组合证券投资决策模型

证券投资者最关心的问题是投资收益率的高低及投资风险的大小。由于投资收益率受证券市场波动的影响，因而可以将其看作一个随机变量。我们可以用一定时期内某种证券收益率X的期望值E(X)来衡量该种证券投资的获利能力，期望值越大证券的获利能力越强；证券的风险可以用该种证券投资收益率的方差D(X)（收益的不确定性）来度量，方差越小证券投资的风险越小。

投资者在选择投资策略时，总希望收益尽可能大而风险又尽可能小，但高收益必然伴随着高风险，低风险也只有在低收益下才有可能。所以投资者只能选择在既定收益率的情况下使投资风险尽可能小的投资策略，或者选择在自己愿意承受的风险水平的情况下追求使总收益率尽可能大的目标。也可以权衡收益与风险的利弊，综合考虑，作出自己满意的投资决策。降低投资风险的有效途径是组合证券投资方式，即投资者选择一组证券而不是一种证券作为投资对象，然后将资金按不同的比例分配到各种不同的证券上进行投资以达到分散投资风险的目的。当然，投资策略的确定不是随意的，它应是建立在科学分析的基础上，以一定的准则来确定最满意的组合证券投资策略。

假定投资者选定了n种风险证券，Xi为证券投资期内第

i种证券的收益率，它受证券市场波动的影响,其预期收益率

和风险分别为Xi的数学期望E(Xi)i及方差D(Xi)i2 (i=1,2,...,n)。n种风险证券收益率向量为

X(X1,X2,,Xn)，它是一个n维随机向量。若n维随机

T向量X的期望向量

(E(X1),E(X2),,E(Xn))T

COV(X1,Xn)COV(X2,Xn) D(Xn)(1,2,,n)T，协方差矩阵

D(X1)COV(X1,X2)D(X2)COV(X2,X1)COV(X,X)COV(X,X)n1n211121n21222n n1n2nn且一般假定为正定矩阵。

n组合证券投资的收益率为RnwXii1i，式中wi为投资

期内在第i种证券投资占总投资额的比例，满足

wi1i1,wi0（此处假定在不允许卖空条件下的投资）。

nn由于Xi均为随机变量，则R也是随机变量，它的数学期望为

mE(R)wiE(Xi)wii，方差为

i1i1nnn2D(R)DwiXiwiwjij，

i1i1j1式中ij为第i种证券与第j种证券收益率的协方差，它

反映了第i种证券与第j种证券收益率的关联（相关）程度，

ijji，iii2(i,j1,2,,n)。

若记W(w1,w2,,wn)T，FnT(1,1,,1)是分量全为1的n维向量。则组合证券投资的期望收益率和风险可以分

别表示为：

mWT 2WTW

由此可以看出，在选定n种投资证券的前提下，n种证券的预期收益率向量及协方差矩阵就是已知的(可以根

据统计数据给出估计)，组合证券投资的收益率及风险都是由投资比例向量W所确定的，投资者可以根据自己的偏好选择投资比例向量W。

投资者的愿望是使得投资的期望收益率最大，即

maxmWT；而又使得风险最小，即min2WTW。

然而，两者都达到是不可能的。投资者只能在达到一定期望收益率的前提下使组合证券投资的风险最小，或者在愿意承受一定风险的情况下使投资的期望收益率最大。建立组合证券投资决策模型：

min2WTW

WT0Ts.t.FnW1W0其中0是给定的预期收益率。该模型的意义是：在达到预期收益率不低于0的情况下使组合证券投资的风险最小。这就是著名的马克维兹（H.M.Markowitz）均值—方差模型。由于均值—方差模型是一个二次规划问题，求解二次规划问题有现成的计算机软件（如LINGO等），求解是十分方便的。

例如，有三种证券的各期收益率数据如下表所示：

期次 1 2 3 4 5 6 证券 14.5% 15.5% 16.5% 15.0% 17.5% 17.0% 证券1 16.5% 17.0% 20.0% 19.0% 17.0% 18.5% 证券2 14.8% 12.8% 13.2% 13.5% 14.5% 15.2% 证券3 三种证券的预期收益率向量及协方差矩阵可由原始统计数据估计出来。一般来说，若n种证券，m期投资的收益率统计数据为

x11,x12,,x1m;x21,x22,,x2m;…；xn1,xn2,,xnm;

