数学建模数学的巧妙运用

第4章 数学的巧妙应用

[教学目的和要求]

通过一些简单的问题，让学生尝试怎样把数学应用到实际问题中，培养和发挥学生的创造性思维。

[教学内容]

问题：

1. 棋子颜色的变化

任意拿出黑白两种颜色的棋子共8个，排成如下图所示的一个圆圈。然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子。在重复以上的过程，这样放一圈后就拿走前次的一圈棋子，问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢？

2. 跑步问题

在任何一个5min的时间去件内均不跑500m，问10min能否恰好跑完1000m？

3. 铺瓷砖问题

要用40快方形瓷砖铺如下图所示形状的地面，但当时市场上只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块。一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面，结果弄来弄去始终无法铺好。试问是这人的工夫不到家还是这个问题根本无解呢？

铺瓷砖地面

4. 七桥问题

18世纪，普鲁士哥尼斯堡镇上有一个小岛，岛旁流过一条河的两条支流，七座桥跨在河的两支流上（如下图）。

假设A表示岛，B表示河的左岸，C表示右岸，D为两支流间地区，a,b,c,d,e,f,g分别表示七座桥。

问一个人能否经过每座桥一次且恰好经过每座桥一次并且最后回到原出发点？

图：哥尼斯七桥

5. 相识问题

在6人的集会上，假定认识是相互的，则总能找到或者3个人相互都认识，或者3个人谁都不认识谁。请问这个结论正确吗？

6. 夫妻过河问题

有三对夫妻要过河，船至多可载2人，条件是任一女子不能在其丈夫不在场的情况下与另外的男子在一起，问如何安排这3对夫妻过河。

解答：

1． 棋子颜色的变化

这个问题似乎和数学没有关系，纯粹是游戏性的东西。但我们完全可以用数学的推理方法说明最多经过8次变换，各棋子的颜色都会变黑.注意到我们的规则是同色的棋子中间加黑色棋子，两异色的棋子中间加白色棋子，即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，用+1表示黑，-1表示白，则这与+1、-1之间的乘法运算是一致的，开始摆的8颗棋子记为

a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a88，下一次在，我们仅关心的是棋子的颜色，故ak+1或-1，k1,2,…，

a1与a2中间摆的棋子的颜色由a1a2决定，类似的akak1正好给出了所放棋子的颜色，这样一

次次地放下去，各次的颜色均可由下面的数确定：

第0次 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

第1次 a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a5a6 a6a7 a7a8 a8a1

第2次

2a1a2a3

22a2a3a4a3a4a5 … …

a8a12a2

第三次

33a1a2a3a4

33a2a3a4a53a8a13a2a3……

… … … … … … 第八次

18285670562881a1a2a3a4a5a6a7a8a1 … …

18285670562881a8a1a2a3a4a5a6a7a8

在原来的基础上，最多经过8次变换以后，各个数都变成了+1，这意味着所有旗子都是黑色，且以后重复上述过程，颜色也就不再变化了。

2． 跑步问题

设[0，t]内跑过的距离为s(t)，则s(t)是t的连续非减函数，假设在10分钟之内能够跑1000m，则有s(0)0，s(10)1000，令f(t)s(t5)s(t)500,f(t)就是t的连续函数，

f(0)=s(5)500，f(5)500s(5)，因f(0)f(5)(500s(5))20，故由连续函数的介值定理，

必有t1[0,5],使f(t1)0,即s(t15)-s(t1)500，与题意矛盾，所以假设错误，题目中提出的要求无法实现。

3． 瓷砖问题

首先讨论用20块长方形瓷砖铺成题中图所示地面的可能性。

为此，在图上黑白相间地染色。然后仔细观察，发现工有19个白格和21个黑格。一块长方形瓷砖可以盖住一黑一白两个方块两个方块。所以铺上19块长方形瓷砖后，总要剩下2个黑格无法铺，因一块长方形瓷砖是无法盖住两个黑格的，唯一的解决办法是把最后一块瓷砖分为两个正方形瓷砖去盖住两个黑格。

解决这一问题时所用的方法在数学上称为奇偶检验，即可认为图黑色的格子是偶数，涂白色的格子是奇数，同色的格子有相同的奇偶性，一块长方形瓷砖显然只能覆盖奇偶性相反的一对方格，因此把19块瓷砖在地面上铺好后，只有在剩下的两个方格具有相反的奇偶性时，才可能把最后一块长方形瓷砖铺上。由于剩下的两个方格具有相同的奇偶性，因此无法铺上最后一块瓷砖。

