2015-2016学年河南省驻马店市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年河南省驻马店市高二（上）期末数学试卷（文科）

（解析版）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B．

C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＜1

2．给出如下四个命题：

①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；

②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”； ③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1； ④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件． 其中不正确的命题的个数是（ ） A．4 B．3

C．2

D．1

3．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6

C．a＜﹣3或a＞6

D．a＜﹣1或a＞2

4．已知x，y满足不等式组

，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为（ ）A． B． C． D．2

5．a、b、c＞0，“lna、lnb、lnc成等差数列”是“2a、2b、2c成等比数列”的（ ） A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

第1页（共21页）

）

6．已知f（x）=x2+sin（

+x），f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（ ）

A． B．

C． D．

7．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则（ ） A．0

8．等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前和等于（ ） A．6 9．设曲线A．2

10．若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（ ） A．直角三角形 C．等腰三角形

11．过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（ ） A．

B．

C．（2，+∞）

D．（1，2）

B．等边三角形 D．等腰直角三角形

B．

在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ） C．

D．﹣2

B．5

C．4

D．3

B．1

C．2

D．4

的最小值是

第2页（共21页）

12．函数3]上的最大值为2， 在[﹣2，则实数a的取值范围是（ ）

A．

B． C．（﹣∞，0] D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.

13．已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ．

14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=A= ．

15．已知等差数列{an}的前n项和为Sn=（a+1）n2+a，某三角形三边为a2，a3，a4，则该三角的面积为 ．

16．以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A、B为两个定点，k为正常数，②双曲线

与椭圆

，则动点P的轨迹为椭圆；

有相同的焦点；

bc，sinC=2

sinB，则

③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④和定点A（5，0）及定直线其中真命题的序号为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．B的俯角分别是30°，40°，如图，跳伞塔CD高4，在塔顶测得地面上两点A，又测得∠ADB=30°，求AB两地的距离．

的距离之比为的点的轨迹方程为

．

第3页（共21页）

18．已知集合

，又

A∩B={x|x2+ax+b＜0}，求a+b等于多少？

19．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1•Sn，n∈N* （Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．

20．已知命题p：“存在

”，命题q：“曲线

表示焦

点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线

（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围； （2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．

21．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为（Ⅰ）求椭圆的方程；

表示双曲线”

的椭圆过点（，）．

（Ⅱ）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．

22．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2． （1）求函数f（x）的单调区间；

第4页（共21页）

（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

第5页（共21页）

2015-2016学年河南省驻马店市高二（上）期末数学试卷（文

科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（ ） A．

B．

C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＜1

【考点】对数函数的单调性与特殊点． 【专题】不等式的解法及应用．

【分析】不妨令a=2，b=1，带入各个选项检验，可得结论．

【解答】解：不妨令a=2，b=1，可得选项A正确，而选项B、C、D都不正确， 故选：A．

【点评】本题主要考查不等式与不等关系，运用了特殊值代入法，属于基础题．

2．给出如下四个命题：

①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；

②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”； ③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1； ④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件． 其中不正确的命题的个数是（ ） A．4

B．3

C．2

D．1

【考点】命题的否定；正弦函数的单调性． 【专题】阅读型．

【分析】①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论即可；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可进行判断． 【解答】解：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故错；

第6页（共21页）

②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得，故命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；正确；

③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论：“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1；故错；

④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故正确．其中不正确 的命题的个数是：2． 故选C．

【点评】本题考查的是复合命题的真假问题、命题的否定、正弦函数的单调性等．属于基础题．

3．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ） A．﹣1＜a＜2

B．﹣3＜a＜6

C．a＜﹣3或a＞6

D．a＜﹣1或a＞2

【考点】利用导数研究函数的极值． 【专题】计算题．

【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决． 【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1， 有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）． 若f（x）有极大值和极小值， 则△=4a2﹣12（a+6）＞0， 从而有a＞6或a＜﹣3， 故选C．

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．

4．已知x，y满足不等式组

，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为（ ）

A． B． C． D．2

【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；数形结合．

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【分析】本题处理的思路为：根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最值，即可求解比值．

