一元二次方程应用
一．选择题（共16小题） 1．（•随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2020年约为20万人次，2021年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ） A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8 2．（•台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A．x（x﹣1）=45
B．x（x+1）=45
C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
3．（•兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0 4．（•恩施州）某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（ ） A．8 B．20 C．36 D．18 5．（•台湾）如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ ）
A．
B．
C．2﹣
D．4﹣2
6．（•新都区模拟）元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）=90 B．x（x﹣1）=2×90 C．x（x﹣1）=90÷2 D．x（x+1）=90 7．（•商丘四模）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（ ） A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2 C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×100 8．（•鄂尔多斯二模）要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
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A．x（x+1）=15 B．x（x﹣1）=15 C．x（x+1）=15 D．x（x﹣1）=15
9．（•港南区二模）李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ） A．
=20 B．n（n﹣1）=20 C．
=20 D．n（n+1）=20
10．（•道外区一模）有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，则下面所列方程正确的是（ ） A．4x2=3600 B．100×50﹣4x2=3600 C．（100﹣x）（50﹣x）=3600 D．（100﹣2x）（50﹣2x）=3600 11．（•拱墅区二模）如图，某小区规划在一个长AD=40m，宽AB=26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的通道（图中阴影部分），使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植花草，要使每一块种植花草的场地面积都是144m2．若设通道的宽度为x（m），则根据题意所列的方程是（ ）
A．（40﹣x）（26﹣2x）=144×6 B．（40﹣2x）（26﹣x）=144×6 C．（40﹣2x）（26﹣x）=144÷6 D．（40﹣x）（26﹣2x）=144÷6 12．（•富顺县校级模拟）某工厂要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长为16m），并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m的木板，求仓库的长与宽？若设垂直于墙的边长为x米，则列出的方程为（ ） A．x•（32﹣2x+1）=130 B．C．x•（32﹣2x﹣1）=130 D．
13．（•中山市一模）某市为了加快城市建设力度.2014年市政府共投资2亿元人民币，预计到2016年底三年共累计投资9.5亿元人民币，若在这两年内每年投资的增长率都为x，可列方程（ ）
A．2x2=9.5 B．2+2（x+1）+2（x+1）2=9.5 C．2（x+1）2=9.5 D．2+（x+1）+（x+1）2=9 14．（•哈尔滨模拟）某商店出售一种商品，若每件10元，则每天可销售50件，售价每降低1元，可多买6件，要使该商品每天的销售额（总售价）为504元，设每件降低x元，则可列方程为（ ） A．（50+x）（10﹣x）=504 B．50（10﹣x）=504 C．（10﹣x）（50+6x）=504 D．（10﹣6x）（50+x）=504 15．（•合肥模拟）某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些
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人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的，设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（ ）
A．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 B．（2﹣3x）（1﹣2x）=1
D．（2﹣3x）（1﹣2x）=2
C．（2﹣3x）（1﹣2x）=1
16．（•河北模拟）2016年1月13日长城河报道，河北香河县中报“全国绿化模范县”通过审核，截止到2015年，香河县林地面积达到24.39万亩，森林覆盖率达到35.5%，若某县从2013到2015年经过两年的时间，使森林覆盖率增长21%，则该县这两年平均每年的森林覆盖的增长率为（ ）
A．9% B．10% C．11% D．12%
二．填空题（共21小题） 17．（•内蒙古）如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．
18．（•丹东模拟）某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是 ． 19．（•常州模拟）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图
所示，该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？列出关于x方程是 （不需化简和解方程）．
20．（•仪征市一模）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为 ．
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21．（•苏州模拟）如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3m3，则根据图中的条件，可列出方程： ．
22．（•乌拉特前旗校级三模）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程 ．
23．（•磴口县校级二模）韩国发生中东呼吸综合症，一人感染，经过两轮传染后共有81人感染，这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人？列方程为 ． 24．（•门头沟区一模）《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著，完成于明嘉靖三年（1524年），全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美，且早于牛顿140年．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何？”
