一、选择题（共6小题）. 1．下列运算不正确的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A．1、4、17
B．7、8、9
C．4、3、5
D．
3．如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC＝12米，AB＝BC＝8米，若用篱笆围成四边形BCED，则需要篱笆的长是（ ）
A．22米 B．20米 C．17米 D．14米
4．某校八年级（1）班全体学生期末体育考试成绩统计表如下：
成绩/分 人数
40 2
43 6
45 7
46 7
49 10
52 12
55 6
根据上表中信息判断，下列结论中错误的是（ ） A．该班一共有50名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是52分 C．该班学生这次考试成绩的中位数是49分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分
5．已知正比例函数y＝kx（k≠0），函数值随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接
AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S
边形AEBO
四
＝S菱形ABCD中，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共6小题）. 7．若二次根式
有意义，则x的取值范围是 ．
8．已知一组数据1，a，3，6，7，它的平均数是4，则a＝ ．
9．如图，直线y1＝nx与直线y2＝kx+b交于点A（2，），则不等式nx≥kx+b的解集是 ．
10．如图，长为8cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了 cm．
11．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为 ．
12．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝16cm，AC＝20cm，点P是△ABC边上的一个动点，点P从点A开始沿A→B→C→A方向运动，且速度为每秒4cm，设出发的
ts） 时间为（，当点P在边CA上运动时，若△ABP为等腰三角形，则运动时间t＝ ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）计算：（2）化简：
．
；
14．如图△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝13，AD＝12，BC＝14，求AC的长．
15．在图1，图2中，点E是矩形ABCD边AD的中点，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
（1）在图1中，以AE为一边在矩形外部画△AEP，使△AEP的面积等于矩形ABCD的面积的．
（2）在图2中，以AE为对角线画一个平行四边形．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，且B（8，4），C（6，0），直线AC与y轴相交于点D，求点D的坐标．
17．为宣传世界海洋日，某校八年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级600名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图（如图）． 知识竞赛成绩分组统计表
组别 A B C D
请根据图表信息解答以下问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名参赛学生的成绩； （2）统计表中a＝ ；
（3）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到70分以上的学生约有多少人．
分数/分 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
频数 a 11 16 24
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
19．在“新冠病毒”防控期间，某医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与额温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
项目 购进数量（件） 酒精消毒液
额温枪 30 20
购进所需费用（元）
第一次 第二次
20 30
6200 4300
（1）求酒精消毒液和额温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）公司决定酒精消毒液以每件15元出售，额温枪以每件220元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的9倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．
20．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点P（m，n）和直线y＝nx+m，我们称点P（m，n）是直线y＝nx+m的反关联点，直线y＝nx+m是点P（m，n）的反关联直线．特别地，当n＝0时，直线y＝m（m为常数）的反关联点为P（m，0）． 如图，已知点A（﹣2，2），B（1，﹣4），C（4，2）．
（1）点B的反关联直线的解析式为 ；直线AC的反关联点的坐标为 ； （2）设直线AB的反关联点为点D，直线BC的反关联点为点E，点P在x轴上，且S
△DEP
＝2，求点P的坐标．
五、（本大题1小题，共10分）
21．已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．
（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为 ；
（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．
（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．
参考答案
一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列运算不正确的是（ ） A．解：（A）（B）原式＝（C）原式＝（D）原式＝2故选：A．
2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A．1、4、17
B．7、8、9
C．4、3、5
D．
﹣与
B．
C．
D．
不是同类二次根式，故不能合并，故A错误． ＝＝＝
，故B正确． ，故C正确． ，故D正确．
解：A、因为12+42≠172，所以不能构成直角三角形； B、因为72+82≠92，所以不能构成直角三角形； C、因为42+32＝52，所以能构成直角三角形； D、因为（故选：C．
3．如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC＝12米，AB＝BC＝8米，若用篱笆围成四边形BCED，则需要篱笆的长是（ ）
）2+（
）2≠（
）2，所以不能构成直角三角形．
A．22米 B．20米 C．17米 D．14米
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE＝BC＝4，BD＝AB＝4，CE＝AC＝6，
