数学建模竞赛论文
论文题目：校园室外垃圾箱的最优配置
摘要：
校园里的垃圾箱是一道亮丽独特的风景线。垃圾箱的数量及其摆放地点对于方便师生和美化校园有着非常重要的意义。另一方面垃圾箱适当的数量及合理摆放有利于提高资源的利用。显然本文讨论的关键问题就是在一定方圆内放置尽可能少的垃圾桶及其具体的摆放地点，从而使得校园室外垃圾箱得到最优配置。
首先，我们确定垃圾箱的数量。根据公式
N≥ W OV'BK
且已知垃圾的清运次数O=2(次)，单个垃圾箱的容积B=（0.8m³），垃圾箱的填充系数K=0.8。那么我们只要求出垃圾的容重V及重量W就可以得出垃圾箱数量N。对于垃圾容重我们可以根据不完全统计求出平均值V=158.73。而对于垃圾重量，为了计算方便我们取学校总人数为20000人，通过对部分人群每天丢垃圾数的调查统计，可以运用线性回归思想，用最小二乘法的MatlaV实现一次项式函数,使用 polyfit（x,y,1）拟合曲线 ,最后可得出人数与所丢垃圾数的关系为y=0.1x，即可得学校每天产生垃圾总量w=2000kg，显然就得出了垃圾箱总数为不得少于99个。
其次，我们讨论摆放问题。为了方便师生丢垃圾我们不妨在每栋教学楼的进出口出和道路的交叉口先放一个垃圾箱作为参考点（为此我们粗略描绘出了学
校地图），考虑到在不同路段同学们手持垃圾投递路程R不同，那么我们需要求出不同路段的长度L，这点可以通过统计同学们以常速行完该段路程所花时间得出。然后以路程与2R得到的比例即为该路段所需垃圾箱数量N=L/2R，减去已定垃圾箱数即为应增设的箱数N’。那么新增垃圾箱位置可参照一定垃圾箱位置及根据相应投递路程摆放。显然这种摆放方案既能够满足需求又达到了合理利用资源的效果，当然同时也方便了师生，美化了校园。
关键词：垃圾箱；数量；摆放位置；最优配置
一.问题的重述
学校室外垃圾箱的数量及其摆放地点对于方便师生和美化校园有着非常重要的作用。另一方面也合理的提高了资源利用率。通常，垃圾箱的最优配置方案主要包括垃圾箱的数量及其具体的摆放地点。
问题1、建立数学模型对你所在校区现行的室外垃圾箱的配置方案做出评价。 问题2、建立数学模型给出你所在校区的室外垃圾箱的最优配置方案。 问题3、运用问题1中你们所建立的数学模型来评价问题2中你们给出的方案。 备注：
1、一个标准的垃圾箱的最大容积为0.08立方米。
二.问题的分析与假设
分析：室外垃圾箱的配置关系到人们是否选择将垃圾扔进垃圾箱，其合理
性与使用性直观重要。首先，清洁工的工作量应该为某一常量，如每天清理垃圾1-2次，那么在未清洁的那个时间段垃圾箱的数量至少要满足能够装下所有的垃圾，这样才不会因垃圾箱满了而导致人们将垃圾丢在垃圾箱外。其次，人们手持垃圾的投递距离路程有一定的限度，如果垃圾箱与人的距离超出了这一限度，势必人们会将垃圾扔在路边。所以垃圾箱的数量及其摆放位置是垃圾箱最优配置方案至关重要的两个方面。
假设：（1）清洁工每天清理垃圾次数恒定，清理时间固定，每天垃圾的总
重量一定，垃圾箱的填充系数恒定。
（2）人们手持垃圾的投递路程在同一路段相同。
三.数学模型的建立
为了建立具体的数学模型，需要设立变量，将其列表如下：
符号 N W O V' B K R A（Xi,Yi） D S 表1 变量及符号说明 变量含义 垃圾箱的数量 垃圾的重量 垃圾的清运次数 垃圾的容重 单个垃圾箱的容积 垃圾箱的填充系数 手持垃圾的平均投递路程 点的坐标 两垃圾箱的距离 校园总面积 备注 单位（个） 单位（㎏） 单位（次） 单位（㎏/m³） 单位（m³） 单位（m） i=(1.2.3…) 单位（m） 单位（m³） *其中：
W N≥ OV'BK
实践模型步骤：
1.优先配置建筑物出入口、道路交叉口。确保在这写地方至少配置一个垃
圾箱。
2.以现有的垃圾箱位置为原点，以可接受的路程为半径做圆，与路的焦点处再设置垃圾箱，如此循环下去寻找下一个垃圾箱的位置。各圆相交或相切处设置一个垃圾箱(简化为先求道路的长度，在求应配置垃圾箱数)。 3.在此配置的基础上根据实际需要做适当的添加。 ：
1.取样调查，建立直角坐标系，粗略绘制学校地图，建筑物位置，主要道路。
2.根据实践模型将所取点用A（Xi,Yi）表示。
那么当垃圾箱的数量及位置关系同时满足：
N*R≤S
D=[(Xi+1 -Xi)^2+(Yi+1-Yi)]^0.5 D≤R
时可认为其是合理的。
四．模型的求解
① 为求得学校产生的垃圾总重量，我们通过对调查统计了部分人群产生的垃圾重量，运用线性回归方程求解方法可求得学校总人数产生的垃圾重量。调查结果如下： 表2 人均丢垃圾数 调查人数 垃圾重量 0.987 1.99 3.20 4.195 4.980 5.98 6.922 7.971 10 20 30 40 50 60 70 80 最小二乘法的Matlab实现 一次项式函数使用 polyfit（x,y,1）， 拟合曲线 x=[0 10 20 30 40 50 60 70 80] y=[0 0.987 1.99 3.20 4.195 4.980 5.98 6.922 7.971]。 解：MATLAB程序如下： >>x=[10 20 30 40 50 60 70 80]; >>y=[0.978 1.99 3.20 4.195 4.980 5.98 6.922 7.971]; >>p=polyfit(x,y,1);
>>x1=0:10:80;
>>y1=polyval(p,x1);
>>plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') ；
所得结果为：
可得p=0.1即y=0.1x .
