，∴AD＝32＋(33)2＝6． ∴∠DAO＝60°∵OM∥AD

①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形． ∴OP＝6 ∴t＝6（s）

②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形． 过点O作OE⊥AD轴于E．

在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1． （注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1） ∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．

∴t＝5（s）③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6

－2＝4．

∴t＝4（s）

综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．

（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．

又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6． ∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3） 过点P作PF⊥x轴于F，则PF＝

3t． 2∴S四边形BCPQ＝S△COB－S△POQ

＝×6×33－×(6－2t)×

332633(t－)＋ 282633． 812123t 2＝

32∴当t＝（s）时，S四边形BCPQ的最小值为

323234此时OQ＝6－2t＝6－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝

349433． 4∴PQ＝PF2＋QF2＝(332933)＋()2＝ 44214.解：（1）过点A作AF⊥x轴于F．

则OF＝OAcos60°＝2＝1，AF＝OAsin60°＝2∴A(1，3)．

123＝3． 2代入直线解析式，得341m＝3，∴m＝3． 33∴y＝3344x＋3．令y＝0，得x＋3＝0，∴x＝4． 3333∴E(4，0)．

（2）设过A、O、E三点的抛物线解析式为y＝ax＋bx＋c ∵抛物线过原点，∴c＝0．

3aab33∴解得 4316a4b0b32

∴所求抛物线的解析式为y＝33x＋

2

43x． 3（3）过点P作PG⊥x轴于G，设P(x0，y0)．

S＝S△AOFS梯形△AFGPS△PGE

＝

3(3y0)(x01)(4x0)y0 222＝(3x0＋3y0)

1235225(x0)＋3 22812＝(-3x0＋53x0)＝当x0＝时，S最大＝

52253． 82

15.解：∴二次函数的解析式为y=x2－8x+12……………………………………………2分

点P的坐标为（4，－4）…………………………………………………………3分

（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形.理由如下：

当y=0时，x2-8x+12=0∴x1=2，x2=6 ∴点B的坐标为（6，0） 设直线BP的解析式为y=kx+m

∴直线BP的解析式为y=2x－12

∴直线OD∥BP………………………………………4分

∵顶点坐标P（4，－4）∴OP=42

设D(x，2x)则BD2=（2x）2+(6－x)2

当BD=OP时，（2x）2+(6－x)2=32

解得：x1=

2，x2=2…………………………………………………………………6分 5当x2=2时，OD=BP=25，四边形OPBD为平行四边形，舍去

2∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形…………………7分

2∴当D(，)时，四边形OPBD为等腰梯形………8分

55（3）①当0＜t≤2时，

H∵运动速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，

13t∴MN=t 22则MP=2t∴PH=t，MH=t，HN=

∴S=

313t·t·=t2……………………10分 224②当2＜t＜4时，P1G=2t－4，P1H=t

∵MN∥OB∴P1EF∽P1MN

∴

SP1EFP1EF2t42S(P1G2SP1MNPH)∴() 13t2t4∴SP1EF=3t2－12t+12

∴S=

34t2

－(3t2－12t+12)=－94t2+12t－12∴当0＜t≤2时，S=

32

4t当2＜t＜4时，S=－

92

4t+12t－12……………12分