∴需要篱笆的长是＝BD+DE+EC+BC＝4+4+6+8＝22（米）， 故选：A．
4．某校八年级（1）班全体学生期末体育考试成绩统计表如下：
成绩/分 人数
40 2
43 6
45 7
46 7
49 10
52 12
55 6
根据上表中信息判断，下列结论中错误的是（ ） A．该班一共有50名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是52分 C．该班学生这次考试成绩的中位数是49分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分
解：A、该班一共有2+6+7+7+10+12+6＝50名同学，正确，不符合题意； B、该班学生这次考试成绩的众数是52分，正确，不符合题意； C、该班学生这次考试成绩的中位数是D、该班学生这次考试成绩的平均数是12+55×6）＝48.38分，错误，符合题意． 故选：D．
5．已知正比例函数y＝kx（k≠0），函数值随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（ ）
＝49分，正确，b8u符合题意； （40×2+43×6+45×7+46×7+49×10+52×
A． B．
C． D．
解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而增大， ∴k＞0， ∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝﹣kx+k的图象经过一、二、四象限； 故选：A．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S
四
边形AEBO
＝S菱形ABCD中，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，AD∥BC，BD＝2DO， 又∵BC＝BE， ∴AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，故③正确， ∴AE＝BD，
∴AE＝2DO，故①正确；
∵四边形AEBD是平行四边形，四边形ABCD是菱形，∴AE∥BD，AC⊥BD，
∴AE⊥AC，即∠CAE＝90°，故②正确； ∵四边形AEBD是平行四边形， ∴S△ABE＝S△ABD＝S菱形ABCD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴S△ABO＝S菱形ABCD，
∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABO＝S菱形ABCD，故④正确； 故选：D．
D．4个
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7．若二次根式解：∵二次根式∴2x﹣1≥0， 解得：x≥． 故答案为：x≥．
8．已知一组数据1，a，3，6，7，它的平均数是4，则a＝ 3 ． 解：∵数据1，a，3，6，7的平均数是4， ∴
解得a＝3， 故答案为：3．
9．如图，直线y1＝nx与直线y2＝kx+b交于点A（2，），则不等式nx≥kx+b的解集是 x≥2 ．
＝4，
有意义，则x的取值范围是 x≥ ．
有意义，
解：从图象可以看出，当x≥2时，nx≥kx+b， 故答案是：x≥2．
10．如图，长为8cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了 2 cm．
解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm； 根据勾股定理，得：AD＝
＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm； 故橡皮筋被拉长了2cm． 故答案为2．
11．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为 25 ．
解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝6，AD∥BC，BF∥DE，AD＝8， ∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE， ∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形， ∴BH＝DH＝DG＝BG， 设BH＝DH＝x，则AH＝8﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝∴BG＝
， ，
∴四边形BGDH的周长＝4BG＝25； 故答案为：25．
12．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝16cm，AC＝20cm，点P是△ABC边上的一个动点，点P从点A开始沿A→B→C→A方向运动，且速度为每秒4cm，设出发的时间为t（s），当点P在边CA上运动时，若△ABP为等腰三角形，则运动时间t＝ 或9或
．
解：如图，过点B作BH⊥AC于H．
∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝16， ∴AB＝∵BH⊥AC，
∴S△ABC＝•AC•BH＝•AB•BC， ∴BH＝∴AH＝
＝
， ＝
， ＝
， ＝
，
＝
＝12，
当BA＝BP1时，AH＝HP1＝∴AB+BC+AP1＝20+16+12﹣此时t＝
，
当AB＝AP2时，AB+BC+CP2＝20+16+12﹣12＝36，
此时t＝9，
当AP3＝BP3时，AB+BC+CP3＝20+16+12﹣10＝38， 此时t＝
，
或9或
．
综上所述，满足条件的t的值为
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）计算：（2）化简：解：（1）原式＝＝6+＝6﹣2
﹣3；
++
+x•
+
． ﹣3
；
（2）原式＝3＝3＝5
+．
14．如图△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝13，AD＝12，BC＝14，求AC的长．
解：∵AD⊥BC于D，AB＝13，AD＝12， ∴BD＝
＝
＝5．
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣5＝9． 在Rt△ACD中， ∵AD＝12，CD＝9， ∴AC＝
＝
＝15．
15．在图1，图2中，点E是矩形ABCD边AD的中点，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
（1）在图1中，以AE为一边在矩形外部画△AEP，使△AEP的面积等于矩形ABCD
的面积的．
（2）在图2中，以AE为对角线画一个平行四边形．
解：（1）如图所示，△AEP即为所求． （2）如图所示，平行四边形PAFE 即为所求．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，且B（8，4），C（6，0），直线AC与y轴相交于点D，求点D的坐标．
解：∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB∥OC，AB＝OC， ∵B（8，4），C（6，0）， ∴A（2，4），
设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∴解得：
， ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6， 当x＝0时，y＝6