则可以根据这些统计数据作为样本，求出i及

ij(i,j1,2,,n)的估计值。记

1mxixik (i1,2,,n),

mk11msijsji(xikxi)(xjkxj) (i,j1,2,,n)

mk1用样本矩作为总体矩的点估计，则

ˆixi (i1,2,,n) ˆijˆjisij (i,j1,2,,n) 所以，可得及的估计

ˆ1,ˆ2,,ˆn)T(x1,x2,,xn)T (ˆij)nn(sij)nn (由上表中的数据，可算得期望收益率向量及协方差矩阵分别为

(16%,18%,14%)T

0.2421.1670.2920.2921.5830.333

0.2420.3330.777若要进行组合投资，在投资的期望收益率不低于17%的前提下，使投资的风险最小。因此可以建立组合证券投资决策的均值—方差模型：

22min21.167w121.583w20.777w30.584w1w20.484w1w30.666w2w3

0.16w10.18w20.14w30.17 s.tw1w2w31w0,w0,w0123用LINGO8.0求解，输入程序：

model:

min=1.167*w1^2+1.583*w2^2+0.777*w3^2+0.584*w1*w2+0.484*w1*w3-0.666*w2*w3;

0.16*w1+0.18*w2+0.14*w3>=0.17; w1+w2+w3=1; end

输出结果：

Local optimal solution found at iteration: 12 Objective value: 0.7574259 Variable Value Reduced Cost W1 0.2316612 0.000000 W2 0.6341694 0.000000 W3 0.1341694 -0.2056630E-08 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.7574259 -1.000000

2 0.000000 -53.88619 3 0.000000 7.645800 因此，得：

w10.2316,w20.6342,w30.1342,min20.757426。

即三种证券的投资比例分别为23.16%、63.42%和13.42%，可使组合证券投资的收益率不低于17%，投资的风险（方差）最小，最小值为0.757426。

第四节 案例2——证券投资计划

投资是一项收益与风险并存的经济行为，投资者在获取较高收益率的同时也承受一定的风险。高收益必然伴随者高风险，为了降低投资风险，人们不是选择一种证券而是选择一组(n种)证券进行组合投资，通过组合证券投资来规避和降低投资风险。

假设投资者选择n种证券进行投资，ri为证券投资期内第i种证券的收益率，它是受证券市场波动影响的随机变量；用ri的数学期望E(ri)i表示第i种证券的期望收益率，反映投资的获利能力；用ri的方差D(ri)i2代表第

ij为第i种证券与第j种反映收益的不确定性；i(i1,2,,n)种证券投资风险，

证券收益率的协方差，反映了第i种证券与第j种证券收益率的关联(相关)程度

(i,j1,2,,n)。

如果投资者对这n种证券进行组合投资，设xi(i1,2,,n)为投资期内第i种证券投资占总投资额的比例(满足xi1,xi0)，则组合证券投资的收益率Ri1n为：Rxiri。

i1nR仍为随机变量，其数学期望m为组合投资的期望收益率，方差2为组合投资的风险。计算公式为：

mE(R)xiE(ri)xiii1i1nn2D(R)xixjCov(ri,rj)xixjiji1j1i1j1nnnn

若用矩阵表示，记：

这n种证券的投资比例向量x(x1,x2,,xn)T；

n种证券期望收益率向量(1,2,,n)T； 11121n222n协方差矩阵21 n1n2nn根据数理统计理论，及可分别由样本数据估计得到。如果rit为我们所选择的第种i证券第t期的收益率(i1,2,,n;t1,2,,N)，其中

rit(pitpit1Dit)/pit1，这里pit、pit1分别为第i种证券第t期末和第t1期末

的价格，Dit为第i种证券第t期的分红。根据样本均值、样本方差和样本协方差分别为总体均值、总体方差和总体协方差的无偏、一致、有效估计量，则可得：

1ˆiriNrt1Nit(i1,2,,n）

1Nˆijsij(ritri)(rjtrj)（i,j1,2,,n)

N1t1即可获得期望收益率向量及协方差矩阵的估计，为我们进行投资决策奠定基础。通常，高收益伴随着高风险，而低风险只有在较低收益之下才能实现，所以不可能使风险最小而同时又使收益最大，故投资者只能在风险与收益之间权衡后作出自己比较满意的证券投资组合决策。

