平江县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

平江县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（ ） A．

B．

C．

D．3

2． 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312

3． 设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（∁UQ）=（ ） A．{1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，5} 4． 经过点M1,1且在两轴上截距相等的直线是（ ） A．xy20 B．xy10

C．x1或y1 D．xy20或xy0

5． 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈那么，近似公式V≈A．

B．

C．

L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，

D．{1，2}

L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）

D．

C．﹣i

6． i是虚数单位，计算i+i2+i3=（ ） A．﹣1

B．1

D．i

7． 圆x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是（ ） A． B．21 C．8． 已知椭圆A．4

B．5

C．7

21 D．221 2，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（ ） D．8

9． 已知直线 a平面，直线b平面，则（ ）

A．ab B．与异面 C．与相交 D．与无公共点

10．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）

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精选高中模拟试卷

A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8x

C．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x

11．已知x,y,z均为正实数，且2xlog2x，2ylog2y，2zlog2z，则（ ）

A．xyz B．zxy C．zyz D．yxz 12．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（ ） A．120° B．60° C．45° D．30°

二、填空题

13．抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：

交于A，B两点，C1与C2的

= ．

两条渐近线分别交于异于原点的两点C，D，且AB，CD分别过C2，C1的焦点，则

14．若复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z12i，则复数（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

z1在复平面内对应的点在

|z1|2z2【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 15．设抛物线y4x的焦点为F，A,B两点在抛物线上，且A，B，F三点共线，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若PF23，则M点的横坐标为 . 216．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）

【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.

17．某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 35000 2015年5月1日 12 48 35600 2015年5月15日 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升． 18．二项式

展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为 ．

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精选高中模拟试卷

三、解答题

19．已知条件p:的取值范围．

20．某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两 人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率； （2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．

21．已知函数f（x）=（1）求f（f（﹣2））；

（2）画出函数f（x）的图象，根据图象写出函数的单调增区间并求出函数f（x）在区间（﹣4，0）上的值域．

．

41，条件q:x2xa2a，且p是的一个必要不充分条件，求实数 x1第 3 页，共 16 页

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22．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)f(2)3． （1）求f(x)的解析式；

（2）若f(x)在区间2a,a1上不单调，求实数的取值范围；

23．（本小题满分16分）

给出定义在0,上的两个函数f(x)x2alnx,g(x)xax. （1）若f(x)在x1处取最值．求的值；

（2）若函数h(x)f(x)g(x2)在区间0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数m(x)f(x)g(x)6的零点个数，并说明理由．

（3）在区间1,1上，yf(x)的图象恒在y2x2m1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

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24．如图在长方形ABCD中，

（1）若M是AB的中点，求证：

是CD的中点，M是线段AB上的点，

与

共线；

．

（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；

（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．

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平江县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A 【解析】解：由

2

，得3x﹣4x+8=0．

2

△=（﹣4）﹣4×3×8=﹣80＜0．

2

所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x无交点．

设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0 联立

，得3x﹣4x﹣m=0．

2

2

由△=（﹣4）﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，

得m=﹣．

2

所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x相切的直线方程为4x+3y﹣=0．

所以抛物线y=﹣x上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是

2=．

故选：A．

【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是 中档题．

2． 【答案】A

【解析】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6）， 该同学通过测试的概率为

故选：A．

3． 【答案】D

【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}， ∴∁UQ={1，2，6}，又P={1，2，3，4}， ∴P∩（CUQ）={1，2} 故选D．

4． 【答案】D

=0.648．

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精选高中模拟试卷

【解析】

考

点：直线的方程.

5． 【答案】B

【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr， ∴∴π=

．

=

2

（2πr）h，

故选：B．

6． 【答案】A

2

【解析】解：由复数性质知：i=﹣1

23

故i+i+i=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1

故选A

【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．

7． 【答案】B 【解析】

22试题分析：化简为标准形式x1y11，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半径，d11222，半径为1，所以距离的最大值是21，故选B.

考点：直线与圆的位置关系 1 8． 【答案】D

【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，

，解得m=8

故选D

，

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【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．

9． 【答案】D 【解析】

试题分析：因为直线 a平面，直线b平面，所以a//b或与异面，故选D. 考点：平面的基本性质及推论. 10．【答案】 C

2

【解析】解：∵抛物线C方程为y=2px（p＞0），

∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=， ∵以MF为直径的圆过点（0，2）， ∴设A（0，2），可得AF⊥AM， Rt△AOF中，|AF|=

=

，

∴sin∠OAF==，

∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，

∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，

∵|MF|=5，|AF|=

∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8

22

因此，抛物线C的方程为y=4x或y=16x．

故选：C．

方法二：

2

∵抛物线C方程为y=2px（p＞0），∴焦点F（，0），

设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，

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精选高中模拟试卷

因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，

由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，

2

即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p﹣10p+16=0，所以p=2或p=8． 22

所以抛物线C的方程为y=4x或y=16x．

故答案C．

【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．

11．【答案】A 【解析】

考

点：对数函数，指数函数性质． 12．【答案】A

【解析】解：根据余弦定理可知cosA=

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222∵a=b+bc+c， 222

∴bc=﹣（b+c﹣a）

∴cosA=﹣ ∴A=120° 故选A

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：由题意，CD过C1的焦点，根据由AB过C2的焦点，得A（c，∵A（c，4a）在C1上，