译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为 ． 25．（•潍坊模拟）如图，将矩形沿图中虚线（其中x＞y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若y=2，则x的值等于 ．
26．（•枣庄模拟）在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有 名． 27．（•萧山区模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？ 28．（•胶州市一模）某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的赢利为1600元，则每件应降价 元． 29．（•射阳县二模）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320﹣10a）件，
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但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元，则每件商品的售价应定为 元．． 30．（•哈尔滨模拟）将长为8cm，宽为6cm的长方形纸片四角各截去相同的小正方形，折起来做成一个无盖的纸盒，若纸盒的底面积为24cm2，则纸盒的高为 cm． 31．（春•嵊州市期末）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为 m．
32．（春•朝阳区期末）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为 ． 33．（春•杭州期末）某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低 元． 34．（春•嵊州市期中）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=8cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以2cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连结PQ，若经x秒后P，Q两点之间的距离为4
，那么x的值为 ．
35．（春•山西校级月考）如图所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形休闲广场，其余部分铺设草坪，已知休闲广场的边长是正方形空地边长的一半，草坪的面积为147m2，则休闲广场的边长是 m．
36．（春•重庆校级月考）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为 元．
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37．（达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为 ．
二．解答题（共23小题） 38．（•永州）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 39．（•百色）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2． （1）求这地面矩形的长；
（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？
40．（•济宁）某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
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41．（•西宁）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车． （1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率． 42．（•宜昌）某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014年底就投入资金10.89万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A、B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数． （1）求A品牌产销线2018年的销售量；
（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．
43．（•朝阳）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．
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44．（•赤峰）如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的
．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
45．（•汉川市模拟）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
46．（•济宁校级模拟）阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）
（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的： 设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：
，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，
∵△=49﹣48＞0，∴x1= ，x2= ， ∴满足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
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47．（•扬中市一模）如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地． （1）设通道的宽度为x米，则a= （用含x的代数式表示）；
（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？
48．（•濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”是6
，求△ABC面积．
必有实数根；
的一个根，且四边形ACDE的周长
，这时我们把关于x的形如
的
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49．（•南京一模）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，设制作这面镜子的宽度是x米，总费用是y元，则y=240x2+180x+60．（注：总费用=镜面玻璃的费用+边框的费用+加工费） （1）这块镜面玻璃的价格是每平方米 元，加工费 元； （2）如果制作这面镜子共花了210元，求这面镜子的长和宽． 50．（•重庆模拟）“创卫工作人人参与，环境卫生人人受益”，我区创卫工作已进入攻坚阶段，某校拟整修学校食堂，现需购买A、B两种型号的防滑地砖共60块，已知A型号地砖每块80元，B型号地砖每块40元
（1）若采购地砖的费用不超过3200元，那么，最多能购买A型号地砖多少块？
（2）某地砖供应商为了支持创卫工作，现将A、B两种型号的地砖单价都降低a%，这样，该校花费了2560元就购得所需地砖，其中A型号地砖a块，求a的值．
51．（•南海区校级模拟）某商场销售一种冰箱，每台进价2500元．市场调查研究表明，当售价为2900元时，平均每天能售出8台；当售价每降50元时，平均每天就能多售出4台；商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台售价应降低多少元？