理性的投资行为是风险厌恶型的，但不是极端风险厌恶型(不管收益大小，只求风险最小)，属风险回避型，准则是：在预期收益率为m0的情况下选择使投资风险最小的投资方案。可通过下面的不允许卖空的组合证券投资决策模型进行投资决策：

min2xTxTenx1模型(A)s.tTxm0x0

式中，en(1,1,,1)T是元素全为1的n维列向量，m0是供投资者选定的预期收益率。该模型的意义是：在满足既定预期收益率m0的情况下，使投资的风险2最小。

基于以上投资组合理论，本文将根据中证指数公司发布的HS300行业分类指数构建投资组合，样本数据为2005年1月4日—2008年4月18日的日收盘价，共797个样本来分析行业资产配置的问题，并进一步进行资产配置的影子价格分析。

HS300行业分类指数分别是：能源指数、原材料指数、工业指数、可选消费指数、主要消费指数、医药卫生指数、金融地产指数、信息技术指数、电信业务

指数和公用事业指数。

根据这些行业的期望收益率(对数)的样本值得到期望收益率向量与协方差矩阵为：

103(1.76,1.60,1.34,1.43,2.06,1.54,1.98,0.60,1.32,0.81)

4.82243.89173.58223.538142.9130103.28343.46813.42463.38923.50493.89174.69364.03344.10463.27333.65433.48164.00723.47693.97513.58224.03344.19574.07173.22853.77613.35864.07653.35393.92403.53814.10464.07174.62203.36573.98803.42984.51053.36073.93532.91303.27333.22853.36573.93943.28302.76733.34492.75103.04093.28343.65433.77613.98803.28304.85073.13924.02382.95823.65433.46813.48163.35863.42982.76733.13924.87173.30693.17823.15343.42464.00724.07654.51053.34494.02383.30695.46263.49664.01843.38923.47693.35393.36072.75102.95823.17823.49665.27283.32113.50493.97513.92403.93533.04093.65433.15344.01843.32114.6585①假设投资者的预期收益率为2‰

则可建立非线性规划模型，如下：

22222min2104（4.8224x124.6936x24.1957x34.6220x43.9394x54.8507x622224.8717x75.4626x85.2728x94.6585x107.7834x1x27.1644x1x37.0762x1x45.8260x1x56.5668x1x66.9362x1x76.8492x1x86.7772x1x97.0098x1x108.0668x2x38.2092x2x46.5466x2x57.3086x2x66.9632x2x78.0144x2x86.9538x2x97.9502x2x108.1434x3x46.2570x3x57.5522x3x66.7172x3x78.1530x3x86.7078x3x97.8480x3x106.7314x4x57.9760x4x66.8596x4x79.0210x4x86.7214x4x97.8706x4x106.5660x5x65.5346x5x76.6898x5x85.5020x5x96.0818x5x106.2784x6x78.0467x6x85.9164x6x97.3086x6x106.6138x7x86.3564x7x96.3068x7x106.9932x8x98.0368x8x106.6422x9x10）0.00176x10.00160x20.00134x30.00143x40.00206x50.00154x60.00198x70.00060x0.00132x0.00081x0.0028910s.t.x1x2x3x4x5x6x7x8x9x101xi0(i1,2,,10)运用Lingo8.0求解，得到方差最小的组合投资策略。变动预期收益率当预期收

益率m0，当预期收益率从0.00172——0.00206取不同值时(步长取1104)，风险

2与对应的拉格朗日乘数绝对值1如下表

表3-1 收益率与对应的风险与及拉格朗日乘数绝对值表

0.00172 0.00173 0.00174 0.00175 0.00176 0.00177 0.00178 0.00179 0.00180 0.00181 0.00182 0.00183 0.00184 0.00185 0.00186 0.00187 0.00188 0.00189 0.00190 0.00191 0.00192 0.00193 0.00194 0.00195 0.00196 0.00197 0.00198 0.00199 0.00200 0.00201 0.00202 0.00203 0.00204 0.00205 0.00206 m00.00033326 0.00033326 0.00033326 0.00033326 0.00033327 0.00033328 0.00033332 0.00033338 0.00033347 0.00033359 0.00033373 0.00033389 0.00033408 0.00033429 0.00033454 0.00033480 0.00033509 0.00033544 0.00033587 0.00033637 0.00033695 0.00033760 0.00033834 0.00033915 0.00034007 0.00034111 0.00034226 0.00034353 0.00034492 0.00034647 0.00034852 0.00035114 0.00035581 0.00036976 0.00039394 2 1 0 0 0 0 0.00021 0.00268 0.00521 0.00778 0.01021 0.01273 0.01522 0.01778 0.02022 0.02272 0.02522 0.02772 0.03097 0.03867 0.04637 0.05406 0.06171 0.06948 0.07715 0.08631 0.09795 0.10959 0.12128 0.13292 0.14452 0.17613 0.23364 0.29116 0.88244 1.90635 2.93025