【解答】解：约束条件 对应的平面区域如下图示： 当直线z=2x+y过A（2，2）时，Z取得最大值6． 当直线z=2x+y过B（1，1）时，Z取得最小值3， 故z=2x+y的最大值与最小值的比值为：2． 故选D．

【点评】本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值．

5．a、b、c＞0，“lna、lnb、lnc成等差数列”是“2a、2b、2c成等比数列”的（ ） A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】等比关系的确定． 【专题】计算题．

【分析】从三个数字成等差数列入手，整理出a，b，c之间的关系，两个条件所对应的关系不同，这两者不能互相推出．

【解答】解：lna、lnb、lnc成等差数列 ∴2lnb=lna+lnc ∴b2=ac 当2b=a+c时，

2a、2b、2c成等比数列，

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这两个条件不能互相推出， ∴是既不充分又不必要 故选D．

【点评】本题考查都不关系的确定，本题解题的关键是根据等比关系和等差关系写出字母之间的关系，看两个条件之间能不能互相推出．

6．已知f（x）=x2+sin（

+x），f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（ ）

A． B． C．

D．

【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的综合应用．

【分析】本题可用排除法，由题意得函数f′（x）为奇函数，故A、D错误；又＜0，故C错误；即可得出结论． 【解答】解：∵f（x）=x2+sin（∴f′（x）=x+cos（

+x），

=

﹣1

）=x﹣sinx．

∴函数f′（x）为奇函数，故A、D错误； 又故选B．

【点评】本题主要考查利用函数的性质判断函数的图象知识，可从函数的奇偶性、单调性、周期性、特殊点等方面进行判断逐一排除，属于中档题．

=

﹣1＜0，故C错误；

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7．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则（ ） A．0

B．1

C．2

D．4

的最小值是

【考点】等差数列；基本不等式；等比数列．

【分析】首先由等差数列和等比数列的性质可得a+b=x+y，cd=xy，然后利用均值不等式求解即可．【解答】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列， 根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy， ∴

当且仅当x=y时取“=”， 故选D．

【点评】本题在应用等差数列和等比数列的性质的同时，还用到了均值不等式，是一道综合性题目．

8．等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前和等于（ ） A．6

B．5

C．4

D．3

．

【考点】等比数列的前n项和． 【专题】等差数列与等比数列．

【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出． 【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5， ∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10． ∴lga1+lga2+…+lga8 =lg（a1a2•…•a8） =4lg10 =4． 故选：C．

【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．

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9．设曲线A．2

B．

在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ） C．

D．﹣2

【考点】导数的几何意义．

【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；

（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a． 【解答】解：∵y=

∴y′=﹣

∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣ ∵切线与直线ax+y+1=0垂直 ∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a． ∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2 故选D．

【点评】函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）

10．若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（ ） A．直角三角形 C．等腰三角形

B．等边三角形 D．等腰直角三角形

【考点】余弦定理．

【专题】三角函数的求值；解三角形．

【分析】对（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc化简整理得b2﹣bc+c2=a2，代入余弦定理中求得cosA，进而求得A=60°，又由sinA=2sinBcosC，则A=60°，进而可判断三角形的形状． 【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc ∴[（b+c）+a][（b+c）﹣a]=3bc ∴（b+c）2﹣a2=3bc， b2﹣bc+c2=a2，

第11页（共21页）

=2cosC，即=2•，化简可得b=c，结合

根据余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA， ∴b2﹣bc+c2=a2=b2+c2﹣2bccosA 即bc=2bccosA 即cosA=， ∴A=60°

又由sinA=2sinBcosC， 则

=2cosC，即=2•

，

化简可得，b2=c2， 即b=c，

∴△ABC是等边三角形． 故选B．

【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公式．

11．过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（ ） A．

B．

C．（2，+∞）

D．（1，2）

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设双曲线方程为

﹣

=1，作出图形如图，由左顶点M在以AB为直径的圆的内部，得

|MF|＜|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＞0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围． 【解答】解：设双曲线方程为