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52．（•邵东县一模）为响应县政府建设“美丽邵东”的号召，某校开展“美化校园”的活动，该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积为498m2，绿化150m2后，为了更快的完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来的1.2倍，结果一共用20天完成了该项绿化工作． （1）该项绿化工作原计划每天完成多少m2？
（2）在绿化工作中一块面积为170m2的矩形场地，矩形的长比宽的2倍少3m，请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？ 53．（•泰安模拟）某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价0.1元．销售量就减少2件．
（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？ （2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少
m%．结果10月份利润达到3388
元，求m的值（m＞10）． 54．（•福州校级二模）要在一个长10m，宽8m的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这花圃的宽度．
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55．（•南皮县模拟）为适应未来人口发展的需要，国家逐步放开了生育二胎的限制，但是2015年的调查显示，只有不足四成家庭希望生育二胎．某中学九（1）班为了了解困扰适龄夫妻生育二胎意愿的原因，采取街头随机抽样调查的方法，调查了若干名适龄男女的意见，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，（如图（1）、图（2），要求每个被访者只能选择一种），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查的适龄男女的总数是 人．在扇形统计图中“生存环境”所在扇形的圆心角的度数是 ． （2）请你补全条形统计图．
（3）同学们根据自己的调查结果进行了进一步的数据收集和分析，发现仅从改善学生的教育环境而言，某地区的教育经费投入是连年增加，2014年的投入已经达到了800亿元，如果2016年该地区预计在教育方面投入882亿元，那么该地区每年的教育经费投入的平均增长率应保持在多少？
56．（•安徽模拟）2014年西非埃博拉病毒疫情是自2014年2月开始爆发于西非的大规模病毒疫情，截至2014年12月02日，世界卫生组织关于埃博拉疫情报告称，几内亚、利比里亚、塞拉利昂、马里、美国以及已结束疫情的尼日利亚、塞内加尔与西班牙累计出现埃博拉确诊、疑似和可能感染病例17290例，其中6128人死亡．感染人数已经超过一万，死亡人数上升趋势正在减缓，在病毒传播中，每轮平均1人会感染x个人，若1个人患病，则经过两轮感染就共有81人患病． （1）求x的值；
（2）若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？
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57．（•徐闻县三模）如图，一个农户要建一个矩形猪舍ABCD，猪舍的一边AD利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成．为了方便进出，在CD边留一个1米宽的小门．
（1）若矩形猪舍的面积为80平方米，求与墙平行的一边BC的长；
（2）若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度，问BC边至少应为多少米？
58．（•玄武区一模）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）． 项目 第一次锻炼 第二次锻炼
① 步数（步） 10000
② 平均步长（米/步） 0.6
距离（米） 6000 7020
注：步数×平均步长=距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求x；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 59．（•丹棱县模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价2元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x （x为偶数） 元，据此规律，请回答：
（1）降价后，商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商品日盈利可达到4200元？
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60．（•余姚市模拟）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关． （1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%． ①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
一元二次方程应用的答案
一．选择题（共16小题） 1．（•随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2020年约为20万人次，2021年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ） A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8， 故选C． 2．（•台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A．x（x﹣1）=45
B．x（x+1）=45
C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为x（x﹣1）， ∴共比赛了45场， ∴x（x﹣1）=45， 故选A．
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3．（•兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0 【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有 （x﹣1）（x﹣2）=18， 故选C． 4．（•恩施州）某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（ ） A．8 B．20 C．36 D．18 【解答】解：根据题意列方程得 100×（1﹣x%）2=100﹣36
解得x1=20，x2=180（不符合题意，舍去）． 故选：B． 5．（•台湾）如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ ）
A．
B．
C．2﹣
D．4﹣2
【解答】解：设丁的一股长为a，且a＜2， ∵甲面积+乙面积=丙面积+丁面积， ∴2a+2a=×22+×a2， ∴4a=2+a2， ∴a2﹣8a+4=0， ∴a=
∵4+2＞2，不合题意舍， 4﹣2＜2，合题意， ∴a=4﹣2．
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==4±2，
故选D． 6．（•新都区模拟）元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）=90 B．x（x﹣1）=2×90 C．x（x﹣1）=90÷2 D．x（x+1）=90 【解答】解：设数学兴趣小组人数为x人， 每名学生送了（x﹣1）张， 共有x人，