2

∴16a=2pc，

．

，得xC=，∴b=2a；

），即A（c，4a），

又c=∴a=∴

a， ， =

=

． ．

故答案为：

【点评】本题考查双曲线、抛物线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．

14．【答案】D 【

解

析

】

15．【答案】2

【解析】由题意，得p2，F(1,0)，准线为x1，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，直线AB的方程为yk(x1)，

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2k24代入抛物线方程消去y，得kx(2k4)xk0，所以x1x2，x1x21．又设P(x0,y0)，

k2112112则y0(y1y2)[k(x11)k(x21)]，所以x02，所以P(2,)．

22kkkk13因为|PF|x0121，解得k22，所以M点的横坐标为2．

k2222216．【答案】48 【

解

析

】

17．【答案】 8 升．

【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．故答案是：8．

18．【答案】 70 ． 【解析】解：根据题意二项式则n=8， 所以二项式

Tr+1=（﹣1）rC8rx8﹣2r 令8﹣2r=0得r=4 故答案为70．

4

则其常数项为C8=70

展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，

=

展开式的通项为

【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．

三、解答题

19．【答案】1,2．

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【解析】

试题分析：先化简条件p得3x1，分三种情况化简条件，由p是的一个必要不充分条件，可分三种情况列不等组，分别求解后求并集即可求得符合题意的实数的取值范围.

14xa10a，当时，q:；1得p:3x1，由x2xa2a得xa2x111当a时，q:a1,a；当a时，q:a,a1

22由题意得，p是的一个必要不充分条件，

111当a时，满足条件；当a时，a1,a3,1得a1,，

22211当a时，a,a13,1得a,2 综上，a1,2．

22试题解析：由

考点：1、充分条件与必要条件；2、子集的性质及不等式的解法.

【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件，属于中档题,判断p是的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件，二是由条件能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．本题的解答是根据集合思想解不等式求解的. 20．【答案】

【解析】解：（1）

（2）ξ可取0，1，2，3，4， P（ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=P（ξ=1）=P（ξ=2）=； P（ξ=3）=P（ξ=4）=

∴ξ的分布列为：

1 2 ξ 0 P 3 4 =

．

=

；

+

+

=

（）（1﹣）

；

（1﹣）

2

．

（）2+=；

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Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=．

【点评】本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

21．【答案】

【解析】解：（1）函数f（x）=f（﹣2）=﹣2+2=0， f（f（﹣2））=f（0）=0.3分 （2）函数的图象如图：…

单调增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞）（开区间，闭区间都给分）… 由图可知：

f（﹣4）=﹣2，f（﹣1）=1，

函数f（x）在区间（﹣4，0）上的值域（﹣2，1]．…12分．

．

22．【答案】（1）f(x)2x4x3；（2）0a21；（3）m1. 2第 13 页，共 16 页

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试

题解析：

（1）由已知，设f(x)a(x1)21，

2由f(0)3，得a2，故f(x)2x4x3．

1． 222（3）由已知，即2x4x32x2m1，化简得x3x1m0，

（2）要使函数不单调，则2a1a1，则0a设g(x)x3x1m，则只要g(x)min0， 而g(x)ming(1)1m，得m1． 考点：二次函数图象与性质．

【方法点晴】利用待定系数法求二次函数解析式的过程中注意选择合适的表达式，这是解题的关键所在；另外要注意在做题过程中体会：数形结合思想，方程思想，函数思想的应用．二次函数的解析式（1）一般式：

2fxax2bxca0；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为h,k，则其解析式为

fxaxhka0；（3）两根式：若相应一元二次方程的两根为x1,x2，则其解析式为

2fxaxx1xx2a0.

23．【答案】（1） a2 （2） a≥2（3）两个零点． 【解析】

(1)0 ，解得a2 ，需试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此f(x)在x1处取极值，即f′(x)≤0在区间0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应验证（2） h(x)在区间0,1上单调递减，转化为h′4x24x2函数最值：a≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得Fx最大值2（3）先利用导数研究函数

x1x1mx单调性：当x0,1时，递减，当x1,时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：m10，

m（e4)0 ， m(e4)0，结合零点存在定理可得零点个数

(x)2x试题解析：（1） f′a(1)0即: 2a0, 由已知，f′x第 14 页，共 16 页

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解得：a2 经检验 a2 满足题意

所以 a2 ………………………………………4分

12112 因为x0,1，所以1,，所以xxxmin所以Fxmax2，所以a≥2 ……………………………………10分

（3）函数mxf(x)g(x)6有两个零点．因为mxx22lnxx2x6

212x22xx所以m′x2x1xxxx12xx2xx2x ………12分

当x0,1时，mx0，当x1,时，mx0

所以mxminm140， ……………………………………14分 （1-e)(1+e+2e3)12e8e4(2e21)4m(e）=0 ，m（e)0 84ee4m(e4)e（e41)2(e27)0 故由零点存在定理可知：

2 函数mx在(e4,1) 存在一个零点，函数mx在(1,e4) 存在一个零点，

所以函数mxf(x)g(x)6有两个零点． ……………………………………16分 考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性 【思路点睛】

对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

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24．【答案】

【解析】（1）证明：如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），

，

由

，可得

与

共线；

与

垂直，

垂直； 在

（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得

，

由

=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，

，使得

与

设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），

∴线段AB上存在点

（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，则

有最大值为4．

上的投影最大，

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．

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