作出风险随收益率的变化图与拉格朗日乘数绝对值随收益率的变化图(图3-1与图3-2)

风险随收益率的变化风险0.00040.000390.000380.000370.000360.000350.000340.000330.00170.001750.00180.001850.00190.001950.0020.002050.0021收益率图3-1 风险随收益率的变化图

2注：纵坐标为，横坐标为m0

从图3-1可以看出，在m0较小时，随着m0的增加2增加的速度比较慢，在

m0相对较大时，随着m0的增加2增加的速度比较快。曲线在每一点的切线斜率

的大小，就是预期收益率m0在当前值的机会成本的大小，就是对应的拉格朗日乘数，即不同收益率的边际成本。曲线上的每一点的纵坐标都代表在该收益率下(横坐标的值)风险所能达到的最小值。

拉格朗日乘数绝对值拉格朗日乘数绝对值随收益率的变化3.532.521.510.500.0017-0.50.001750.00180.001850.00190.001950.0020.002050.0021收益率图3-2拉格朗日乘数绝对值随收益率的变化图

注：纵坐标为1，横坐标为m0

从图3-2可以看出：当拉格朗日乘数(收益率的影子成本)绝对值比较小时，即风险随收益率的变化速率较慢时，增加一单位收益率引起的风险的增加比较小，或者说风险只需小小的增加一点就可以使得收益率有一定的增长空间，所以此时可以采取增加投资风险来提高收益率；但是当拉格朗日乘数绝对值比较大时，即风险随收益率的变化速率较快时，收益率稍稍增加一点，都可能使得风险

增加很多，就不可以采取增加投资风险来提高收益率。

进一步由图3-2可以看出，当m0<0.002时，收益率增加，拉格朗日乘数绝对值基本上不增加，即m0<0.002时，收益率增加带来的风险增加的速率基本不怎么变化，也就是说在这个范围内收益率增加导致的风险增加不明显，此时增加收益率是可取的；但当m0>0.002时，收益率增加，拉格朗日乘数绝对值增加的比较明显，也即收益率增加带来的风险增加的速率较快，收益率增加一点会使得风险增加很多，这时增加收益率则是不明智的，此时应规避风险，降低收益率。这里拉格朗日乘数的变化就是收益的影子成本的变化，投资者可以根据拉格朗日乘数的变化来确定自己的投资策略。

SETS:

STOCKS/1..10/:Mean,X; STST(Stocks,stocks):COV; ENDSETS DATA:

TARGET=0.0015;

!Mean是收益均值，COV是协方差矩阵;

mean=0.00176 0.00160 0.00134 0.00143 0.00206 0.00154 0.00198 0.00060 0.00132 0.00081; COV=0.00048224 0.00038917 0.00035822 0.00035381 0.00029130 0.00032834 0.00034681 0.00034246 0.00033892 0.00035049

0.00038917 0.00046936 0.00040334 0.00041046 0.00032733 0.00036543 0.00034816 0.00040072 0.00034769 0.00039151

0.00035822 0.00040334 0.00041957 0.00040717 0.00032285 0.00037761 0.00033586 0.00040765 0.00033539 0.00039240

0.00035381 0.00041046 0.00040717 0.00046220 0.00033657 0.00039880 0.00034298 0.00045105 0.00033607 0.00039353

0.00029130 0.00032733 0.00032285 0.00033657 0.00039394 0.00032830 0.00027673 0.00033449 0.00027510 0.00030409

0.00032834 0.00036543 0.00037761 0.00039880 0.00032830 0.00048507 0.00031392 0.00040238 0.00029582 0.00036543

0.00034681 0.00034816 0.00033586 0.00034298 0.00027673 0.00031392 0.00048717 0.00033069 0.00031782 0.00031534

0.00034246 0.00040072 0.00040765 0.00045105 0.00033449 0.00040238 0.00033069 0.00054626 0.00034966 0.00040184

0.00033892 0.00034769 0.00033539 0.00033607 0.00027510 0.00029582 0.00031782 0.00034966 0.00052728 0.00033211

0.00035049 0.00039751 0.00039240 0.00039353 0.00030409 0.00036543 0.00031534 0.00040184 0.00033211 0.00046585; ENDDATA

[OBJ] MIN=@sum(STST(i,j):COV(i,j)*x(i)*x(j)); [ONE] @SUM(stocks:mean*X)>=TARGET; [TWO] @SUM(STOCKS:X)=1; END