根据“共互送了90张贺年卡”， 可得出方程为x（x﹣1）=90． 故选A． 7．（•商丘四模）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（ ） A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2 C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×100 【解答】解：依题意得：桌布面积为：160×100×2， 桌面的长为：160+2x，宽为：100+2x， 则面积为=（160+2x）（100+2x）=2×160×100． 故选B． 8．（•鄂尔多斯二模）要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ） A．x（x+1）=15
B．x（x﹣1）=15
C．x（x+1）=15 D．x（x﹣1）=15
【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：x（x﹣1）=15．
故选B． 9．（•港南区二模）李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ） A．
=20 B．n（n﹣1）=20 C．
=20 D．n（n+1）=20
【解答】解：设有n人参加聚会，则每人送出（n﹣1）件礼物， 由题意得，n（n﹣1）=20． 故选B． 10．（•道外区一模）有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，则下面所列方程正确的是（ ） A．4x2=3600 B．100×50﹣4x2=3600 C．（100﹣x）（50﹣x）=3600 D．（100﹣2x）（50﹣2x）=3600
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【解答】解：设切去的小正方形的边长为x． 根据题意得（100﹣2x）（50﹣2x）=3600． 故选D． 11．（•拱墅区二模）如图，某小区规划在一个长AD=40m，宽AB=26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的通道（图中阴影部分），使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植花草，要使每一块种植花草的场地面积都是144m2．若设通道的宽度为x（m），则根据题意所列的方程是（ ）
A．（40﹣x）（26﹣2x）=144×6 B．（40﹣2x）（26﹣x）=144×6 C．（40﹣2x）（26﹣x）=144÷6 D．（40﹣x）（26﹣2x）=144÷6 【解答】解：设通道的宽度为x（m）， 根据题意得（40﹣2x）（26﹣x）=144×6， 故选B．
12．（•富顺县校级模拟）某工厂要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长为16m），并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m的木板，求仓库的长与宽？若设垂直于墙的边长为x米，则列出的方程为（ ） A．x•（32﹣2x+1）=130 B．C．x•（32﹣2x﹣1）=130 D．
【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x， 依题意得（32﹣2x+1）x=130， 故选A． 13．（•中山市一模）某市为了加快城市建设力度.2014年市政府共投资2亿元人民币，预计到2016年底三年共累计投资9.5亿元人民币，若在这两年内每年投资的增长率都为x，可列方程（ ）
A．2x2=9.5 B．2+2（x+1）+2（x+1）2=9.5 C．2（x+1）2=9.5 D．2+（x+1）+（x+1）2=9 【解答】解：设每年市政府投资的增长率为x，
根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5． 故选：B． 14．（•哈尔滨模拟）某商店出售一种商品，若每件10元，则每天可销售50件，售价每降低1元，可多买6件，要使该商品每天的销售额（总售价）为504元，设每件降低x元，则可列方程为（ ） A．（50+x）（10﹣x）=504 B．50（10﹣x）=504
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C．（10﹣x）（50+6x）=504 D．（10﹣6x）（50+x）=504 【解答】解：由题意可得， （10﹣x）（50+6x）=504， 故选C． 15．（•合肥模拟）某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的，设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（ ）
A．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 B．（2﹣3x）（1﹣2x）=1
D．（2﹣3x）（1﹣2x）=2
C．（2﹣3x）（1﹣2x）=1
【解答】解：设人行通道的宽度为x千米， 则矩形绿地的长为：（2﹣3x），宽为（1﹣2x）， 由题意可列方程：2×（2﹣3x）（1﹣2x）=×2×1，
即：（2﹣3x）（1﹣2x）=1， 故选：A． 16．（•河北模拟）2016年1月13日长城河报道，河北香河县中报“全国绿化模范县”通过审核，截止到2015年，香河县林地面积达到24.39万亩，森林覆盖率达到35.5%，若某县从2013到2015年经过两年的时间，使森林覆盖率增长21%，则该县这两年平均每年的森林覆盖的增长率为（ ）
A．9% B．10% C．11% D．12%
【解答】解：设原来香河县林地面积是1，该县这两年平均每年的森林覆盖的增长率为x． 依题意，得（1+x）2=1+21%，
解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该县这两年平均每年的森林覆盖的增长率为10%． 故选B．
二．填空题（共14小题） 17．（•内蒙古）如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 2 m．
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【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得， （30﹣3x）（24﹣2x）=480， 解得x1=20（舍去），x2=2． 即：人行通道的宽度是2m． 故答案是：2． 18．（•丹东模拟）某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是 16（1﹣x）2=14 ． 【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得16×（1﹣x）（1﹣x）=14， 整理得：16（1﹣x）2=14． 故答案为：16（1﹣x）2=14． 19．（•常州模拟）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图所示，该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？列出关于x方程是 （x﹣10）（﹣2x+60）=150 （不需化简和解方程）．
【解答】解：设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得
，
解得
，
∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60（10≤x≤18）， ∴W=（x﹣10）（﹣2x+60）， 当销售利润为150元时，可得：（x﹣10）（﹣2x+60）=150， 故答案为：（x﹣10）（﹣2x+60）=150． 20．（•仪征市一模）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为 （x﹣2）2+（x﹣4）22