4． 七桥问题

建模 既然岛与陆地无非是桥梁连接的，那么就不妨把4处地点缩小（抽象）成4个点，并把7座桥缩小（抽象）成7条边，便得到七桥问题的模拟图（如下），于是七桥问题就等价为一笔画出上述图形的问题（每条边必须且只须经过一次）。

图：七桥模拟图

欧拉解决七桥问题是先考虑一般化问题：如果给定任意一个河道图与任意河道图与任意多座桥，可否判断每座桥能否恰好走过一次呢？一般化的问题就要有一个一般解法，才有更实际的意义，考查一笔画的结构特征，有个起点和终点（起点和终点重合时即为欧拉图）。除起点与终点处，一笔中出现在交点处的边总是一进一出的，故交点的度数总和为偶数，由此欧拉给出一般结论：

（1） 连接奇数个桥的陆地仅有一个或超过两个以上，不能实现一笔画。

（2） 连接奇数个桥的陆地仅有两个时，则从两者任一陆地出发，则从两者任一陆地出发，可以实现一笔画而停在另一陆地。

（3） 每个陆地都连接有偶数个桥时，则从任一陆地出发都能实现一笔画，而回到出发点。

对于模拟图，显然图必须是连通的，当且仅当图为欧拉图时，一笔画问题才能实现，由图可以知道，问题无解。

5． 相识问题

本问题也可以通过图论获解。

用6个点（记为u1,u2,u3,u4,u5,u6）表示6个人，若两个人相互认识，就在相应的两个点之间连一条边，则此图补图的一条边就表示对应于它的关联顶点的人相互不认识，于是问题转化为须证下列命题：

对于一个任意的具有6个顶点的简单图G，要么这图本身要么它的补图G含有一个三角形（即具有3个顶点的完全图K3）.

图：相识图

不妨考虑u1与其余的5个顶点不在G中相邻就在G中相邻，因此在G中或在G中，至少与三个点相邻，不妨假设在G中，有边u1u2,u1u3,u1u4E(G)，见下图

（1） 若u2,u3,u4这3个点有两个点在G中相邻，比如说u2u3E(G)，则有u1,u2,u3这3个顶点的完全图K3即为所求。

（2） 若u2,u3,u4这3个顶点任两个点在G中不相邻，则在G中，则u2,u3,u4这3个顶点的完全图K3即为所求。

由此，问题得到解决。

6． 夫妻过河问题

用向量(H,W)表示有H个男人和W个女人在左岸，其中0H,W3.

（1） 可取状态：一共10个，它们是

(0,i),(i,i),(3,i) i0,1,2,3

其中(i,i)表示i对夫妻.

（2） 可取运载：取可取运载向量为

(1)k(m,n)

其中m,n0,1,2，且1mn2，k1,2,….当k为奇数时，负向量表示过河；当k为偶数时，正向量表示从对岸返回来。

（3） 可取运算：按普通向量加法运算，一次过河就相当于一个可取状态向量与一个可取运载向量相加.

问题转化为：由初始状态(3,3)经多少次（奇数次）可取运算才能转化为状态(0,0).

可以验证，经11次可取运算即可完成：

去2女回1女去2女(三对夫妻)（3男1女）（3男两女）（3男）

回一对夫妻去2男（3男1女）（1男1女）（2男2女）（2女）回1女去2女回1女去2女（3女）（1女）（2女）（无人）

回1女去2男留一对夫妻

计算机求解：

记可取状态集合和可取运载集合分别为

S{(0,i),(i,i),(3,i),i0,1,2,3}

D{(m,n)|1mn2,m,n0,1,2}

并用s1(m,n),s2(m,n),…(skS)表示状态的变化过程，dk(m,n)(dkD)表示状态sk(m,n)下的过河方案，当k为奇数时，dk表示从左岸到右岸，当k为偶数时，表示从右岸到左岸。状态转移满足如下关系：

sk1sk(1)kdk

问题转化为：求dkD(k1,2,…)，使状态从初始状态s1(3,3)经n转移达到sn(0,0)最小的n.

用这个模型可以很方便的在计算机上求解，如果计算过程出现循环，说明问题无解答。

图解法求解：

在HW平面坐标系中，用“•”表可取状态，从A(3,3)经奇数次转移到达O(0,0)，其转移规则为：

（1） 第奇数次转移应该向左或向下移动2格，而落在一个可取状态上.

（2） 第偶数次转移时需向右或上移动1至两格而落在一个可取状态上.

下图给出了一种可实现的转移过程。

[教学重点与难点]

灵活地应用数学去解决实际问题。

[练习实验题]