∴点D的坐标为（0，6）．
17．为宣传世界海洋日，某校八年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级600名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图（如图）． 知识竞赛成绩分组统计表
组别 A B C D
请根据图表信息解答以下问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 60 名参赛学生的成绩； （2）统计表中a＝ 9 ；
（3）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到70分以上的学生约有多少人．
分数/分 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
频数 a 11 16 24
解：（1）24÷40%＝60（人），
答：本次调查一共随机抽取了60名参赛学生的成绩； 故答案为：60；
（2）a＝60×15%＝9， 故答案为：9； （3）
（人），
答：该校八年级竞赛成绩达到70分以上（含70分）的学生约有510人． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10， ∴AD＝AB＝BC＝10， ∵EC＝4， ∴BE＝10﹣4＝6， 在Rt△ABE中，AE＝在Rt△AEC中，AC＝∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC， ∴OE＝AC＝
．
， ，
19．在“新冠病毒”防控期间，某医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与额温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
项目 购进数量（件） 酒精消毒液
额温枪 30 20
购进所需费用（元）
第一次 第二次
20 30
6200 4300
（1）求酒精消毒液和额温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）公司决定酒精消毒液以每件15元出售，额温枪以每件220元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的9倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．
解：（1）设酒精消毒液每件的进价为x元，额温枪每件的进价为y元， 根据题意得：解得：
．
，
∴酒精消毒液每件的进价为10元，额温枪每件的进价为200元；
（2）设购进额温枪m件，获得的利润为W元，则购进酒精消毒液（1000﹣m）件， 根据题意得：
W＝（15﹣10）（1000﹣m）+（220﹣200）m＝15m+5000， ∵酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的9倍， ∴1000﹣m≥9m， 解得：m≤100，
又∵在W＝15m+5000中，k＝15＞0， ∴W的值随m的增大而增大，
∴当m＝100时，W取最大值，最大值为15×100+5000＝6500，
∴当购进购进酒精消毒液900件、额温枪100件时，销售利润最大，最大利润为6500元．
20．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点P（m，n）和直线y＝nx+m，我们称点P（m，n）是直线y＝nx+m的反关联点，直线y＝nx+m是点P（m，n）的反关联直线．特别地，当n＝0时，直线y＝m（m为常数）的反关联点为P（m，0）． 如图，已知点A（﹣2，2），B（1，﹣4），C（4，2）．
（1）点B的反关联直线的解析式为 y＝﹣4x+1 ；直线AC的反关联点的坐标为 （2，0） ；
（2）设直线AB的反关联点为点D，直线BC的反关联点为点E，点P在x轴上，且S
△DEP
＝2，求点P的坐标．
解：（1）设直线AC的解析式为：y＝kx+b， 把点A（﹣2，2），B（4，2）代入得：∴直线AC的解析式为：y＝2，
∴点A的关联直线的解析式为y＝﹣4x+1； 直线AC的关联点的坐标为：（2，0）； 故答案为：y＝﹣4x+1，（2，0）；
（2）∵点A（﹣2，2），B（1，﹣4），C（4，2）． 设直线AB的解析式为y＝k1x+b1， ∴
，
，解得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2， ∴D（﹣2，﹣2），
设直线BC的解析式为y＝k2x+b2， ∴
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6， ∴E（﹣6，2），
设直线DE的解析式为y＝k3x+b3， ∴
，
解得：，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣4， ∴直线DE与x轴交于点F（﹣4，0）， 如图1，设点P（x，0）， ∵S△DEP＝2，
∴S△DEP＝S△EFP+S△DFP＝解得x＝﹣5或x＝﹣3， ∴P（﹣5，0）或P（﹣3，0）．
＝2，
五、（本大题1小题，共10分）
21．已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．
（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为 BH⊥HE，BH＝HE ；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证
明；若不成立，请给出新的结论并证明．
（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．
解：（1）BH⊥HE，BH＝HE；理由如下： 延长EH交AB于M，如图1所示： ∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AB∥CD∥EF，AB＝BC，CE＝FE，∠ABC＝90°， ∴∠AMH＝∠FEH， ∵H是AF的中点， ∴AH＝FH，
在△AMH和△FEH中，，
∴△AMH≌△FEH（AAS）， ∴AM＝FE＝CE，MH＝EH， ∴BM＝BE， ∵∠ABC＝90°，
∴BH⊥HE，BH＝ME＝HE；
（2）结论仍然成立．BH⊥HE，BH＝HE．理由如下： 延长EH交BA的延长线于点M，如图2所示： ∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ABE＝∠BEF＝90°，AB＝BC，AB∥CD∥EF，CE＝FE，∴∠HAM＝∠HFE， 在△AHM和△FHE中，， ∴△AHM≌△FHE（ASA），
∴HM＝HE，AM＝EF＝CE， ∴BM＝BE， ∵∠ABE＝90°，
∴BH⊥EH，BH＝EM＝EH；
（3）延长EH到M，使得MH＝EH，连接AH、BH，如图3所示： 同（2）得：△AMH≌△FEH（SAS）， ∴AM＝FE＝CE，∠MAH＝∠EFH， ∴AM∥BF，
∴∠BAM+∠ABE＝180°， ∴∠BAM+∠CBE＝90°， ∵∠BCE+∠CBE＝90° ∴∠BAM＝∠BCE， 在△ABM和△CBE中，∴△ABM≌△CBE（SAS）， ∴BM＝BE，∠ABM＝∠CBE， ∴∠MBE＝∠ABC＝90°， ∵MH＝EH，
∴BH⊥EH，BH＝EM＝MH＝EH， 在Rt△CBE中，BE＝∵BH＝EH，BH⊥EH， ∴BH＝
BE＝6
．
＝
＝12，
，
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