=x ．
【解答】解：设竿长为x尺，
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由题意得，（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2． 故答案为：（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2． 21．（•苏州模拟）如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3m3，则根据图中的条件，可列出方程： （x+1）x=3 ．
【解答】解：长方体的高是1，宽x，长是x+1，根据题意得 x（x+1）=3．
故答案为：x（x+1）=3． 22．（•乌拉特前旗校级三模）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程 x2﹣35x+234=0 ．
【解答】解：由题意可得， 78×6+（30﹣2x）（20﹣x）=30×20， 化简，得
x2﹣35x+234=0，
故答案为：x2﹣35x+234=0． 23．（•磴口县校级二模）韩国发生中东呼吸综合症，一人感染，经过两轮传染后共有81人感染，这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人？列方程为 1+x+（1+x）x=81 ． 【解答】解：根据题意可得， 1+x+（1+x）x=81，
故答案为：1+x+（1+x）x=81． 24．（•门头沟区一模）《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著，完成于明嘉靖三年（1524年），全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美，且早于牛顿140年．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何？”
译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为 x（x﹣12）=864 ．
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【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步． 根据矩形面积=长×宽，得：x（x﹣12）=864． 故答案为：x（x﹣12）=864． 25．（•潍坊模拟）如图，将矩形沿图中虚线（其中x＞y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若y=2，则x的值等于 +1 ．
【解答】解：∵三角形相似对应边成比例． ∴
=
，
∵y=2．
∴x2﹣2x﹣4=0
解得：x=1﹣（舍去），x=+1． 故答案为：+1． 26．（•枣庄模拟）在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有 10 名．
【解答】解：设这次参加聚会的同学有x人，则每人应握（x﹣1）次手，由题意得： x（x﹣1）=45，
即：x2﹣x﹣90=0，
解得：x1=10，x2=﹣9（不符合题意舍去） 故参加这次聚会的同学共有10人． 故答案是：10． 27．（•萧山区模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？ 【解答】解：设每件降价为x元， 则（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080， 得x2﹣5x+4=0， 解得x=4或x=1，
要使顾客实惠，则x=4， 定价为60﹣4=56元．
答：应将销售单价定位56元． 28．（•胶州市一模）某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的赢利为1600元，则每件应降价 4 元． 【解答】解：设每件应降价x元，根据题意得：
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（44﹣x）（20+5x）=1600，
解得：x1=4，x2=36（不合题意，舍去）， 答：则每件应降价4元； 故答案为：4． 29．（•射阳县二模）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元，则每件商品的售价应定为 22 元．．
【解答】解：设每件商品的售价定为a元， 则（a﹣18）（320﹣10a）=400， 整理得a2﹣50a+616=0， ∴a1=22，a2=28
∵18（1+25%）=22.5，而28＞22.5 ∴a=22．
故答案为：22． 30．（•哈尔滨模拟）将长为8cm，宽为6cm的长方形纸片四角各截去相同的小正方形，折起来做成一个无盖的纸盒，若纸盒的底面积为24cm2，则纸盒的高为 1 cm． 【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm， 依题意得（8﹣2x）•（6﹣2x）=24， 解得：x1=1，x2=6（舍去）．
答：减去的小正方形的边长为1cm． 故答案为：1． 31．（春•嵊州市期末）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为 7 m．
【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有 （x﹣3）（x﹣2）=20，
解得：x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去） 即：原正方形的边长7m． 故答案是：7． 32．（春•朝阳区期末）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为 x（x﹣12）=864 ．
【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．
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根据矩形面积=长×宽，得：x（x﹣12）=864． 故答案为：x（x﹣12）=864． 33．（春•杭州期末）某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低 0.3或0.2 元． 【解答】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元． 根据题意，得[（3﹣2）﹣x]（200+
）﹣24=200．
原式可化为：50x2﹣25x+3=0， 解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．
故应将每千克小型西瓜的售价降低0.3或0.2元． 故答案为：0.3或0.2． 34．（春•嵊州市期中）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=8cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以2cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连结PQ，若经x秒后P，Q两点之间的距离为4
，那么x的值为 2或 ．
【解答】解：∵∠B=90°，AC=10cm，BC=8cm， ∴AB=6cm．
∴BQ=2x，PB=6﹣x．
∵P，Q两点之间的距离为4， ∴BQ2+PB2=PQ2，
∴（2x）2+（6﹣x）2=（4）2， 整理得，5x2﹣12x+4=0， 解得x1=2，x2=． 故答案为：2或．
35．（春•山西校级月考）如图所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形休闲广场，其余部分铺设草坪，已知休闲广场的边长是正方形空地边长的一半，草坪的面积为147m2，则休闲广场的边长是 7 m．