为了计算方便不妨取学校人数为x=20000人，那么垃圾总重量y=2000kg，即w=2000kg.
②根据方程式我们仍需求出垃圾的容重：
表3 垃圾种类及容重
垃圾种类 厨余垃圾(v1) 可回收垃圾
(v2)
垃圾容重 380 100
（㎏/m³）
其他垃圾(v3) 200
图表4 不同区域的垃圾种类分布
本校园30%35%人流密集区人流稀疏区山地35%
706050403020100
人流密集人流稀疏山地厨余垃圾可回收垃圾其他垃圾
经过不全面统计结果显示，得到大致垃圾种类的分布比例，根据不同种类垃圾的容重不同比例不同，可求出平均垃圾容重：
V1= 厨余垃圾比率=30%*2%+35%*13%+35%*6%=0.0735 V2=可回收垃圾利率=30%*58%+35%*57%+35%*49%=0.545 V3=其他垃圾利率=30%*40%+35%*30%+35%*45%=0.3815 V' =V1*380+V2*100+V3*200
V' =158.73
W
N= OKV'B
小结：本校的垃圾箱数量应超过99个。
=98.78=99
图形引入分析：
上图为我校垃圾箱的大致分布，从图上不难看出垃圾箱在不同地理位置分
布密度有所不同，在其路口，建筑物入出口均分布有不同数量的垃圾箱，主干道路与小路垃圾箱数量有明显差别。
建立二维平面图为：
*人的步行平均速度v=1.2m/s
调查人 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 寅 癸 据不完全统计:
表5 路程统计 主干路所花时间支路所花时间其他路所花时间(min) (min) (min) 19 25 18 21 23 22 21 26 26 18 28 25 17 24 24 22 26 25 20 25 26 23 23 15 20 25 16 18 26 25 表6 手持垃圾投递路程
140120100806040200012345678 主干路支路其他
校园主干路长度L1=1438(m)
校园支路长度L2=1626（m） 校园其他路L3=1598.4(m)
主干路可接受平均手持垃圾投递距离R1=40（m） 支路可接受平均手持垃圾投递距离R2=80（m） 其他路可接受平均手持垃圾投递距离R3=100（m） 在主干路应设垃圾箱数量N1=35.28=36（个）
（注：考虑主干路两边有相同的垃圾数量） 支路应设垃圾箱数量N2=10.12=10（个） 其他路应设垃圾箱数量N3=7.89=8（个） （注：由于主干路垃圾箱与最初垃圾箱重合，可相应减少垃圾箱数量。）
结合图形：主干路上路口数为8个. 支路与其他路路均3个.
五：模型的结果分析
结果：垃圾箱的数量不得少于99个，按照主次分配原则，首先在路口以及建筑物出入口处放置垃圾箱，数量为77个，然后主干路另设28个，支路设12个，山路5个。
分析： 结合卫星图形，我们知道本校的大致垃圾箱数量及其大致分布，理论值为99个垃圾箱，本校实际垃圾箱数量为127，基本符合模型一，由二维平面图形，可以模拟出垃圾箱的摆放位置，可以结余10个垃圾箱，主干路6个，支路3个，山路1个。 六：模型的评价
建立了数量与位置的双目标化模型，通过调查统计数据，得出的数据符合实际，结果具有合理性，在此模型中，结合图形直观体现本校垃圾箱的分布现状，通过理论坐标系的建立，用数学方法求解垃圾箱的距离，直观的体现出了现有垃圾箱的配置不足问题，并采用部分代换法，通过抽样调查确定人均可接受手持垃圾投递路程进一步将理论与实际挂钩。
但是，本文中位置的配置没有具体的算法，只是通过一些生活必须确定基点（如建筑物，交叉路口）放置垃圾箱，然后依次确定其他放置位置。MTLAB软件方面运用不够熟练，内 容比较空泛。因此，取基点的合理性与数学软件的结合使用是进一步改进的方向。
七：参考文献 :
[1]随玉梅等.垃圾桶配置模拟计算[M]. 北京: 北京大学学报（自然科学版）,2010.
[2]陈永胜.多元线性回归建模以及MATLAB的PASS求解[M]. 吉林 :吉林师范大学出版,2007.
[3]王庚、王敏生等.现代数学建模方法. 北京：科学出版社，2008
[4]宣明主等.数学建模与数学实验. 杭州: 浙江大学出版社，2010/9
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