﹣

=1，a＞b＞0

则直线AB方程为：x=c，其中c=因此，设A（c，y0），B（c，﹣y0）， ∴

﹣

=1，解之得y0=

，得|AF|=

，

第12页（共21页）

∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆内部 ∴|MF|＜|AF|，即a+c＜

，

将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＜0

两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＞0，解之得e＞2（舍负） 故选：C

【点评】本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题． 12．函数

3]上的最大值为2， 在[﹣2，则实数a的取值范围是（ ）

A． B． C．（﹣∞，0] D．

【考点】分段函数的应用．

【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用． 【分析】当x∈[﹣2，0]上的最大值为2； 欲使得函数

上的最大值为2，则当x=3时，e3a的值必须小于等于2，从而解得a的范围．

【解答】解：由题意，当x≤0时，f（x）=2x3+3x2+1，可得f′（x）=6x2+6x，解得函数在[﹣1，0]上导数为负，函数为减函数，

在[﹣∞，﹣1]上导数为正，函数为增函数， 故函数在[﹣2，0]上的最大值为f（﹣1）=2； 又有x∈（0，3]时，f（x）=eax，为增函数，

在[﹣2，3]

第13页（共21页）

故要使函数须小于等于2， 即e3a≤2，

解得a∈（﹣∞，ln2]． 故选：D．

在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x=3时，e3a的值必

【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.

13．已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 3x+y﹣4=0 ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题．

【分析】在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题．

【解答】解：函数f（x）=x﹣4lnx，所以函数f′（x）=1﹣，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y﹣4=0 故答案为：3x+y﹣4=0

【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．

14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=30° ．

【考点】正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】已知sinC=2

sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列

bc，sinC=2

sinB，则A= 出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数． 【解答】解：将sinC=2代入得a2﹣b2=

sinB利用正弦定理化简得：c=2

b，

bc=6b2，即a2=7b2，

=

=

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∴由余弦定理得：cosA=，

∵A为三角形的内角， ∴A=30°． 故答案为：30°

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．

15．已知等差数列{an}的前n项和为Sn=（a+1）n2+a，某三角形三边为a2，a3，a4，则该三角的面积为

．

【考点】等差数列的性质．

【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．

【分析】由题意求得数列的前两项，得到公差，结合等差数列的前n项和是常数项为0的n的一次或二次函数求得a，得到具体的首项和公差，求得a2，a3，a4的值，再由海式求面积． 【解答】解：令n=1，得到a1=S1=2a+1，令n=2，得到a1+a2=S2=5a1+4， ∴a2=3a+3，故公差d=（3a+3）﹣（2a+1）=a+2， 又由等差数列{an}的前n项和为Sn=（a+1）n2+a， 得到a=0，∴等差数列的首项a1=1，公差d=2， ∴a2=3，a3=5，a3=7， 设P=

，

=

．

则三角的面积为S=故答案为：

．

【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，训练了利用三角形三边求三角形面积的方法，是中档题．

16．以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A、B为两个定点，k为正常数，②双曲线

与椭圆

，则动点P的轨迹为椭圆；

有相同的焦点；

③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

第15页（共21页）

④和定点A（5，0）及定直线其中真命题的序号为 ②③④ ．

的距离之比为的点的轨迹方程为．

【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

①根据椭圆的定义，②正确，【分析】当k＞|AB|时是椭圆；双曲线

与椭圆

有

相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±

，0）；③方程2x2﹣5x+2=0的两根为或2，可

分别作为椭圆和双曲线的离心率；④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线． 【解答】解：①根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴①不正确； ②正确，双曲线0）；

③方程2x2﹣5x+2=0的两根为或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，∴③正确 ④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线，且a=4，b=3，c=5． 故答案为：②③④．

【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆、双曲线与抛物线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．B的俯角分别是30°，40°，如图，跳伞塔CD高4，在塔顶测得地面上两点A，又测得∠ADB=30°，求AB两地的距离．