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【解答】解：设正方形休闲广场的边长为xm，则正方形空地的边长为2xm，根据题意列方程得，
（2x）2﹣x2=147，
解得x1=7，x2=﹣7（不合题意，舍去）； 答：休闲广场的边长是 7m． 故填7． 36．（春•重庆校级月考）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为 50 元． 【解答】解：设这种台灯的售价应定为x元，依题意有 [600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）=10000， 整理，得x2﹣130x+4000=0， 解得：x1=50，x2=80（舍去）．
答：这种台灯的售价应定为50元． 故答案为：50． 37．（达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为 （40﹣x）（20+2x）=1200 ． 【解答】解：设每件童裝应降价x元，可列方程为： （40﹣x）（20+2x）=1200． 故答案为：（40﹣x）（20+2x）=1200．
三．解答题（共23小题） 38．（•永州）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%， 依题意得：400×（1﹣x%）2=324， 解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件， 第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）； 第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．
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依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210， 解得：m≥22.5． ∴m≥23．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件． 39．（•百色）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2． （1）求这地面矩形的长；
（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？
【解答】（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得： x（20﹣x）=96，
解得x1=12，x2=8（舍去）， 答：这地面矩形的长是12米；
（2）规格为0.80×0.80所需的费用：96÷（0.80×0.80）×55=8250（元）． 规格为1.00×1.00所需的费用：96÷（1.00×1.00）×80=7680（元）． 因为8250＞7680，
所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少． 40．（•济宁）某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？ 【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意， 得：1280（1+x）2=1280+1600， 解得：x=0.5或x=﹣2.5（舍），
答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意， 得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000， 解得：a≥1900，
答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
第25页（共36页）
41．（•西宁）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车． （1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率． 【解答】解：（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：
解得：
答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．
（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a． 根据题意可得：720（1+a）2=2205 解此方程：（1+a）2=即：a1==75%，a2=﹣
，
（不符合题意，舍去）
答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%． 42．（•宜昌）某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014年底就投入资金10.89万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A、B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数． （1）求A品牌产销线2018年的销售量；
（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数． 【解答】解：（1）9.5﹣（2018﹣2015）×0.5=8（万份）； 答：品牌产销线2018年的销售量为8万份；
（2）设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x，B品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k万份； 根据题意得：
，
解得：∴
，
，或（不合题意，舍去），
∴2x=10%；
答：B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数为10%．
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43．（•朝阳）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．
【解答】解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元． 根据题意，得（x﹣3）（500﹣10×
）=800，
解得x1=7，x2=5．
∵售价不能超过进价的200%， ∴x≤3×200%．即x≤6． ∴x=5．
答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元． 44．（•赤峰）如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的
．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
【解答】解：（1）设条纹的宽度为x米．依题意得 2x×5+2x×4﹣4x2=解得：x1=
×5×4，
（不符合，舍去），x2=．
答：配色条纹宽度为米． （2）条纹造价：其余部分造价：（1﹣
×5×4×200=850（元）
）×4×5×100=1575（元）
∴总造价为：850+1575=2425（元） 答：地毯的总造价是2425元． 55．（•汉川市模拟）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2；
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（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2， 则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33，
