3. 湍流运动的基本方程内容NS方程−湍流问题涡量的输运方程−连续性方程、运动方程−涡量、涡量方程雷诺方程湍流涡粘性假设−雷诺应力−雷诺应力输运方程湍流标量输运方程21流体运动方程z基本假设−连续性假设−微团假设…………………..？？质点假设z物理原理#反映普适规律−物质守恒定律−动量守恒定律（牛顿运动定律）−能量守恒定律—热力学第一定律#反映流体物质特性的定律−流体的本构方程−流体的状态方程NS方程（1）z连续性方程#物质守恒关系式密度对时间的导数×体积单位时间控制体内质量的增量＝单位时间内流入控制体的质量－单位时间内流出控制体的的质量密度×垂直控制面的速度×面积＝单位时间内经过控制面的迁移质量之和（净流量）42NS方程（2）z连续性方程y#二维微元控制体⎛x⎜⎜⎝ρ+1∂ρ2∂ydy⎞⎟⎛⎟⎠, ⎜⎜⎝v+1∂v2∂ydy⎞⎟⎟dx⎠⎛⎜ρ1∂ρdx⎞⎟⎛⎝−2∂x⎠⎜⎝ρ+1∂ρ2∂xdx⎞⎟⎠⎛1∂udy⎜u−dx⎞⎟Ou,v2∂x(ρ,)⎛⎝⎠⎜1∂u⎝u+2∂xdx⎞⎟⎠⎛⎜⎜⎝ρ−1∂ρ2∂ydy⎞⎟⎟⎠, ⎛⎜⎜⎝v−1∂v⎞2∂ydy⎟⎟⎠5NS方程（3）z连续性方程#二维连续性方程∂ρ1∂∂t⋅dx⋅dy=⎛⎜⎝ρ−ρ⎞⎛1∂u⎞⎛1∂ρ⎞⎛1∂u⎞2∂xdx⎟⎠⎜⎝u−2∂xdx⎟⎠⋅dy－⎜⎝ρ+2∂xdx⎟⎠⎜⎝u+2∂xdx⎟⎠⋅dy +⎛⎜⎜1∂ρ⎝ρ−2∂ydy⎞⎟⎟⎛⎠⎜⎜⎝v−1∂v2∂ydy⎞⎟⎟⎠⋅dx－⎛⎜⎜1∂ρ⎝ρ+2∂ydy⎞⎟⎟⎛⎠⎜⎜1∂v⎞⎝v+2∂ydy⎟⎟⎠⋅dx = ⎛⎜∂ρ∂u⎞⎛∂ρ∂v⎞⎝−u∂xdx−ρ∂xdx⎟⎠⋅dy+⎜⎜⎝−v∂ydy−ρ∂ydy⎟⎟⎠⋅dx =⎛⎜∂ρ⎝−u∂x−ρ∂u⎞⎛∂ρ∂v⎞∂x⎟⎠dxdy+⎜⎜⎝−v∂y−ρ∂y⎟⎟⎠dxdy∂ρ∂(ρu)∂(∂t+∂x+ρv)∂y＝063NS方程（4）z连续性方程笛卡尔坐标下#三维连续性方程∂ρ∂t+∂(ρu)∂x+∂(ρv)∂y+∂(ρw)∂z＝0张量下标形式∂ρ∂(ρuiρ∂t+)∂x=0或DDt+ρ∂uii∂x=0i7NS方程（5）z运动方程y#微元控制体⎛x⎜⎜⎝(ρu)v+1∂(ρu)v⎞2∂ydy⎟⎟dx⎠⎛⎜(ρ1∂(ρu)udx⎞⎟dy⎛⎜1∂(ρu⎝u)u−2∂x⎠O(ρ,u,v)⎝(ρu)u+)u2∂xdx⎞⎟⎠⎛⎜⎜1∂(⎝(ρu)v−ρu)v⎞2∂ydy⎟⎟⎠84NS方程（6）z运动方程#动量平衡定理单位时间控制体内动量的变化＝单位时间内经过控制面的迁移动量之和＋力的总和ρu: ⎧⎨∂(ρu)∂[(ρu)u]∂[(ρ⎩∂t+∂x+u)v]⎫∂y⎬⎭dxdy＝∑Fxdxdy∂(ρu)∂((ρu)u)∂((ρu)v)∂((ρuρ∂t+∂x+∂y+)w)∂z=Fx⎢⎡∂u⎣∂t+u∂u∂x+v∂u∂y+w∂u⎤∂z⎥⎦=Fx∂(ρv)∂((ρv)u)∂((ρv)v)∂((ρv)w∂t+∂x+∂y+)∂z=Fyρ⎢⎡∂v∂v∂v∂v⎤⎣∂t+u∂x+v∂y+w∂z⎥⎦=Fy∂(ρw)∂((ρw)u)∂((ρw)∂t+v)∂((ρw)w)∂x+∂y+∂=Fzρ⎡∂wz⎣⎢∂t+u∂w∂x+v∂w∂y+w∂w⎤∂z⎥⎦=Fz9NS方程（7）τyyz运动方程τyxτxy#受力分析)τxx体积力⎧⎪VpO(ρ,u,v,p⎨fxdxdy⎪⎩fVpydxdy⎧⎪∂τxx⎪dxdy+∂τyx表面应力⎨∂x∂ydxdy⎪∂τxy⎩∂xdxdy+∂τyy⎪∂ydxdy正应力切应力移动变形(可压缩）移动转动105NS方程（8）z运动方程#采用张量下标形式的运动方程ρ⎜⎛∂u∂u⎞⎜ii⎟=ρfp∂τ⎝∂t+uj∂x⎟⎠i−∂j∂x+iji∂xj=ρf∂p∂⎛∂i−⎜μ⎛∂x+2⎜uj∂ui⎞⎟⎞⎟−2∂⎛⎜μ∂uk⎞⎟i∂xj⎜⎝2⎜+⎝∂xi∂xj⎟⎠⎟⎠3∂xi⎜⎝∂xk⎟⎠=ρf∂p∂⎛⎜∂ui⎞⎟+μ∂⎛⎜∂uj⎞⎟−2μ∂⎛⎞i−∂x+μ⎜∂uk⎟i∂xj⎜⎝∂xj⎟⎠∂xj⎜⎝∂xi⎟⎠3∂xi⎜⎝∂xk⎟⎠=ρf∂p∂2uiμ∂⎛∂u⎞i−∂x+μ∂x2+⎜k⎟i3∂xi⎜⎟j⎝∂xk⎠11NS方程（9）z运动方程#不可压缩流动的方程简化⎧⎪ρ⎛⎜∂u⎞⎪⎜i+u∂ui⎞j∂x⎟=ρf∂p∂2uiμ∂⎛∂uki−+μ2+⎜⎟j⎟⎠∂⎟⎨⎝∂txi∂xj3∂xi⎜⎝∂xk⎠⎪⎪Dρ∂ui⎩Dt+ρ∂x=0i⎧⎪∂ui∂⎪⎨∂t+uui1∂p∂2uij∂x=fi−jρ∂x+ν2i∂xj⎪∂u⎪i⎩∂x=0i126雷诺方程（1）#NS方程的平均化处理Apparent stressApparentstressReynolds stress13雷诺方程（2）z雷诺应力#雷诺应力的量级雷诺应力的估计粘性应力的估计两者之比147雷诺方程（3）z脉动方程#脉动方程的推导NS方程雷诺方程脉动方程15雷诺方程（4）z雷诺应力输运方程#雷诺应力输运方程的推导脉动方程雷诺应力输运方程168雷诺方程（5）z雷诺应力输运方程#雷诺应力输运方程的各项生成项再分配项扩散项耗散项17湍流标量的输运方程z标量方程#温度标量输运方程被动性189涡量输运方程（1）z涡量#涡量的定义#涡线19涡量输运方程（2）z涡量#涡通量#涡通量守恒2010涡量输运方程（3）z涡量方程#涡量的平均方程涡量输运方程涡量平均方程涡量脉动方程21涡量输运方程（4）z涡量方程#脉动量的拟涡能拟涡能生成项扩散、耗散项2211梯度扩散和湍流涡粘性假设#梯度扩散——菲克定律（Fick Law)对于任意标量有：分子扩散率molecular diffusivity#标量湍流输运：molecular fluxscalar flux#对于流体分子扩散（分子应力项）对于流体分子扩散（分子应力项）：τδ⎛∂ui∂uj⎞ij=−pij+μ⎜⎜∂x+∂x⎟#湍流涡粘性假设：⎝ji⎟⎠−ρuρ2kδ⎛∂ui∂uj⎞2⎛∂ui∂uj⎞iuj=−3ij+μT⎜⎜+=−ρkδ⎝∂xx⎟⎟ij+ργT⎜⎜∂x+⎟j∂i⎠3⎝j∂xi⎟⎠12