与椭圆

有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±

，

【考点】解三角形的实际应用． 【专题】应用题；解三角形．

第16页（共21页）

【分析】先确定AD，BD的长，再利用余弦定理，即可求得AB的长． 【解答】解：∵∠BCD=90°﹣45°=45°， ∴在Rt△BCD中，BD=4×tan45°=4， 又∵∠ACD=90°﹣30°=60°， ∴在Rt△ACD中，AD=4×tan60°=4在△ABD中，AB=

=4．

【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．

18．已知集合

，又

A∩B={x|x2+ax+b＜0}，求a+b等于多少？

【考点】对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算；指数型复合函数的性质及应用． 【专题】计算题．

【分析】先根据指数函数、对数函数的性质，将A，B化简，得出A∩B，再根据一元二次不等式与一元二次方程的关系求出a，b．得出a+b． 【解答】解：由题意

，A∩B=（﹣1，2）

方程x2+ax+b=0的两个根为﹣1和2，由韦达定理则a=﹣1，b=﹣2， ∴a+b=﹣3

【点评】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，集合的基本运算，一元二次不等式与一元二次方程的关系．

19．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1•Sn，n∈N* （Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．

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【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）令n=1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n≥2时再令n=n﹣1得到2an﹣1﹣1=Sn

﹣1

，两个式子相减得an=2an﹣1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求出nan=n•2n﹣1，再由错位相减法求出此数列的前n项和． 【解答】解：（Ⅰ）令n=1，得2a1﹣a1=∵a1≠0，∴a1=1，

令n=2，得2a2﹣1=1•（1+a2），解得a2=2， 当n≥2时，由2an﹣1=Sn得，2an﹣1﹣1=Sn﹣1， 两式相减得2an﹣2an﹣1=an，即an=2an﹣1， ∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， ∴an=2n﹣1，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，nan=n•2n﹣1，设数列{nan}的前n项和为Tn， 则Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，① 2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，② ①﹣②得，﹣Tn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n =2n﹣1﹣n•2n， ∴Tn=1+（n﹣1）2n．

【点评】本题考查了数列an与Sn之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n项和的应用．

20．已知命题p：“存在

”，命题q：“曲线

表示焦

，即

，

点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线

（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围； （2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．

表示双曲线”

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假． 【专题】简易逻辑．

【分析】（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m的取值范围；

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（2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围． 【解答】解：（1）若p为真：解得m≤﹣1或m≥3… 若q为真：则

…

…

解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4… 若“p且q”是真命题，则解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…

（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1… 由q是s的必要不充分条件，

则可得{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}… 即

或t≥4…

…

解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4…

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数轴是解决本题的关键，考查学生的推理能力．

21．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率． 【考点】椭圆的简单性质．

【专题】方程思想；分析法；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可．

的椭圆过点（

，

）．

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（Ⅱ）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为

+

=1（a＞b＞0），

则e==，a2﹣b2=c2， +=1，

解得a=2，b=1， 可得椭圆方程为

+y2=1；

（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由

，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，

则△=k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0， 且x1+x2=﹣

，x1x2=

．

故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2． 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列， 所以

•

=k2，即k2+

=k2，

即

+m2=0，又m≠0，

所以k2=，即k=±． 即有直线l的斜率为±．

【点评】求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．

22．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．

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（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】计算题；转化思想．

【分析】（1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间．） （2）已知条件可以转化为a≥lnx﹣x﹣的最大值即可求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1，

令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的单调递减区间是（0，） 令f'（x）＞0得：

，∴f（x）的单调递增区间是

恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数

（2）g′（x）=3x2+2ax﹣1，由题意2xlnx≤3x2+2ax+1∵x＞0， ∴a≥lnx﹣x﹣

恒成立 ①

设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣=﹣

令h′（x）=0得：x=1，x=﹣（舍去） 当0＜x＜1时，h′（x）＞0； 当x＞1时，h'（x）＜0

∴当x=1时，h（x）有最大值﹣2 若①恒成立，则a≥﹣2， 即a的取值范围是[﹣2，+∞）．

【点评】本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性．这类题目是高考的常考题．

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