解之得x=5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm， 作QE⊥AB，垂足为E， 则QE=AD=6，PQ=10， ∵PA=3t，CQ=BE=2t，
∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102， 解得t1=4.8，t2=1.6． 答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2； （2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
46．（•济宁校级模拟）阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）
（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的： 设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：
，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，
∵△=49﹣48＞0，∴x1= 2 ，x2= ，
∴满足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
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（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？ 【解答】解：（1）由上可知 （x﹣2）（2x﹣3）=0 ∴x1=2，x2=；
（2）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得
消去y化简，得
2x2﹣3x+2=0 ∵△=9﹣16＜0 ∴不存在矩形B；
（3）（m+n）2﹣8mn≥0．
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得
消去y化简，得
2x2﹣（m+n）x+mn=0 △=（m+n）2﹣8mn≥0
即（m+n）2﹣8mn≥0时，满足要求的矩形B存在． 47．（•扬中市一模）如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地． （1）设通道的宽度为x米，则a=
（用含x的代数式表示）；
（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？
【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a=
；
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故答案为：
=2430，
（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•
解得x1=2，x2=38（不合题意，舍去）． 答：中间通道的宽度为2米． 48．（•濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”是6
，求△ABC面积．
必有实数根；
的一个根，且四边形ACDE的周长
，这时我们把关于x的形如
的
【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时 勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；
（2）证明：根据题意，得 △=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab ∵a2+b2=c2
∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0 即△≥0
∴勾系一元二次方程
（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6 ∴3c=6 ∴c=2
∴a2+b2=c2=4，a+b=2 ∵（a+b）2=a2+b2+2ab ∴ab=2
∴S△ABC=ab=1．
第30页（共36页）
必有实数根；
c
49．（•南京一模）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，设制作这面镜子的宽度是x米，总费用是y元，则y=240x2+180x+60．（注：总费用=镜面玻璃的费用+边框的费用+加工费） （1）这块镜面玻璃的价格是每平方米 120 元，加工费 60 元； （2）如果制作这面镜子共花了210元，求这面镜子的长和宽． 【解答】解：（1）设这块镜面玻璃的价格是每平方米m元， ∵镜子的长与宽的比是2：1，镜子的宽是x米， ∴镜子的长是2x米， ∴2x•x•m=240x2， ∴m=120，
∴这块镜面玻璃的价格是每平方米120元；
∵y=240x2+180x+60，（总费用=镜面玻璃的费用+边框的费用+加工费）， ∴加工费就是60元； 故答案为：120，60； （2）根据题意得： 240x2+180x+60=210， 整理得：8x2+6x﹣5=0， 即（2x﹣1）（4x+5）=0，
解得x1=0.5，x2=﹣1.25（舍去）， ∴x=0.5， ∴2x=1，
答：镜子的长和宽分别是1米和0.5米． 50．（•重庆模拟）“创卫工作人人参与，环境卫生人人受益”，我区创卫工作已进入攻坚阶段，某校拟整修学校食堂，现需购买A、B两种型号的防滑地砖共60块，已知A型号地砖每块80元，B型号地砖每块40元
（1）若采购地砖的费用不超过3200元，那么，最多能购买A型号地砖多少块？
（2）某地砖供应商为了支持创卫工作，现将A、B两种型号的地砖单价都降低a%，这样，该校花费了2560元就购得所需地砖，其中A型号地砖a块，求a的值． 【解答】解：（1）设购买A型号地砖x块，由题意，得 80x+40（60﹣x）≤3200． 解得x≤20．
答：最多能购买A型号地砖20块．
（2）由题意，得80（1﹣a%）a+40（1﹣a%）（60﹣a）=2560 解得a1=a2=20． 经检验，符合题意． 答：a的值为20． 51．（•南海区校级模拟）某商场销售一种冰箱，每台进价2500元．市场调查研究表明，当售价为2900元时，平均每天能售出8台；当售价每降50元时，平均每天就能多售出4台；商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台售价应降低多少元？ 【解答】解：设每台冰箱的定价应为x元，依题意得（x﹣2500）（8+
第31页（共36页）
×4）=5000
解方程得x1=x2=2750
经检验x1=x2=2750符合题意． 2900﹣2750=150（元）
答：每台售价应降低150元． 22．（•邵东县一模）为响应县政府建设“美丽邵东”的号召，某校开展“美化校园”的活动，该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积为498m2，绿化150m2后，为了更快的完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来的1.2倍，结果一共用20天完成了该项绿化工作． （1）该项绿化工作原计划每天完成多少m2？
（2）在绿化工作中一块面积为170m2的矩形场地，矩形的长比宽的2倍少3m，请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？
【解答】解：（1）设该项绿化工作原计划每天完成xm2，则提高工作量后每天完成1.2xm2， 根据题意，得
+
=20，
解得x=22．
（2）设矩形宽为y m，则长为（2y﹣3）m，
根据题意，得y（2y﹣3）=170，解得y=10或y=﹣8.5 （不合题意，舍去）． 2y﹣3=17．
答：这块矩形场地的长为17m，宽为10m． 53．（•泰安模拟）某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价0.1元．销售量就减少2件．
