2020年中考数学重难点复习《圆》练习题 (36)

1．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC． （1）求证：△OAD∽△ABD；

（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；

（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．

【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C＝∠B，由OA＝OC，推出∠OAC＝∠C＝∠B，由∠ADO＝∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；

（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，需要分类讨论解决问题；

（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD＝x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2＝AC•CD，列出方程即可解决问题； 【解答】（1）证明：如图1中，

在△AOB和△AOC中，

，

∴△AOB≌△AOC， ∴∠C＝∠B， ∵OA＝OC，

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∴∠OAC＝∠C＝∠B， ∵∠ADO＝∠ADB， ∴△OAD∽△ABD．

（2）如图2中，①当∠ODC＝90°时，

∵BD⊥AC，OA＝OC， ∴AD＝DC， ∴BA＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形，

在Rt△OAD中，∵OA＝1，∠OAD＝30°， ∴OD＝OA＝， ∴AD＝

∴BC＝AC＝2AD＝

＝．

＝

，

，

②∠COD＝90°，∠BOC＝90°，BC＝③∠OCD显然≠90°，不需要讨论． 综上所述，BC＝

（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD＝x．

或

．

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∵△DAO∽△DBA， ∴∴

＝＝

＝＝

， ， ，AB＝

，

∴AD＝

∵S2是S1和S3的比例中项， ∴S22＝S1•S3，

∵S2＝AD•OH，S1＝S△OAC＝•AC•OH，S3＝•CD•OH， ∴（AD•OH）2＝•AC•OH••CD•OH， ∴AD2＝AC•CD，

∵AC＝AB．CD＝AC﹣AD＝∴（

）2＝

（•

﹣

﹣

，

），

整理得x2+x﹣1＝0， 解得x＝经检验：x＝∴OD＝

．

＝

＝

，黄金分割点的性质解决这个问题）

或

，

是分式方程的根，且符合题意，

（也可以利用角平分线的性质定理：

方法2、设OD＝x，设△AOB的边上的高为h，则△AOD的边OD边上的高也为h，

∴＝＝，

设S△AOB＝a， ∴S△AOD＝ax， ∵△AOB≌△AOC， ∴S△AOC＝S△AOB＝a ∴S△AOC＝S△AOD+S△COD，

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∴S△COD＝a﹣ax＝a（1﹣x）， ∵S2是S1和S3的比例中项， ∴S22＝S1•S3，

∴（ax）2＝a×a（1﹣x）， ∴x＝，

∵OD＞0， ∴OD＝

． 4 / 4