（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？ （2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少元，求m的值（m＞10）． 【解答】解：（1）设售价应为x元，依题意有 1160﹣
≥1100，
m%．结果10月份利润达到3388
解得x≤15．
答：售价应不高于15元．
（2）10月份的进价：10（1+20%）=12（元）， 由题意得：
1100（1+m%）[15（1﹣
m%）﹣12]=3388，
设m%=t，化简得50t2﹣25t+2=0， 解得：t1=，t2=
，
所以m1=40，m2=10，
第32页（共36页）
因为m＞10， 所以m=40．
答：m的值为40． 54．（•福州校级二模）要在一个长10m，宽8m的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这花圃的宽度．
【解答】解：设花圃的宽度为xm， （10﹣2x）（8﹣x）=10×8×（1﹣30%），
解得x1=12（不合题意，舍去）；x2=1． 答：花圃的宽度为1m． 55．（•南皮县模拟）为适应未来人口发展的需要，国家逐步放开了生育二胎的限制，但是2015年的调查显示，只有不足四成家庭希望生育二胎．某中学九（1）班为了了解困扰适龄夫妻生育二胎意愿的原因，采取街头随机抽样调查的方法，调查了若干名适龄男女的意见，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，（如图（1）、图（2），要求每个被访者只能选择一种），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查的适龄男女的总数是 600 人．在扇形统计图中“生存环境”所在扇形的圆心角的度数是 36° ．
（2）请你补全条形统计图．
（3）同学们根据自己的调查结果进行了进一步的数据收集和分析，发现仅从改善学生的教育环境而言，某地区的教育经费投入是连年增加，2014年的投入已经达到了800亿元，如果2016年该地区预计在教育方面投入882亿元，那么该地区每年的教育经费投入的平均增长率应保持在多少？
【解答】解：（1）300÷50%=600（人）； 360°×（1﹣50%﹣20%﹣20%）=36°． 故答案为：600；36°．
（2）600﹣300﹣120﹣60=120（人）， 补全条形统计图如下图．
第33页（共36页）
（3）该地区每年的教育经费投入的平均增长率为x， 由已知得：800×（1+x）2=882， 解得：x=0.05，或x=﹣2.05（舍去）．
故该地区每年的教育经费投入的平均增长率应保持在5%． 56．（•安徽模拟）2014年西非埃博拉病毒疫情是自2014年2月开始爆发于西非的大规模病毒疫情，截至2014年12月02日，世界卫生组织关于埃博拉疫情报告称，几内亚、利比里亚、塞拉利昂、马里、美国以及已结束疫情的尼日利亚、塞内加尔与西班牙累计出现埃博拉确诊、疑似和可能感染病例17290例，其中6128人死亡．感染人数已经超过一万，死亡人数上升趋势正在减缓，在病毒传播中，每轮平均1人会感染x个人，若1个人患病，则经过两轮感染就共有81人患病． （1）求x的值；
（2）若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 【解答】解：（1）设每轮传染中平均一人传染x人，则第一轮后有x+1人感染，第二轮后有x（x+1）+x+1人感染，
由题意得：x（x+1）+x+1=81，
即：x1=8，x2=﹣10（不符合题意舍去）． 所以，每轮平均一人传染8人．
（2）三轮感染后的人数为：81+81×8=729． ∵729＞700，
∴3轮感染后，被感染的人数会超过700人． 57．（•徐闻县三模）如图，一个农户要建一个矩形猪舍ABCD，猪舍的一边AD利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成．为了方便进出，在CD边留一个1米宽的小门．
（1）若矩形猪舍的面积为80平方米，求与墙平行的一边BC的长；
（2）若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度，问BC边至少应为多少米？
【解答】解：（1）设BC的长为xm，则AB的长为（25+1﹣x）m．
第34页（共36页）
依题意得：（25+1﹣x）x=80，
化简，得x2﹣26x+160=0， 解得：x1=10，x2=16（舍去），
答：矩形猪舍的面积为80平方米，求与墙平行的一边BC的长为10m；
（2）依题意得：
，
解得≤x≤12，
．
所以x最小=
答：若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度，问BC边至少应为米． 58．（•玄武区一模）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）． 项目 第一次锻炼 第二次锻炼 步数（步） 10000 ① 10000（1+3x） 平均步长（米/步） 0.6 ② 0.6（1﹣x） 距离（米） 6000 7020 注：步数×平均步长=距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求x；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 【解答】解：（1）①根据题意可得：10000（1+3x）； ②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1﹣x）； 故答案为：10000（1+3x）；0.6（1﹣x）；
（2）由题意：10000（1+3x）×0.6（1﹣x）=7020 解得：x1=
＞0.5（舍去），x2=0.1．
则x=0.1，
答：x的值为0.1；
（3）根据题意可得：10000+10000（1+0.1×3）=23000， 500÷（24000﹣23000）=0.5（m）．
答：王老师这500米的平均步幅为0.5米．
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59．（•丹棱县模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价2元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x （x为偶数） 元，据此规律，请回答：
（1）降价后，商场日销售量增加 x 件，每件商品盈利 100﹣x 元（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商品日盈利可达到4200元？
【解答】解：（1）降价2元，可多售出2件，降价x元，可多售出x件，每件商品盈利的钱数=（100﹣x）元， 故答案为：x；100﹣x；
（2）由题意得：（100﹣x）（30+x）=4200， 解得：x1=30，x2=40，
∵该商场为了尽快减少库存， ∴降的越多，越吸引顾客， ∴x=40，
答：每件商品降价40元，商场日盈利可达4200元． 60．（•余姚市模拟）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关． （1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%． ①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？ 【解答】解：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
②设润滑用油量是x千克，则
x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12， 整理得：x2﹣65x﹣750=0， （x﹣75）（x+10）=0，
解得：x1=75，x2=﹣10（舍去）， 60%+1.6%（90﹣x）=84%，
答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
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